Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.intsys.msu.ru/magazine/archive/v12(1-4)/nosov-317-332.pdf
Дата изменения: Thu Sep 10 00:02:24 2009
Дата индексирования: Mon Oct 1 23:42:58 2012
Кодировка:

. . , . .

n- , n- . , .

: , , [1]. [2], , . , , , . . , ( ). .
, 5666.2006.1

318

. . , . .

L(x, y ) = x + y , x y , x, y = {0, 1, . . . , n - 1}, n ( , L(x, y ) = x + y Zn ). n Zn L(x, y ) = x + y + f (x, y ), (1)

, ( ). , [4], [5], [6]. , n n в n, , || = n, , . n 0 1 ··· n - 2 n - 1 1 2 ··· n - 1 0 . . . .. . L= . . . . n - 2 n - 1 · · · n - 4 n - 3 n-1 0 ··· n-3 n-2

f Zn в Zn Zn . , n , . , (1). f (x, y ) - . , , (1), .

319

1. ,
, = En , n. m в m, m = |En | = 2n . L En L(x, y ) = (z1 , . . . , zn ), x = (x1 , . . . , xn ) y = (y1 , . . . , yn ), zi = gi (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ), i = 1, . . . , n, (2)

gi 2n x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn . [7] . 1. [4] n G = {g1 , g2 , . . . , gn } 2n x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , yn (2) , gi1 · · · · · gik , 1 i1 < · · · < ik n, k < n, , x1 . . . xn y1 . . . yn , g1 · · · · · gn , . . F = {f1 (z1 , . . . , zn ), . . . , fn (z1 , . . . , zn )} n z1 , . . . , zn . 1 (x1 , y1 ), . . . , n (xn , yn ) . G = {g1 , . . . , gn } 2n x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn g1 = x1 + y1 + f1 (1 (x1 , y1 ), . . . , n (xn , yn )) g2 = x2 + y2 + f2 (1 (x1 , y1 ), . . . , n (xn , yn )) ... gn = xn + yn + fn (1 (x1 , y1 ), . . . , n (xn , yn )). (3)

320

. . , . .

, F = {f1 , f2 , . . . , fn } , z = (z1 , z2 , . . . , zn ) z = (z1 , z2 , . . . , zn ) 1, n ,
z = z , f (z1 , . . . , zn ) = f (z1 , . . . , zn ).

(4)

2. [4] G = {g1 , g2 , . . . , gn } (3) (2) 1 , 2 , . . . , n , F = {f1 , f2 , . . . , fn } . . 2 F = {f1 , f2 , . . . , fn } , - 1 , 2 , . . . , n . . f (x1 , x2 , . . . , xn ) n I [1, n]. xI = s n, (xi ), i I , I = [1, s], 1 f , f (1 , . . . , s , xs
1 ,...,s +1

, . . . , xn ) 0 (mod 2)

(5)

s = 1 . s = n (xi ), i [1, n] f . . 3. [3] F = {f1 , f2 , . . . , fn } x1 , x2 , . . . , xn , I {1, 2, . . . , n} fi
iI

xI = {xi }, i I .

321

2. , p-
Fn , n-p Fp . L Fn n p- 2n p : g1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) g2 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) . . . gn (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ). , , x = (x1 , . . . , xn ) , y = (y1 , . . . , yn ) , (g1 , . . . , gn ) L(x, y ) = (z1 , . . . , zn ) L. p- [8] , (6) . 4. [5] p- G = {g1 , g2 , . . . , gn } 2n x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn , p p gi11 . . . gikk g1 -1 . . . gk-1 , 1 i1 < · · · < ik n, 1 i p - 1, i = 1, . . . , k, 1 k n, xp-1 . . . xp-1 n 1 p -1 p -1 y1 . . . yn 0, p p g1 -1 . . . gn-1 1. , 1 , . , p- . (6)

322

. . , . .

p- F = {f1 , f2 , . . . , fn } n z1 , z2 , . . . , zn . 1 (x1 , y1 ), . . . , n (xn , yn ) p- 2- . p- G = {g1 , g2 , . . . , gn } x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn g1 = H1 (x1 , y1 , f1 (1 (x1 , y1 ), . . . , n (xn , yn ))) g2 = H2 (x2 , y2 , f2 (1 (x1 , y1 ), . . . , n (xn , yn ))) ... gn = Hn (xn , yn , fn (1 (x1 , y1 ), . . . , n (xn , yn ))), Hi , i 1, n p- 3- . , H : F3 Fp , p H (x, y , z ) = t Fp . , , 1, p- . 5. [5] Hi , i 1, n G = {g1 , g2 , . . . , gn } (7) 1 , . . . , n , F = {f1 , f2 , . . . , fn } . , , Fp . , , , 1 (x) + 2 (y ) + 3 (z ), i Fp . p (. [9]). , p- . (7)

323

6. [5] p- F = {f1 , f2 , . . . , fn } x1 , x2 , . . . , xn , a = (a1 , . . . , an ) Fn p F (a) = {x1 + a1 f1 , x2 + a2 f2 , . . . , xn + an fn } .

3.
, . 0 . (n) G: H = Gn = G в G в · · · в G .
n

(8)

H |H |. H . x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y = (y1 , y2 , . . . , yn ) H . L(x, y ) = (z1 , z2 , . . . , zn ), , x, , y , z1 = x1 + y1 + f1 (p1 (x1 , y1 ), . . . , pn (xn , yn )) z2 = x2 + y2 + f2 (p1 (x1 , y1 ), . . . , pn (xn , yn )) . . . zn = xn + yn + fn (p1 (x1 , y1 ), . . . , pn (xn , yn )). p1 , p2 , . . . , pn GвG G; f1 , f2 , . . . , fn G. , (9) . , f1 = -y1 , f2 = -y2 , . . . , fn = -yn Gn (9)

324

. . , . .

. f1 , f2 , . . . , fn , L = L(x, y ) p1 , p2 , . . . , pn . , , k- , . 7. [6] , (9), p1 , p2 , . . . , pn , f1 , f2 , . . . , fn . . k- , 7 f1 , f2 , . . . , fn , - p1 , p2 , . . . , pn . , |H |n|H | . 8. 1 , 2 , . . . , n 2 (f2 ), . . . , xn Gn Gn ). [6] f1 , f2 , . . . , fn , G G {x1 + 1 (f1 ), x2 + + n (fn )} (

. 8 , , [8]. . 9. [6] F = {f1 , f2 , . . . , fn } Gn G,

325

f1 (x1 , . . . , xn ) = a11 x1 + · · · + a1n xn + c1 f2 (x1 , . . . , xn ) = a21 x1 + · · · + a2n xn + c2 . . . . fn (x1 , . . . , xn ) = an1 x1 + · · · + ann xn + cn c1 , c2 , . . . , cn G, aij G. GF = (V , E ) ( ) V = {1, 2, . . . , n}, (i, j ) E aij = 0. F = {f1 , f2 , . . . , fn } , GF . 9 . , . g G , f (x1 , . . . , xn ) Gn G g-, xi , , f (g, . . . , g, xi , g, . . . , g) const. , g- g G. . , |G| , |G| , n g- n 1. GF , (i, j ) E fj xi (, , 9, ). F = {f1 , f2 , . . . , fn }. 10. g- F = {f1 , f2 , . . . , fn } , GF . . . , GF ()

326

. . , . .

i1 i2 . . . ik . k = 1 i1 . , fi1 i1 , F 2 [6]. i1 i2 . . . ik . I = {i1 , i2 , . . . , ik }. j 1, k fij+1 xij ( fik+1 fi1 ). , j I fj xi , i I . , k = 2 i1 , i2 I , fj xi1 , xi2 , ( j , ). k 3, , ( ) s, 1 s k - 2, , fik xis . GF (is , ik ) , , i1 i2 . . . is ik , i1 i2 . . . ik . g = (g, . . . , g) g = (g1 , . . . , gn ) . i I gi = g. , fi2 xi1 , g- xi1 = gi1 , fi2 (g, . . . , g, gi1 , g, . . . , g) = fi2 (g, . . . , g). gi , i I , fi1 (g, . . . , g, gik , g, . . . , g) = fi1 (g, . . . , g) fi2 (g, . . . , g, gi1 , g, . . . , g) = fi2 (g, . . . , g) . . . fik (g, . . . , g, gik-1 , g, . . . , g) = fik (g, . . . , g) xi , i I . g = (g1 , . . . , gn ). F = {f1 , f2 , . . . , fn },

