Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.inorg.chem.msu.ru/pdf/tg.pdf Дата изменения: Tue Apr 23 21:52:36 2002 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:58:14 2012 Кодировка: IBM-866

руппы и их приложеия культет ук о м тери л х
F F рт моов



одерж ие
л в IF IF PF QF RF SF TF UF VF WF совы теории групп S S V W W IH II IQ IS IU IW PS PS PT PU QQ QQ QS QT QV RQ RQ RS RU SI SI SR SV TI руппыD примеры одгруппы орядки элеметов группы иклические группы и их подгруппы межые кл ссы и теорем гр ж омоморфизмыD орм льые подгруппыD ф кторгруппы л ссы сопряжеых элеметов оммут т группы рямые произведеия групп оечо порождеые белевы группы рист ллогр фические группы

л в PF л в QF IF PF QF

руппы движеий вумерый случ й рехмерый случ й леметы теории предст влеий групп

л в RF IF PF QF RF

совые поятия и примеры еорем шке и ее приложеия емм ур и ее следствия р ктеры предст влеия лгебры и поля

л в SF IF PF QF

ольц и лгебры еорем рорбеиус лгебры и иейые группы и их лгебры и

л в TF IF PF QF

с тельые простр ств труктур лгебры и редст влеия групп и

T

E

итер тур

Q


R




I

совы теории групп
этой гл ве изуч ются осовые поятия теории группF
IF руппыD примеры

помим екоторые еобходимые определеияF
пределеие

IFIF ожество

G

с би рой опер цией уможеия

xy

E

зыв ется группой D если IF уможеие ссоци тивоD тF еF PF существует т кой элемет

(xy )z = x(y z ) для всех x, y , z GY 1 GD зыв емый едиицей GD что x1 =
т кой элемет

1x = x

для всех

xG
что

Y

QF для любого элемет

обр тым к
пределеие

x,

x G йдется xx-1 = x-1 x = 1F G q

x-1

D зыв емый

IFPF орядком группы

зыв ется число

|G|

элеметов в

G

F
пр жеие

IFQF усть

F

{ поле из

элеметовF ок з тьD что
n-1

| GL(n, F )| = (q n - 1)(q n - q )(q n - q 2 ) § § § (q n - q
редложеие

).

IFRF диичый элемет в группе едиствееF ля к жE

дого элемет тогоD если

x G обр тый элемет x-1 x G, то (x-1 )-1 = xF
IFSF усть пр вильый

определе одоз чоF роме

пределеие

n

Eугольик

M

р сположе в

C=

R

2

D причем его цетр ходится в улеD вершиы леж т окружости р диус

ID и од из верши в точке IF руппой диэдр

Dn

зыв ется можество всех

ффиых обр тимых преобр зов ий комплексой плоскостиD переводящих

M

в себяF пер цией уможеия в

Dn

является произведеие @композицияA

преобр зов ийF
редложеие

IFTF усть пр вильый

n

Eугольик р сположе в

C=R

2

D

причем его цетр ходится в улеD вершиы леж т окружости р диус ID и од из верши в точке IF усть

2 cos n a= 2 sin n
огд

2 - sin n 2 , cos n
n

b=

10 . 0 -1
-1

Dn

состоит из элеметов

имеет порядок

2n

F роме тогоD

1, a, a2 , . . . , an-1 , b, ba, . . . , ban a = b2 = (ba)2 = 1.
S

и потому


T

IF

пр жеие

IFUF усть

I=
ок з тьD что IF PF

i0 ,J = 0 -i

0 -1 ,K = 10

0 -i

-i 0

SL(2, C).

