В работе проанализированы две модели выработки жидких продуктов метаболизма растущим мицелием, допускающие простую интерпретацию. Этот аспект важен для понимания механизма развития колонии мицелиальных грибов, поскольку именно способность к выработке метаболитов как ингибиторов роста позволяет формировать различные кольцевые структуры колонии с пограничными состояниями - однородный сплошной газон, с одной стороны, либо сосредоточение мицелия вблизи области начального посева, так называемое, 'умирание' колонии, с другой стороны.

 

INFLUENCE OF METABOLISM PRODUCTS ON THE PROCESS OF FORMING OF IMPERFECT MYCELIUM FUNGUS COLONIES

 

Bulianitsa A.L., Panina L.K., Kurochkin V.E.

 

(Saint-Petersburg)

 

The paper studies two models describing production of liquid metabolites by a growing mycelium, which admits simple interpretation. This aspect is essential for understanding the mechanism of mycelium fungus colony development since just the capability for producing metabolites as inhibitor of growth allows either forming of various ring colony structures with boundary states - a homogeneous continuous lawn, on the one hand, or concentration of the mycelium near the initial sowing area, a so-called colony's 'dying', on the other hand.

 

Введение

Работа является частью цикла работ [1-5], посвященных как экспериментальному изучению, так и математическому моделированию процесса формообразования колоний несовершенных мицелиальных грибов на чашке Петри.

В основе модели лежит схема Тьюринга 'реакция-диффузия' [6]. Достаточно близким аналогом предложенной нами модели можно считать модель Полежаева [7], описывающую механизм упорядочивания в бактериальных системах. Правда, в нашем случае, при сохранении пространственной одномерности модели, следует учитывать цилиндрическую симметрию, а также тот факт, что система мицелиальных клеток является единым неразрывным организмом. Математическая модель учитывает пространственно-временное распределение плотности мицелия, динамику концентраций субстрата (активатора) и продуктов метаболизма (ингибиторов роста).

Подробное описание математической модели, имеющей форму системы дифференциальных уравнений, ее параметров и способов решения представлено в [2,3]. Важным аспектам процесса развития колонии посвящены работы [2,4]. В частности, в статье [2] проведено исследование упорядочивания колонии как открытой биологической системы, а в работе [4] предлагается методика оценивания величины коэффициента диффузии продуктов метаболизма.

Поскольку согласно предложенной модели именно способность грибов к выработке продуктов метаболизма является условием формирования регулярных кольцевых структур, то выбор адекватной модели процесса выработки метаболитов позволит точнее описать формообразование колонии.

 

МОДЕЛИ ВЫРАБОТКИ МИЦЕЛИАЛЬНЫМИ КЛЕТКАМИ ПРОДУКТОВ МЕТАБОЛИЗМА

В работах [2,3] предложены две альтернативных модели выработки мицелием продуктов метаболизма, названные, соответственно, моделью 'запрета по насыщению с уровнем h' и моделью постоянной деградации. Величина h, при этом, выбирается достаточно близкой к единице.

Каждая из этих моделей имеет корректную биологическую интерпретацию. В частности, первая из них предполагает рост интенсивности выработки продуктов метаболизма до момента достижения плотности мицелия при предельной плотности равной 1/e. При превышении этой критической плотности мицелий прекращает выработку метаболитов. Вторая модель предполагает качественную схожесть способности мицелия к самовоспроизводству и к выработке продуктов метаболизма. Последнее обеспечивается введением одинакового 'логистического' множителя .

Предложенные модели различаются распределением интенсивности выработки продуктов метаболизма на различных стадиях роста плотности мицелия. Это отличие иллюстрируется рис. 1

Рис. 1. Зависимость скорости выработки метаболитов от плотности мицелия.

Видно, что максимальная интенсивность выработки метаболитов для модели 'запрета по насыщению' приходится на 'пост-логистическую' стадию с плотностью мицелия близкой к уровню насыщения. Модель постоянной деградации предполагает максимальную интенсивность выработки метаболитов на стадии логистического роста плотности мицелия, то есть, на более ранней стадии.

Сравнение обеих моделей проводилось при максимально совпадающем наборе параметров с варьированием величины параметра a, определяющего скорость выработки продуктов метаболизма. Варьирование величины a позволяет реализовывать как различные по числу и ширине колец кольцевые структуры грибной колонии, так и режимы близкие к граничным: сплошному газону и 'умиранию' колонии. В нашем случае под 'умиранием' колонии следует понимать существенное убывание плотности мицелия вне зоны его начального посева и, при этом, продолжение его радиального распространения до самой границы чашки Петри.

