Условия задач для 10-го класса:
1. В чашку до краев налито 100 мл кофе, а в кувшине есть 300 мл молока. Сколько миллилитров кофе надо отлить из чашки в кувшин и затем полученной смесью долить обратно чашку до краев, чтобы в чашке оказалось поровну молока и кофе?
2. Найдите сумму чисел 7 + 770 + 77700 + ... + 77...700...0 (в последнем числе семерок n, нулей n - 1).
3. При каких натуральных n система
{ cos x_1 + cos x_2 + ... + cos x_n = 0,
{ sin x_1 + sin x_2 + ... + sin x_n = 0,
{ |x_i - x_ j| <= pi, i, j = 1, 2,..., n.
имеет решение?
4. Существует ли пятиугольное сечение куба, делящее его на две части равного объема?
5. В стране 15000 почтовых отделений, каждое из которых должно иметь шестизначный индекс. Типичная ошибка при написании индекса состоит в таком перепутывании цифр, что каждая цифра оказывается либо на своем месте, либо на соседнем месте. Можно ли так присвоить индексы почтовым отделениям, чтобы, зная индекс, написанный с типичными ошибками, всегда можно было однозначно определить правильное написание этого индекса?
6. Коляска, у которой длина обода передних колес равна 1, а длина обода задних колес равна sqrt(2), проезжает через лужу шириной l. Намокнув в луже, колеса оставляют на асфальте мокрый след. Задние колеса, наехав на след передних колес, также намокают и оставляют мокрый след. Докажите, что при любом значении l > 0 коляска начиная с некоторого момента оставляет непрерывный мокрый след.