I 2 = J 2 = K 2 = -E , I J = K, J K = I , K I = J, J I = -K, K J = -I , I K = -J Y V м триц ‘E , ‘I , ‘J ‘ K обр зуют подгруппу кв териоов Q8 в группе SL(2, C).
IFVF сли

пр жеие

Hi , i I

{ подгруппы группы

G,

то

i

I

H

i{

подгрупп группы

G

F

риведем еще оду в жую серию примеров группF усть

Xn = {1, 2, . . . , n}.
пределеие

IFWF ерест овкой @подст овкойA степеи

n

зыв ется

биективое отобр жеие перест овок степеи
редложеие

X

n в себяF

ерез

S

n обоз ч ется можество всех

n

F

IFIHF роизведеие перест овок и обр т я и тождестE

ве я перест овки сов являются перест овк миF можеие перест E овок ссоци тивоF ч стостиD
боз чеие

S

n является группойF nF

IFIIF усть

S

огд если

X

n

= {i1 , . . . , in }D

то



одоз чо з д ется в виде двустрочой м трицы

=
пр жеие

i1 ... (i1 ) . . .
из @IAD и

in (i1 ) jn . in jn (in ) (in ) i1

@IA

IFIPF усть

=
огд

j1 i1

... ...

=
и

j1 ... (i1 ) . . . (i1 ) . . . i1 ...
из @IAF


пределеие

-1

=

IFIQF усть

огд з ком

зыв ется @EIA в

степеи

k

D где

k

{ сумм числ иверсий в перест овк х

i1 , . . . , i
редложеие

nи

(i1 ), . . . , (in ).

IFIRF пределеие з к подст овки корректо и е з E

висит от предст влеия @IAF к произведеия подст овок р ве произвеE деию з ковF
пределеие

IFISF усть

i1 , . . . , i
если если если

k { р зличые числ из

X

nF

иклом
n

(i1 , . . . , ik ) S

n длиы

k

зыв ется т к я перест овк



D что для

mX

is+1 , (m) = i1 , m, ,

m = is , s < k ; m = ik ; m Xn \ {i1 , . . . , ik }.


IF D

U

в цикл

ез висимы D если все
еорем

(i1 , . . . , ik ), (j1 , . . . , js ) Sn элеметы i1 , . . . , ik , j1 , . . . , js р зличыF

IFITF юб я перест овк р зл г ется в произведеие ез виE

симых цикловF
усть Sn F ожо счит тьD что = 1F озьмем k , 1 k nD и предположимD что элеметы k0 = k , k1 = k , k2 = 2 k , . . . , kl = l k р зличыD о l+1 k = s k D где 0 s lF
ок з тельствоF

произвольый элемет

емм

IFIUF

s = 0.
сли

ок з тельствоF

действует иъективо т кD можестве

s > 0D то (ks-1 ) = (kl )D что евозможоD X = {1, . . . , n}D о ks-1 = kl в силу выбор lF
подст овк

ибо



{k0 , k1 , . . . , kl } k0 k1 k1 k2 ... ...



действует к к

kl-1 kl

kl k0

ыберем теперь произвольое число к и выше строим можество вует к к цикл

j, 1 j nD причем j {k0 , k1 , . . . , kl }F / {j0 , j1 , . . . , jt }D котором подст овк дейстE j1 j2 ... ... j
t-1

j0 j1
емм

jt

jt j0
р зличыF

IFIVF се элеметы усть

k0 , k1 , . . . , kl , j0 , j1 , . . . , jt
F огд

ок з тельствоF

jr = kq
-r

j0 =
что евозможоF

jr {k0 , k1 , . . . , kl },

родолж я этот процессD получ ем подст овку

=

k0 k1

k1 k2

... ...

kl-1 kl

kl k0 S
-1

j0 j1
nи

j1 j2

... ...

j

t-1

jt

jt §§§ . j0 S
n F огд

епосредстве я проверк пок зыв етD что
редложеие

= .
{ цикл из

IFIWF усть

(i1 , . . . , ik )

(i1 , . . . , ik )
ок з тельствоF пределеие еорем

= ( (i1 ), . . . , (ik )).

епосредстве я проверк F

IFPHF р спозицией зыв ется цикл длиы PF

IFPIF жд я перест овк является произведеием тр споE

зицийF
ок з тельствоF пределеие

(i1 , . . . , ik ) = (i1 , i2 )(i2 , i3 ) § § § (i ,... ,i

k-1

, ik ). is , i t D (-1)M D где Sn имеет

IFPPF усть i1

n { последов тельость р зличых чиE

сел из что

M

и is > it F ком последов тельости зыв ется число { число иверсий в последов тельостиF сли подст овк

Xn s
F версией в этой последов тельости зыв ется т к я п р

двустрочую з пись @IAD где

i1 = 1, . . . , in = n

D то з к

(-1)sig

ma

перест овки

р ве з ку последов тельости из второй строкиF


V

IF

ледствие

IFPQF сли подст овк р зложе в произведеие

s

тр сE

позицийD то ее з к р ве

(-1)k

-1

(-1)s

F ч стостиD з к цикл длиы

k

р ве

F
ужо воспользов ться теоремой IFPIF

ок з тельствоF пределеие

IFPRF ерест овк чет D если о имеет з к ID в проE

тивом случ е о ечет F ерез перест овок из
еорем

An

обоз ч ется можество всех четых

S

nF

IFPSF

|Sn | = n!,

|An | =

ок з тельствоF

тобр жеие

n! . 2 (1, 2)

переводит

An

в

Sn \ An

и

оборотF
PF одгруппы пределеие

IFPTF епустое подможество

H

в группе

G

зыв ется подE

группой D если вместе с любыми двумя его элемет ми оо содержит их произE
ведеиеD и с к ждым своим элеметом
редложеие

H

содержит его обр тыйF

IFPUF сли

H

{ подгрупп в группе

G

и I { едиичый

элемет

G

D то

1H

F

пр жеие

IFPVF произвольой группе произведеие любого числ

элеметов е з висит от р сст овки скобокF
редложеие

IFPWF ля епустого подможеств

H

в группе

G

следуE

ющие условия эквив летыX
IF

H

является подгруппой в

PF если

x, y H,

то

xy

-1

G HF

Y

ок з тельствоF

усть выполео условие @IAD и

делеия IFPT получ ем @PAF

x, y

-1

H

D откуд

xy

-1

x, y H

F силу опреE

H

D тF еF выполео условие огд

бр тоD пусть выполео условие @PAD и

1 = y y -1 H если x, y H D
римеры

по @PAF лее то

x, y

-1

1, y H

D откуд

y

-1

y HF = 1y

H

по док з ому вышеF

y , y H D откуд H по @PAF коецD тсюд x(y -1 )-1 = xy H
-1

по предложеию IFRF IFQHF риведем примеры групп и их подгруппX

IF групп PF групп

Sn содержит подгруппы An , Sn GL(n, C) содержит подгруппы

-1 Y

GL(n, R), GL(n, Q), SL(n, C), SL(n, R), O(n, R), SO(n, R) = SL(n, R) O(n, R), U(n, C), SU(n, C) = SL(n, C) U(n, C);
QF групп содержит подгруппы RF групп диэдр пр вильый
пр жеие

U = U(1, C)D Un = {z C|z n = 1}Y Dn , n 3D состоящ я из всех движеий R2 D переводящих Hi , i I
{ подгруппы группы

n G

Eугольик в себяF

IFQIF сли F

G,

то

i

I

H

i{

подгрупп группы


RF

W

QF орядки элеметов группы пределеие

IFQPF усть

a

{ элемет группы

G

F ля произволього цеE

лого числ

n

положим

редложеие

IFQQF усть

1, n a = a § § § a, n -n -1 (a ) , a

если если если

n = 0; n > 0; n < 0. n, m ZF

{ элемет екоторой группы и

огд

an
пределеие

+m

= an am ,

(an )m = anm .

@или

IFQRF усть a { элемет екоторой группыF орядком |a| o(a)A элемет a зыв ется т кое имеьшее тур льое число nD что an = 1. сли т кого числ n етD то говорятD что порядок a р ве бескоечостиF
редложеие

