Ферментативная реакция в небольшом сосуде может быть представлена нелинейной системой конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Число уравнений равно числу исходных компонент, участвующих в реакции. Фермент ускоряет реакцию, уменьшает время ее перехода к своему стационарному состоянию. Если реакция достаточно близка к этому состоянию, то она приближенно представляется системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такими же уравнениями описываются радиоцепи с сосредоточенными, постоянными параметрами. Управляемые свободные процессы в таких цепях являются моделями реакций вблизи стационарных состояний.

В современной биофизике [1, 2] активно используются достижения радиоэлектроники. Широко используется, например, понятие динамической модели биологического процесса. Эти динамические модели весьма похожи на нелинейные радиоцепи. Применяются также понятия биологического триггера, биологического автогенератора. Биохимическая реакция в длинном и узком сосуде распространяется вдоль длины сосуда волнами и описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, аналогичными телеграфным уравнениям длинной линии. Математическое моделирование в биофизике широко используется. Однако математическим моделям в силу их абстрактности присущи известные ограничения, от которых свободны радиофизические модели. Последние позволяют с помощью приборов (осциллографов, самописцев) визуализировать некоторые скрытые особенности реакций.

Рассмотрим типичную ферментативную реакцию. Пусть в ней принимают участие компоненты, концентрации которых обозначим через . Поскольку каждая компонента вступает в реакцию со всеми или некоторыми другими компонентами, то ее концентрация изменяется во времени:. Наиболее распространенный случай протекания реакции в небольшом сосуде описывается нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

 

(1)

Обычно [1] эту систему поясняют следующим образом: реакция стремится к своему стационарному состоянию, в котором , при этом в результате уже состоявшейся реакции останутся некоторые, заранее неизвестные концентрации . Такое толкование часто бывает неудобным, поскольку заранее неизвестно то состояние, к которому стремится реакция. Во избежание этого проведем математическое преобразование.

В результате замены переменных получится уравнение типа (1), но в новых переменных, являющихся превышениями текущих концентраций над стационарными. Если реакция близка к стационарному состоянию, то все функции можно разложить в ряд Тейлора и отбросить слагаемые высших порядков. Тогда вместо системы типа (1) получим:

 

(2)

Это типичная система уравнений для свободных процессов радиоцепей с сосредоточенными, постоянными параметрами, которую можно представить, как одно векторное дифференциальное уравнение первого порядка в компактном виде:

(3)
где - неизвестный вектор-столбец -го порядка , - квадратная матрица -го порядка. Элементы вектора являются аналогами компонент реакции, выражаемых количественно как превышения их текущих компонент над стационарными.

Уравнение (3) описывает свободные колебания системы, под которой в данном случае понимается радиоцепь. Для его решения принципиальное значение имеет отыскание корней характеристического уравнения:

(4)
где - единичная матрица -го порядка. Здесь целесообразно выделить следующие три случая: а) все корни уравнения (4) действительны и различны, т.е. ; б) все корни различны, но среди них есть одна или несколько пар комплексно сопряженных, например, , где ; в) среди корней есть один или несколько кратных, при этом сумма числа различных корней с учетом кратности (корень учитывается столько раз, какова его кратность) равна .

В случае а) каждому корню соответствует решение: