Развитие теории химического строения, начиная со времен А.М. Бутлерова до наших дней, позволило предсказать существование изомеров, исследовать их сложность и найти пути их синтеза [1, 2, 3, 4]. В данной работе предлагается формализованный подход к построению графовых моделей изомеров при использовании векторов топологии [5], являющихся математическими ограничениями на степени вершин. В качестве математического инструментария предлагается метод замещений [6].

Введем необходимые определения и обозначения.

Вектор подвижных степеней [5] D=(d₁'d₂':'d_j':), где d_j - компонента вектора D, показывающая количество вершин графа, имеющих степень j. Вектор D является неполным, если его некоторые компоненты неизвестны и требуют вычисления.

Вектор закрепленных степеней [5] S=(s₁,s₂,:s_i, :s_n ), где s_i - степень i-ой вершины графа. Для комбинаторных задач вектор D может быть преобразован в вектор S.

L_j,min и L_j,max - соответственно, минимально и максимально допустимые длины цепей, лежащие между корневой вершиной со степенью j и висячей вершиной. Под корневой вершиной понимается вершина с максимальной степенью, если она единственна.

L_1,min и l_1,max - соответственно, минимальная и максимальная длины цепи между висячими вершинами.

L_j,j,max - длина цепи между двумя вершинами с максимальными степенями не менее 3.

Для моделирования структуры молекул типа алканов от C₅ до C₈ данных ограничений достаточно. Для более крупных молекул используются еще некоторые ограничения, которые здесь не рассматриваются.

Для иллюстрации метода моделирования рассмотрим построение молекул алкана C₇. Âåêòîð D для линейной структуры молекулы задается тривиально. Поскольку изолированных вершин в молекулярном графе нет, а максимально возможная степень равна 4, то структура вектора будет иметь следующий вид D=(d₁'d₂'d₃'d₄). Для более высоких степеней вершин поступаем следующим образом. Задаем значение интересующей нас степени (номер позиции в векторе D) и число обладающих ими вершин. Допустим, что нас интересуют изомеры, имеющие одну вершину третьей степени. Тогда запишем неполный вектор D=(d₁'d₂'1₃'d₄). Для вычисления остальных компонент неполного вектора воспользуемся следующей теоремой [5].

 

Теорема. Пусть задан неориентированный граф, тогда параметры n, m искомого подграфа и компоненты вектора D связаны между собой системой диофантовых уравнений S d_ii = 2m' S d_i = n.

Таблица 1.

 

Молекула

Вектор подвижных степеней