IFQSF усть

|a| = n < ,

и

m ZF

ледующие условия

эквив летыX
IF PF

n|m (n am = 1F

делит

m)Y aG
F ерез

пределеие

IFQTF усть

a

обоз чим можество

{an |n

Z}

всех степеей элемет
пр жеие

aF
является подгруппой в

IFQUF

a

G

F

RF иклические группы и их подгруппы пределеие

IFQVF усть

aG

F

одгрупп

кой подгруппой в группе

G

D порождеой элеметом

a aF

зыв ется цикличесE рупп

циклической с порожд ющим @обр зующимA элеметом
римеры

a,

если

G зыв ется a = GF

IFQWF ок з тьD что

IF групп PF групп

Z является циклическ я с Un комплексых корей n

порожд ющим элеметом I @или EIAY Eой степеи из I является циклической

группой с порожд ющим элеметом

exp
редложеие

2 i 2 i 2 i = cos + i sin . n n n a
{ элемет екоторой группыF огд

IFRHF усть

| a |=
и

|a|.
ок з тельствоF

сли

|a| = n < .

этом случ е

ar = am при екоторых r < m a = {1, a, a2 , . . . , an-1 }. |a| = n aD

D то

am-r = 1

боз чеие

IFRIF сли

в условии предложеия IFRHD то циклиE мы будем обоз ч ть

ческую группуD порождеую элеметом
еорем

a

nF

IFRPF одгрупп циклической группы с м является цикличесE

койF


IH

IF

ок з тельствоF

усть

H H

{ подгрупп циклической группы

G= a

F

сли мет

a-m , -m > 0F ыберем т кое имеьшее тур льое число mD что b = a H F сли ar H , r ZD тоD деля r с ост тком mD получ ем r = sm + q , 0 q < mF ри этом aq = ar-sm = ar (am )-s H по предложеию IFQQD что противоречит выбору mD если q > 0F
сли

H = 1D то am , m = 0F

утверждеие очевидоF усть

H

содержит еедиичый элеE
m

m<0

D то

содержит и элемет

ледствие

IFRQF усть

существуют т кие целые числ
ок з тельствоF

m1 , . . . , mn Z D и d { чисел m1 , . . . , mn F огд u1 , . . . , un Z D что m1 u1 + § § § + mn un = dF H = Zm1 + § § § + Zmn
nи

усть

F огд

ZD

иD следов тельоD
еорем

H = Zd

F ст ется убедитьсяD что

H { подгрупп d = (m1 , . . . , mn )F GF огд H = ad
n d

в

IFRRF усть

G= a

и притом едиствеое т кое число
ок з тельствоF

H dD

{ подгрупп в делящее

существует

n

D что

.
екоторого

о теореме IFRP получ ем ст ется з метитьD

0k
F оложим

d = (n, k )F

H = ak для что H = ad . a
12 F

пр жеие

IFRSF пис ть все подгруппы в

SF межые кл ссы и теорем гр ж пределеие

IFRTF усть

H

{ подгрупп в группе

смежым кл ссом
пр жеие

gH

зыв ется подможество

GD и g G {g h|h H } в GF

F евым

IFRUF йти

IF левые смежые кл ссы PF левые смежые кл ссы

GL(n, C) Z по nZY H

по

SL(n, C)Y S
n-1 F

QF левые и пр вые смежые кл ссы
пр жеие

S

n по

IFRVF усть

{ подгрупп в группе

G

и

x, y G.

ок з тьD

что следующие условия эквив летыX IF PF

xH = y H x-1 y H

Y F IFRWF усть

редложеие

H H

{ подгрупп в группе

G
и

и

xG

F огд

|H | = |xH |F
редложеие

IFSHF усть

{ подгрупп в группе

G

x, y G

D причем

y xH
рого

F огд

xH = y H

F
соD что тF еF

ок з тельствоF

h

-1

h H F ледов тельоD u H F тсюд xH y H D
ледствие

для любого

y H xH F о uH xH = y H F

условию

получ ем

y = xh для екотоE xu = y (h-1 u), где

IFSIF усть

выхA смежых кл сс

G

по

H { подгрупп в группе GF H либо совп д ютD либо е

огд дв левых @пр E пересек ютсяF

ок з тельствоF еорем

оспользов ться предложеием IFSHF

IFSP @еорем гр ж A F усть

H

{ подгрупп в коечой

группе

G
F

F огд

|G| = |H |j

D где

j

{ число левых @пр выхA смежых кл сс

G

по

H


TF D D

II

ок з тельствоF

зобъем

G

левые смежые кл ссы по

H

F огд

к ждый элемет

xG

лежит в екотором кл ссеD имеоD в

xH

F ст ется

воспользов ться следствием IFSI и предложеием IFRW
ледствие

IFSQF орядок элемет коечой группы делит порядок IFSRF рупп простого порядк является циклическойF

