Привет всем участникам форума!
Условие задачи следующее:
Пусть
$X = {(x_1, ..., x_2) ? R^m : x_i >= 0, x_1 + ... + x_2 = 1}$,
а d - некоторя метрика на множестве {1, 2, ..., m}. Обозначим
$Q(x, y) = {Z = z_i,_j : z_i,_j >= 0, Sum(j = 1 ... m)z_i,_j = x_i, Sum(i = 1 ... m)z_i,_j = y_j, для всех i, j = 1, ..., m}$ (то есть, для двух m-мерных векторов x и y
Q(x, y) - множество матриц Z с неотрицательными элементами таких, что i-ая строчная сумма элементов матрицы равна i-тому элементу вектора x, а j-ая
столбцевая сумма элементов матрицы равна j-тому элементу вектора y).
Требуется доказать, что
r(x, y) = inf ( Sum(i,j = 1, ..., m) d(i, j)*z_i,_j )
z ? Q(x, y)
является метрикой.
r(x, y) = 0 <=> x = y становится очевидным, если, к примеру, рассмотреть матрицу Z и D = d(i, j) как вектора в пространстве
$R^m*m$.
$r(x, y) = r(y, x)$ также очевидно.
Но как доказать неравенство треугольника
$d(x, y) <= d(x, z) + d(z, y)$?
Возможно, с помощью метода математической индукции, но как тогда получить базу индукции (для m = 2)?
Если у кого-то есть хоть какие-то идеи по решению этой задачи, пожалуйста, ответьте.
Большое спасибо.
Редактировалось 1 раз(а). Последний 15.09.2008 21:58.
