Если есть желание что-то пообсуждать с высоким "накалом страстей",
то могу предложить хорошую тему: подумать над созданием
единого подхода, объединяющего непрерывное и дискретное,
и дающего возможность использовать методы решения задач
из непрерывной математики для решения сходных задач,
относящихся к дискретной математике.
В частности, в непрерывной математике есть хорошо разработанная
теория оптимального управления непрерывными динамическими системами.
Результаты, связанные с именем Л.С.Понтрягина, относятся к следующей
проблеме: есть некоторая динамическая система, поведением которой
можно управлять, требуется построить такое управление, чтобы
оно во-первых, удовлетворяло некоторым ограничениям, и во-вторых,
максимизировало некоторый функционал качества управления.
Некоторым аналогом задачи оптимального управления в дискретной
ситуации является задача построения оптимальных программ.
Программу можно рассматривать как управление, воздействующее
на вычислительную среду.
Каждой программе можно сопоставить некоторую сложностную
характеристику: это например функция, сопоставляющая каждому
натуральному числу n максимальное время работы этой программы
на всевозможных входных данных, размер которых не превышает n.
На множестве таких функций естественным образом (типа как О большое)
вводится отношение "больше-меньше" (типа - N < N*Log(N) < N^2).
Программа, решающая некоторую задачу, является оптимальной,
если ее функция сложности - наименьшая (относительно этого
частичного порядка) среди функций сложности всех программ,
решающих эту задачу.
Известно, что если ограничить область возможных значений для
аргументов программы, то иногда можно построить программу
с меньшей функцией сложности, чем у оптимальной программы,
рассчитанной на всевозможные значения аргументов (без ограничений).
Например, оптимальный алгоритм синтаксического разбора
для произвольной контекстно-свободной грамматики имеет сложность N^3,
однако если предполагать что на вход синтаксического анализатора
подаются только грамматики некоторого специального вида, то можно
построить алгоритм синтаксического разбора с линейной сложностью.
Проблема построения оптимальных программ заключается в том.
чтобы по описанию задачи, которую должна решать программа,
и по описанию органичений которым эта программа должна удовлетворять
(в которые могут входить области допустимых значений для аргументов,
а также например описание архитектуры вычислительной среды,
в которой должна исполняться программа) требуется построить
программу, являющуюся оптимальной по сложности среди всех программ,
решающих заданную задачу и удовлетворяющих заданным ограничениям.
Пока общей идеологии, предназначенной для решения проблем
данного типа, не существует. Не исключено, что такую идеологию
можно создать на пути обобщения подходов из непрерывной математики,
связанных с решением задач классического вариационного исчисления
и теории оптимального управления.