группыF
ледствие

TF омоморфизмыD орм льые подгруппыD ф кторгруппы пределеие

IFSSF тобр жеие групп для всех

физмом D если

f (xy ) = f (x)f (y )

f : G H зыв ется гомоморE x, y GF ъективый гомоморфизм

зыв ется мооморфизмом F

юръективый гомоморфизм зыв ется эпиE

морфизмом F иективый гомоморфизм зыв ется изоморфизмом F зоморE
физм группы себя зыв ется втоморфизмом F
римеры

IFSTF римеры гомоморфизмовX

IF PF

det : GL(n, C) C Y з к подст овки : Sn {‘1}F
IFSUF сли
-1

пр жеие

g

{ фиксиров ый элемет группы

G

D то отоE

бр жеие

x g ag

является втоморфизмом группы

G

F

пределеие

IFSVF втоморфизм из упр жеия IFSU зыв ется вутE

реим F т кже зыв ется сопряжеием с помощью
редложеие

g

F

IFSWF усть

1

и

f (x-1 ) = f (x)-1
пр жеие

для всех

f:GH x GF f:GH

{ гомоморфизмомF огд

f (1) =

IFTHF усть

{ гомоморфизм группF ок з тьD

что IF если PF если

G1 { подгрупп в GD то f (G1 ) является подгруппой в H Y g : H F { гомоморфизм группD то g f : G F т кже
IFTIF одгрупп любого

является

гомоморфизмом группF
пределеие

H

в группе

G

зыв ется орм льой D

если

xH x-1 H для GD то пишут H GF
редложеие

xG H

F сли

H

{орм ль я подгрупп в группе

IFTPF усть

{ подгрупп в группе

G

F огд следующие

условия эквив летыX
IF подгрупп PF

H орм ль в GY xH x-1 = H для любого x G
кл ссомY

Y

QF к ждый левый смежый кл сс RF к ждый пр вый смежый кл сс

G

по

H

является пр вым смежым является левым смежым

G

по

H

кл ссомF
ок з тельствоF

усть выполео условие @IA и

xG

F огд

x
откуд @QAF

-1

H (x

-1 -1

)

=x

-1

H x H,
тF еF выполео

H xH x

-1

и поэтому

xH x

-1

усть теперь выполео @PAF огд

= H в силу @IAF xH = xH x-1 x = H xD


IP

IF

редположим теперьD что выполео @QAD и р ссмотрим левый смежый кл сс тF еF @IAF т кD первые три условия эквив летыF логичо пок зыв етсяD что четвертое условие эквив лето второмуF
пределеие

xH F о условию о является пр вым смежым кл ссомD xH = H x по предложеию IFSHF тсюд вытек ет @PAD иD

содерж щим

xD

следов тельоD

IFTQF усть

зыв ется можество всех т ких
редложеие римеры

f : G H { гомоморфизм x GD что f (x) = 1F GF

группF дром

ker f

IFTRF

ker f

IFTSF ок з тьD что

IF PF QF

An Sn Y SL(n, C) GL(n, C)Y V 4 S 4 D S3 S4 .
IFTTF усть иъективо

пр жеие

что отобр жеие
-1

f

f : G H { гомоморфизм ker f = 1F f:GH

группF ок з тьD

редложеие

IFTUF усть

{ гомоморфизм групп и

xG

F

огд

f

(f (x)) = x ker f yf
-1

F

ок з тельствоF

метимD что в силу упр жеия IFRV

(f (x)) f (y ) = f (x) f (x-1 y ) = 1 x-1 y ker f x ker f = y ker f . Symm T
{ групп симметрий тетр эдр

тсюд вытек ет утверждеие
еорем

IFTVF усть

T

F огд
D

Symm T
то

S

4F

ок з тельствоF

усть IDPDQDR { омер верши в

g (1), g (2), g (3), g (4)

