Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mce.biophys.msu.ru/archive/doc173753/rus.pdf Дата изменения: Sat Mar 22 23:51:16 2014 Дата индексирования: Sat Mar 22 23:51:16 2014 Кодировка: Windows-1251

ОБРАЩЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ
Е.В. Харитонова Южно-Уральский государственный университет 454080, Челябинск, пр. Ленина 76, механико-математический факультет, (351)-267-9971, e-mail: alena@math.susu.ac.ru Одним из возможных путей восстановления сигнала u(t) по наблюденному в эксперименте сигналу x(t) является обращение оператора связи, что приводит к задаче решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода относительно функции u(t) при заданной x(t). Наблюдаемая в эксперименте функция x(t) является решением уравнения

L[x] = x

(n)

+a

n-1

(t)x

(n-1)

+ ћ ћ ћ + a1 (t)x + a0 (t)x = u(t), t [a, b]

(1)

и удовлетворяет линейным краевым условиям

Ui (x) = 0,

i = 1, 2, . . . n.

(2)

Если задача (1)-(2) однозначно разрешима, то, как известно, существует однозначно определяемая функция Грина G(t, s) такая, что имеет место равенство
b

G(t, s)u(s)ds = x(t).
a

(3)

Соотношение (3) является искомым обращением оператора (1)-(2). Если же однородная задача (1)-(2) обладает нетривиальными решениями, то, при некоторых дополнительных предположениях существует т.н. модифицированная функция Грина, играющая в задаче обращения ту же роль. Теорема. (Об интегральном представлении решения вырожденной задачи) Пусть однородная задача (1)-(2) имеет нетривиальные решения и пусть размерность пространства ее решений равна 1 m n - 1 , пусть, кроме того, выполнено условие разрешимости полуоднородной задачи. Тогда всякое решение полуоднородной задачи представимо в виде
b m

x(t) =
a

G(t, )u( )d +
i=1

xi i (t),

где {i (t), i = 1, 2, . . . , m} фундаментальная система решений однородного уравнения, а коэффициенты xi могут быть однозначно определены. .