Юрий писал(а):
>
> Срочно нужна помощь! Нужен материал по факт. кольца многочленов
> и целых чисел (лекции Латышева), экзамен будет 16! Очень буду
> благодарен!
> Пишите: www@go.ru
факториальность колец многочленов и целых чисел = однозначность разложения на простые множители в этих кольцах. Она следует из существования наибольшего общего делителя двух многочленов или двух целых чисел.
d --- наибольший общий делитель a и b --- число, которое, во-первых, делит и a, и b, а во-вторых, делится на любой другой их общий делитель. d также является наибольшим по модулю (наибольшей степени для многочленов) из всех общих делителей a и b, отсюда название.
Строится по алгоритму Евклида: берем пару a и b, большее делим с остатком на меньшее, новая пара --- меньшее и остаток, и т.д. Бесконечно это продолжаться не может, значит, когда-нибудь разделится без остатка. Последнее получившееся число (меньшее в последней паре) и есть НОД a и b. Так получается важнейшее свойство НОДа --- он представляется в виде линейной комбинации a и b (d=pa+qb).
a и b называются взаимно простыми, если НОД(a,b)=1.
Так называемая основная теорема арифметики --- если ab делится на c, причем a и c взаимно просты, то b делится на c. Доказывается так ---
НОД(a,c)=1 => существуют p,q: ap+cq=1 => apb+cqb=b; в левой части оба слагаемых делятся на c => b делится на c.
Пусть теперь есть два разных разложения одного числа на простые множители p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*...=q_1^(b_1)*q_2^(b_2)*... тогда по предыдущему факту одно из p_i делится на q_1, так как левая часть равенства делится на простое q_1. Значит p_i=q_1, так как p_i тоже простое. Разделим на q_1, и повторим то же самое. Так получается, что набор простых в двух частях равенства одинаковый, что мы и хотели доказать.
При этом совершенно нет разницы, работаем мы с целыми числами или многочленами.
Это то, что имелось в виду?
