Возмем осевое сечение конуса.
Получили треугольник вписанный в окружность.
Пусть высота треугольника h (из веhibys равнобедреного треугольника) тогда радиус основания r = sqrt( R^2 - (h-R)^2 ) (по той же теореме пифагора).
площадь основания S = Pi * r^2 = Pi * ( 2 * h * R - h^2 )
Объем конуса V(h) = 1/3 * S * h = Pi/3 * ( 2 * h^2 * R - h^3 ) (кстати справедлива формула для всех 0 < h < 2R )
Поскольку объем V(0)=0 и V(2*R)=0 поэтому между 0 и 2R существует максимум функции, ввиду ее непрерывности.
Возьмем производную.
V'(h) = Pi/3 * ( 4 * h * R - 3 * h^2 )
Максимум функции может быть только в точках экстремума то есть там где V'(h) = 0
3 * h * (4/3 * R - h ) = 0
h = 0 и h = 4/3 R есть решения этого уравнения.
Следоватьльно при h=4/3 R будет максимальный объем у Конуса.
PS Я мог ошибиться в арифметике, но общий принцип - составить функцию f(x) которая выражает искомую величину и найти ее экстремумы через дифференцировние
было было но прошло
