Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности математика

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет
(отделение математики)

Экзамен состоит из двух частей: общая часть и специальная. От экзаменующихся требуется знание и свободное владение материалом, предусмотренным общей частью настоящей программы. Специальная часть предусматривает знание основных и специальных курсов по избранной узкой специальности и изложение представленного реферата.

1. Критерий полноты Кузнецова для функций k - значной логики.
2. Теорема Слупецкого.
3. Теорема Линдена для клонов конечных алгебр.
4. Теоремы Мура об экспериментах с автоматами.
5. Теорема Клини о представлении событий.
6. Теорема Мак-Ноттона о представлении сверхсобытий.
7. Моделирование в однородных структурах. Универсальность.
8. Неэффективность критериев полноты для структурных автоматов.
9. Совпадение классов вычислимых и частично-рекурсивных функций.
10. Алгоритмически неразрешимые проблемы.
11. Алфавитное и оптимальное кодирование.
12. Теорема Новикова о персепторне.
13. Графы. Теорема о плоской реализации (Понтрягина-Куратовского). Теорема Шеннона о реберной раскраске. Теорема о потоке через Сеть.
14. Алгоритм распознавания голосованием по тестам.
15. Информационно-графовая модель данных.
16. Дискретная оптимизация
    1. Метод ветвей и границ
    2. Задача о рюкзаке
    3. Минимизация и сложность д.н.ф. Локальные алгоритмы. Теорема Журавлева.
17. Логика и исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость.
18. Логика и исчисление предикатов.
19. Формальные языки. Классификация Хомского.
20. Схемная сложность булевых функций. Теорема Шеннона.
21. Алгоритмическая сложность. P- и NP-полнота.

1. Непрерывность функций одной и многих переменных, свойства непрерывных функций. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные условия дифференцируемости. Градиент.
   
2. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.
   
3. Понятие метрического пространства, полные метрические пространства, компактность. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости Коши.
   
4. Функции с ограниченным изменением. Мера в смысле Лебега. Теорема Д.Ф.Егорова, C-свойство. Абсолютно непрерывные функции.
   
5. Суммируемые функции. Интеграл Лебега и его основные свойства. Гильбертовы пространства. Изоморфизм L2 и l2. Сходимость в среднем.
   
6. Интегральные уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма.
   
7. Ортогональные системы функций. Неравенство Бесселя, условие полноты. Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье.
   
8. Линейные пространства, их подпространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
   
9. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции.
   
10. Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задания матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения, связь последних с характеристическими корнями. Приведение матрицы, линейного оператора к жордановой форме.
    
11. Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Ортогональные и самосопряженные преобразования, приведение квадратичной формы к главным осям.
    
12. Аффинная и метрическая классификация кривых и поверхностей 2-го порядка. Проективная классификация линий 2-го порядка.
    
13. Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Фактор-группы. Теорема о гомоморфизмах.
    
14. Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
    
15. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.
    
16. Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Их классификация. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Задача Коши для уравнения струны. Первая краевая задача и задача Коши для уравнения теплопроводности.
    
17. Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
    
18. Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции. Дробно-линейные преобразования.
    
19. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение.
    
20. Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты.
    
21. Аналитическая функция в целом. Римановы поверхности.
    
22. Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций. Криволинейные координаты на многообразии.
    
23. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линии на поверхности. Теорема Менье. Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Главные направления и главные кривизны. Формула Эйлера. Гауссова кривизна поверхности.
    
24. Понятие топологического пространства. Понятие топологического и гладкого многообразия. Основы римановой геометрии и тензорного анализа (аффинная связность, ковариантное дифференцирование, тензор кривизны).
    
25. Понятие о простейшей проблеме вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Геодезические линии.
    
26. Дифференциальные формы на многообразиях. Общая теорема Стокса. Следствия для векторных полей в трехмерном пространстве. Дивергенция. Вихрь.

 
Литература по общей части

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии
   
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
   
3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре
   
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
   
5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ
   
6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры
   
7. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры
   
8. Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций.
   
9. Никольский С.М. Курс математического анализа.
   
10. Новиков С.П. Дифференциальная геометрия. I и II.
    
11. Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
    
12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.
    
13. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
    
14. Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия.
    
15. Рашевский П.К. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ
    
16. Рудин У. Основы математического анализа
    
17. Шабат. Б.В. Введение в комплексный анализ
    
18. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств.
    

1. Зорич В.А. Математический анализ. Том I и II. [к билетам 1, 2, 7, 22, 26]
   
2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. [к билетам 23-26]
   
3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. [к билетам 23-26]
   
4. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. [к билетам 6, 16]
   
5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. [к билетам 6, 16]
   
6. Евграфов М.А. Аналитические функции. [к билетам 17-21]