 

Обсуждение результатов

В работе сравниваются модельные радиальные распределения плотности мицелиальных клеток, полученные в соответствии с двумя альтернативными моделями выработки продуктов метаболизма: моделью запрета по насыщению с уровнем h=0,9 (модель 1) и моделью постоянной деградации (модель 2) при выборе ресурсной предельной плотности мицелия равной e^-1 при e=0,3. Плотность мицелия нормирована на величину e^-1.

Степень упорядочивания грибной колонии может быть оценена на основе энтропии. При этом достаточно интерпретировать плотность мицелия x_i измеренную в точке с относительным радиусом r_i как плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины, т.е. провести нормировку на единицу [2]. При этом абсолютный максимум энтропии реализуется при равномерном распределении плотности мицелия (состояние хаоса, также называемое 'сплошной газон'). Уменьшение энтропии будет связано с увеличением неравномерности зарастания. В пределе, зарастание мицелием осуществляется, главным образом, вблизи зоны начального посева, так называемое 'умирание' колонии.

Было выбрано общее число измерений x_i плотности мицелия равное 300. Число измерений, соответствующих зоне начального посева мицелия, равно 9, так как относительный радиус начального посева мицелия составляет 0,03. Момент измерения x_i соответствует дорастанию мицелия до внешней границы чашки Петри (r=1). Точки измерения плотности мицелия выбраны . В случае более раннего момента измерения энтропии, выбор r_i определяется внешним радиусом распространения мицелия , и тогда . Наибольшей величиной энтропии будет обладать колония типа 'сплошного газона', характеризующаяся равномерной плотностью мицелия. Тогда, все x_i из-за нормировки на единицу примут значения (1/300), и соответствующая величина энтропии (в битах) будет равна .

Влияние величины коэффициента a на степень упорядочивания колонии при разных моделях выработки метаболитов иллюстрируется рис.2.

Следует отметить качественно схожую динамику энтропии - монотонное убывание при росте параметра a. Благодаря этому свойству параметр a может считаться управляющим параметром по Климонтовичу [8]. Кроме того, при равных значениях a большей степенью упорядочивания (меньшей величиной энтропии) обладает колония, формируемая в соответствии с моделью 1. Рост величины параметра a приведет к постепенному формированию колонии с возрастающей неравномерностью плотностей мицелия (от 'сплошного газона' к кольцевым структурам и далее до 'умирания' колонии). Последнее представляется как преобладающий рост мицелия вблизи зоны начального посева с резким убыванием его плотности до самой границы чашки Петри. Дальнейшее увеличение a приведет к прекращению распространения мицелия из-за полного отравления метаболитами. Тем самым структура колонии качественно изменится, так как сформируется 'сплошной газон' радиуса существенно меньшего, чем радиус чашки Петри.

 

Рис. 2. Динамика энтропии в зависимости от изменения параметра a

 

Сравнение моделей выработки метаболитов выполнено по следующей схеме: все параметры моделей, за исключением a, выбирались одинаковыми, а величины a для каждой из модели подбирались так, чтобы сформировалась колония с заданным уровнем энтропии. В качестве характерных уровней энтропии были выбраны величины 8,1; 7,0; 4,9 и 4,3 бит. Соответствующие радиальные распределения плотности мицелия для колоний с заданными уровнями энтропии приведены на рис. 3-6.

Рис. 3. Распределение плотности мицелия для колонии близкой к 'сплошному газону'.

 

Рис. 4. Распределение плотности мицелия для кольцевой структуры колонии.

Рис. 5. Распределение плотности мицелия для колонии с малым числом колец.

Рис. 6. Распределение плотности мицелия для колонии близкой к 'умиранию'.

Обратная задача восстановления плотности распределения по энтропии некорректна, то есть, равные по энтропии распределения могут быть различны. В частности, колония, близкая к сплошному газону может совпадать по энтропии с многокольцевой колонией. По общему энтропийному критерию их дискриминация невозможна. Однако, возможным путем решения указанной задачи и более значимой задачи идентификации структуры грибной колонии, может явиться вычисление последовательностей 'частичных' энтропий на основе измерений x_i для различных частей (зон) колонии. Например, можно вычислить величины энтропии на основе плотностей мицелия, измеренных в точках с относительными радиусами соответствующими диапазонам от 0 до 1/2 и от 1/2 до 1. Далее процесс дробления диапазонов и расчет соответствующих частичных энтропий может быть продолжен. Дискриминацию колоний следует производить на основе сопоставления всех элементов последовательности значений 'частичных' энтропий, а не только одного общего энтропийного значения.

В нашем случае, обе кривых на рис. 3 можно считать соответствующими структуре колонии близкой к сплошному газону, поскольку градиенты плотности мицелия малы и минимумы слабо выражены. При этом, качественные отличия обеих кривых рис. 3 значительны: существенное отличие средней величины плотности мицелия, различное число локальных экстремумов и т.д.

