Вот весьма интересное задание на сабж:
Найти все а и n, при которых разница между наибольшим положительным и наименьшим положительным корнями уравнения
||...|||x-1|-1|-1|-...-1|-1|=a
\ /
n знаков
равна 18,3.
Есть некоторые наметки: x>0 (по условию), а>=0, n-натуральное. Для x>=n все подмодульные выражения будут неотрицательны - раскрываем их с "+" и получаем: x-n=a, x=a+n (условие x>=n соблюдается - корень существует). След. случай x>0, x<=1:
|x-1|=1-x;
||x-1|-1|=|-x|=|x|=x;
|||x-1|-1|-1|=||x|-1|=|x-1|=1-x;
и т. д.
В общем случае, когда 0<x<=1 прослеживается закономерность:
для n=2k+1 (k из {Zo}) ||...|||x-1|-1|-1|-...-1|-1|=1-x,
для n=2k (k из {N}) то же выражение раскрывается как (x).
Т.е.
при n={1,3,5,...} x=1-a (корень сущ-ет при 0<1-a<=1)
при n={2,4,6,...} x=a (корень сущ-ет при 0<a<=1).
Для x осталось нерассмотренным след. множество [1;n]. При этих значениях переменной возникают реальные трудности с раскрытием n модулей.
Никто не в курсе как решать уравнение при оставшихся значениях переменной???
И чем сложнее доказательство, тем больше будет удовольствия тому, кто доказательство найдет. Р. Декарт
