МАЛЕНЬКИЕ ТРАГЕДИИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Валентин Федоров, Дмитрий Пономарев
ноябрь 2001 года
Пример 1. Движение в центральном поле (Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, т. 1. Механика, М., "Наука", 1988, стр. 46 - 47).
"В данном случае обобщенный импульс
Pф = m*r^2*ф^ (здесь ф^ = dф/dt - первая производная угла "фи" по времени)
совпадает с моментом Mz = M (см. (9,6)), так что мы возвращаемся к
известному уже нам закону сохранения момента
M = m*r^2* ф^ = const. (14,2)
...... Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще
всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не выписывая при этом самих уравнений движения. Выражая ф^ через М из (14,2) и подставляя в выражение для энергии, получим:
E = m/2((r^)^2 + r^2(ф^)^2) + U(r) = m(r^)^2/2 + M^2/(2m*r^2) + U(r) (здесь
r^ = dr/dt - первая производная r по времени). (14,4)
Отсюда
r^ = dr/dt = sqrt(2/m[E - U(r)] - M^2/(m^2*r^2)) (14,5)
или, разделяя переменные и интегрируя:
t = S dr/sqrt(2/m[E - U(r)]) - M^2/(m^2*r^2)) + const. (здесь S - знак интеграла) (14,6)
Далее, написав (14,2) в виде
dф = M/(m*r^2)*dt,
подставив сюда dt из (14,5) и интегрируя, находим:
ф = S (M/r^2)*dr/sqrt(2m[E - U(r)] - M^2/r^2) + const. (здесь S - знак
интеграла) (14,7)
Формулы (14,6) и (14,7) решают в общем виде поставленную задачу. Вторая из них определяет связь между r и ф, т.е. уравнение траектории. Формула же
(14,6) определяет в неявном виде расстояние r движущейся точки от центра как функцию времени. ......."
Выводы поразительны по своей необоснованности, так как:
а) Учитывая (14,5), выражение (14,6) есть не что иное, как
t = S dt + const, (здесь S - знак интеграла)
а это значит, что (14,6) только в НЕЯСНОМ (здесь опечатки нет!) для учащихся всех уровней виде определяет расстояние r движущейся точки от центра как функцию от времени;
б) Поскольку числитель подинтегрального выражения есть m*ф^*dr, а
знаменатель m*r^, то выражение (14,7) должно записываться только так:
ф = S dф + const. (здесь S - знак интеграла)
В этом случае усмотреть связь между r и ф может только сумасшедший. Пустая игра в математические формулы еще никогда к полезному результату не приводила.
Пример 2. Кеплерова задача (см. там же, стр.51 - 52).
"Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна r и соответственно силы обратно пропорциональны r^2. Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и
кулоновские электростатические поля; парвые, как известно, имеют характер
притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания.
Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором
U = - a/r (здесь и далее a есть "альфа") (15,1)
с положительной постоянной а. ......
Форма траектории получается с помощью формулы (14,7). Подставляя в нее U = - a/r и производя элементарное интегрирование, получим:
ф = arccos[(M/r - m*a/M)/sqrt(2m*E + m^2*a^2/M^2)] + const.
Выбирая начало отсчета угла ф так, чтобы const = 0, и вводя обозначения
p = M^2/(m*a), e = sqrt(1 + 2E*M^2/(m*a^2)), (15,4)
перепишем формулу для траектории в виде
p/r = 1 + e*cosф (15,5)
Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; p и e - так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. ......"
Уникальный результат, явно противоречащий уточненному в предыдущем примере виду и смыслу выражения (14,7), но ярко демонстрирующий околоматематический способ обоснования канонизированных законов Кеплера (первый - каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце; второй - секторная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна).
Поскольку канонизированные законы составляют фундамент теоретической физики, то право на отрицание любого из них появляется лишь тогда, когда
обнаруживается ХОТЯ БЫ ОДНА принципиальная ошибка в его математическом обосновании.
Таковые в рассматриваемом примере есть, но они скрываются за элементарным интегрированием неизвестного выражения, которое при наличии результата (15,5) путем обратных математических операций легко отыскать и подвергнуть при необходимости анализу.
Выражение (15,5) есть уравнение кривой второго порядка в полярных
координатах, где фокус принят за полюс, а ось симметрии за полярную ось. Из этого следует, что полярный радиус-вектор любой точки кривой (15,5)
записывается в виде
R = (p/(1 + e*cosф))*Nr (здесь R и Nr - радиус-векторы)
где p и e - параметр и эксцентриситет орбиты, Nr - орт полярных
(цилиндрических) координат, а значит
R^ = r*e*ф^*sinф/(1 + e*cosф)*Nr + r*ф^*Nф <НЕ РАВНО> const (здесь R^ =
dR/dt, Nф - радиус-вектор)
и, следовательно
Mz = m*r^2*ф^*Nz = m*p^2*ф^/(1 + e*cosф)^2*Nz <НЕ РАВНО> const , здесь Mz и Nz - радиус-векторы (радиус-вектор точки, ее скорость движения и момент при (e <НЕ РАВНО> 0) являются функциями времени).
В связи с тем, что "форма траектории получается с помощью формулы (14,7)"
(забудем на мгновение о ее математическом смысле), которая получена "из
законов сохранения энергии и момента" (пример 1), то налицо вопиющее
противоречие - момент при движении точки по эллипсу не является величиной
постоянной. Такое противоречие снимается, если эксцентриситет орбиты равен нулю, а это уже окружность и движение осуществляется с постоянной угловой скоростью, но это уже не законы Кеплера.
ВОТ ТАК МАТЕМАТИЧЕСКИ ОБОСНОВАНЫ ДВА ЗАКОНА КЕПЛЕРА, А ВЕДЬ ОНИ ОТНОСЯТСЯ К ПЕРЕЧНЮ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ!
Спасибо за внимание.
Наш сайт "ВРЕМЯ АТОМ МОЛЕКУЛА"
www.timeam.zaporozhye.net .
E-mail: timeam@zaporozhye.net