Кривые на рис. 4-6 качественно схожи, имеют равное число максимумов, однако, величины и координаты этих максимумов различны. Радиальное смещение максимумов примерно одинаковое и составляет около 0,08-0,10. Кривые распределения плотности мицелия на рис. 4-5, характеризующиеся величинами энтропии 7,0 и 4,9 бит, соответствуют регулярной кольцевой структуре колонии. Распределение плотностей, представленное на рис.6, можно считать переходным между кольцевой структурой и 'умиранием' колонии.

По-видимому, при заданном наборе параметров, а именно, при относительно малой величине коэффициента диффузии продуктов метаболизма, добиться структуры колонии еще более близкой к 'умиранию' затруднительно, даже существенно увеличивая величину коэффициента a.

Также расчеты показывают, что фактор истощения субстрата при заданных параметрах модели относительно слабо влияет на структуру колонии. В частности, увеличение начальной концентрации субстрата втрое приводит к очень малому повышению энтропии на величину порядка 0,02-0,03.

Таким образом, подтверждается вывод о том, что для образования упорядоченных структур колонии несовершенных грибов (кольцевых структур или 'умирающей' колонии) наиболее жестким должно быть ограничение, связанное с остановкой роста мицелия по причине достижения критической концентрации продуктов метаболизма [2].

 

Выводы

Отличия формируемых колоний несовершенных мицелиальных грибов при использовании различных моделей выработки продуктов метаболизма - 'запрета с уровнем h' и 'постоянной деградации' - достаточно малы. При этом, выявленный пространственный сдвиг колец может быть объяснен временным различием максимума интенсивности выработки метаболитов в течение цикла развития грибов (см. рис. 2). Исключение составляет переходный режим от 'сплошного газона' к кольцевым структурам, где наблюдаются качественные отличия радиальных распределений плотности мицелия. Помимо этого, обе выбранных модели подтверждают трактовку коэффициента a как управляющего параметра по Климонтовичу.

Вместе тем, заметим, что использование общего энтропийного критерия не гарантирует дискриминацию таких качественно различных структур колоний грибов как близкую к 'сплошному газону' и многокольцевую. Однако, модификация энтропийного критерия, в частности, переход к 'частичным' энтропиям, возможно позволит решить как задачу дискриминации близкоэнтропийных структур колоний несовершенных грибов, так и более общую задачу идентификации структуры колонии, и, в дальнейшем, управляющих параметров модели.

 

Заключение

Работа выполнена при поддержке ФЦП 'Интеграция' (проект ? 0326.75) между Институтом аналитического приборостроения РАН и Санкт-Петербургским государственным университетом.

 

Список литературы:

1. Буляница А.Л., Быстрова Е.Ю., Курочкин В.Е., Панина Л.К. Формирование пространственно распределенных периодических структур при стационарном культивировании меланинсодержащих грибов /Тезисы докладов II-го съезда биофизиков России. Москва. 1999, Т.II, С.396.

2. Буляница А.Л., Курочкин В.Е. Исследование процессов упорядочивания в открытых системах (на примере эволюции колонии несовершенных мицелиальных грибов) //Научное приборостроение, 2000, Т.10, N 2, С. 43-49.

3. Буляница А.Л., Быстрова Е.Ю., Богомолова Е.В., Панина Л.К., Курочкин В.Е. Модель образования пространственно временных периодических структур в колониях мицелиальных грибов //Журнал общей биологии, 2000, Т.61, N 4, С.400-411.

4. Буляница А.Л., Быстрова Е.Ю., Курочкин В.Е., Панина Л.К., Богомолова Е.В. Влияние коэффициента диффузии метаболитов на процессы упорядочивания в колониях несовершенных мицелиальных грибов //Научное приборостроение, 2000, Т.10, N 4, С.44-47.

5. Bogomolova E.V., Bulianitsa A.L., Bystrova E.Yu., Kurochkin V.E., Panina L.K. Spatial Periodicity in Mycelial Fungi Growth with Respect to Their Life Strategies. /Int. Conf. On Complex Systems, New England Complex Systems Institute (NECSI). Nashua, USA. 2000, Р.34-35.

6. Turing A. The chemical basis of morphogenesis //Phil. Trans. R. Soc. London, 1952. Ser. B. V.237. P.37-72.

7. Полежаев А.А., Птицын М.О. Механизм возникновения пространственно-временной упорядоченности в бактериальных системах // Биофизика. 1990. Т.35. В.2. С.302-306.

8. Климонтович Ю.Л. Энтропия и информация открытых систем // Успехи физических наук, 1999. Т.169, N 4. С.443-452.