327

g = (g, . . . , g) g = (g1 , . . . , gn ). . , g- F = {f1 , f2 , . . . , fn } . g = (g1 , . . . , gn ) g = (g1 , . . . , gn ) , 1, n g = g ) = f (g ). f (g I = {i1 , i2 , . . . , ik } , g g . - s1 I . fs1 (g ) = fs1 (g ), fs1 , , xi1 , xi2 , . . . , xik . , GF , , , s1 . (s2 , s1 ), s2 I . s3 I , GF (s3 , s2 ). , s1 , s2 , . . . , I , GF (sj +1 , sj ), j = 1, 2, . . . . I sq I , sp . sp sp+1 . . . sq-1 GF . . x , 10. f g Gn G , Gn f (x) = 0 g(x) = 0.

. F = {f1 , f2 , . . . , fn } , i, 1 i n, fi xi . F . F = {f1 , f2 , . . . , fn }. F = {f1 , f2 , . . . , fn } , , GF .

328

. . , . .

L H , = L = H , : L(x) = 1, x L 0, x L / L(x) = 0, x L 1, x L /

F = {f1 , f2 , . . . , fn } f1 = L(x2 )L(x3 ) · · · L(xn
-1

)L(xn )g1

f2 = L(x3 )L(x4 ) · · · L(xn )L(x1 )g2 . . . fn = L(x1 )L(x2 ) · · · L(xn
-2

)L(xn

-1

)gn

g1 , g2 , . . . , gn G, . , i, 1 i n, fi xi . F = {f1 , f2 , . . . , fn } , GF . . k- (G = Z2 G = Zp , ) .

4.
, . , ( ) . , , : , -

329

. , . . . Zn . x, y Z L(x, y ) L(x, y ) = (x + y ) + x (10) L(x, y ) = (x + y ) - x, (11) Zn . + ( - ) , (10) (, (11)). 11. [10] 1) = (x) + ( - ) , , -, , -, (x) = (x) + x (, (x) = (x) - x) . 2) n .
+

-

n -

3) + - , . n n. Fp p > p - 1 = l · m, l > 2, m s F ( p k = sm . x x = s · k , 0 m - 1, (x) = kx + : = (0)(1 k k2 . . . k
l -1

5. p 2. p - 1). F p 0 l.

)(s sk sk2 . . . sk . . . (s
m-1

l -1

)...
m-1 2

s

m-1

ks

k ... s

m-1 l-1

k

).

330

. . , . .

, , , + . = (0 , . . . , m-1 ), 0 = 1, i = ±1, i = 1, . . . , m - 1. , i , i = -1. 12. [10] = (1, . . . , 1), L(x, y ) = (x + y ) + x ( ) .

5.
n- , n- . , 2n . 1 . 2 . 3 . p- ( n- ). . k- . g- ( g- 1 ).

331

. , ( , ).

[1] Shannon C. Communication Theory of Secrecy Systems // Bell System Techn. J. 28, 4. 1949. P. 656715. [ : . // .: . . . ., 1963. . 333369.] [2] Denes J., Keedwell A. D. Latin squares and their applications. Budap est, 1974. [3] . . // . . 3, . 34. 1998. . 269280. [4] . . // . . 4, . 34. 1999. . 307320. [5] . . // . . 8, . 14. 2004. . 517528. [6] . ., . . // . . 12, . 3. 2006. . 6571. [7] . ., . . // . . 172. . 3. 1967. . 543546.

332

. . , . .

[8] . ., . . // . . 2, . 1. 1990. . 2630. [9] Lidl R., Niederreiter H. Finite Fields. Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1983. [ : ., . . .: , 1988.] [10] . . // .: . 2324 2003 . ., 2004. . 410412.