{ все вершиы

T

F д дим

T F сли g Symm T f : Symm T S4 D пол г я

f (g ) =
етрудо убедитьсяD что

1 2 3 4 . g (1) g (2) g (3) g (4) ker f = 1
F

g

является эпиморфизмом и

остроеие ф кторгруппы

G/H

D где

H

G

F

остроеие естествеого

гомоморфизм
F

: G G/N

F

пр жеие

IFTWF сли

: G G/N

{ естествеый гомоморфизмD то

ker = N

еорем

IFUH @еорем о гомоморфизм хA F усть

f :GH

{ гомоморE

физм группF огд
-1

G/ ker f
усть

f (G)F xG
F о предложеию IFTU получ емD что

ок з тельствоF

f

(f (x)) = x ker f

F д дим теперь отобр жеие

: f (G) G/ ker f

по пр E

вилу

(f (x)) = f
роверимD что

-1

(f (x)) = x ker f . x, y G
F огд



является гомоморфизмом группF усть

f

-1

xy

(f (xy ))D

тF еF

(f (xy )) = xy (ker f ) = (x ker f )(y ker f ) = (f (x)) (f (y )).


UF

IQ

т кD леию



является гомоморфизмомF

иъективоF усть g , h f (G) и (g ) = (h)F о опредеE g = f (x), h = f (y ) для екоторых x, y GF тсюд x ker f = y ker f D и поэтому g = f (x) = f (y ) = hF бедимсяD что сюръективоF сли x GD то x ker f = (f (x)). т кD {
бедимсяD что изоморфизмF
римеры

IFUIF ок з тьD что

IF PF QF

GL(n, C)/ SL(n, C) Sn /An {‘1}Y Z/nZ Un F

C



Y

UF л ссы сопряжеых элеметов пределеие

IFUPF в элеметы

x, y
-1

группы

G

сопряжеыD если сущестE

вует т кой элемет

gG

D что

x = gyg

F л ссом сопряжеых элеметов в

G

зыв ется можество всех сопряжеых между собой элеметов из
редложеие

G

F

IFUQF в кл сс сопряжеых элеметов либо совп д ютD

либо е пересек ютсяF
ок з тельствоF

редположимD что элемет

z = (g h-1

усть X, Y { дв кл сс сопряжеых элеметов в GF x X Y F сли z X D то z = g xg -1 для екоторого g GF сли y Y D то y = hxh-1 для екоторого h GF тсюд )y (g h-1 )-1 F ким обр зомD X Y F логичоD Y X F IFURF зые кл ссы сопряжеых элеметов е пересек ютсяF IFUSF усть

ледствие

пределеие

можество всех т ких элеметов
редложеие

x GF g GD

етр лиз тором
что

C (x)

зыв ется

g x = xg

F

IFUTF уществует биекция между кл ссом сопряжеых

элеметовD содерж щих
ок з тельствоF

x

и можеством левых смежых кл ссов

G

по

(x)F

усть

gG

F опост вим элемету

g xg

-1

кл сс

g C (x)F G
D

ледствие

IFUUF усть

K

{ кл сс сопряжеых элеметов в группе

содерж щий элемет

xF

огд

|G| |K | = . |(x)| S
n р зл г ется в произведеие еE

о теореме IFIT к жд я подст овк из з висимых цикловF
пр жеие

IFUVF ок з тьD что
m { р зложеие перест овки

IF если

= 1 § § §
mY

S

n в произведеие

ез висимых цикловD то

| |

р ве ибольшему общему делителю дли
n перест овочыF

1 , . . . ,
еорем

PF дв ез висимых цикл из

S

IFUWF ве перест овки из

S

n сопряжеы тогд и только тогд D

когд ои имеют оди ковое цикловое строеиеF


IR

IF

ок з тельствоF

ля док з тельств еобходимости ужо воспользоE

в ться предложеием IFIWF бр тоD пусть подст овки цикловое строеиеD тF еF

,

имеют оди ковое

= (k0 , k1 , . . . , kl )(j0 , j1 , . . . , jt ) § § § , = (k0 , k1 , . . . , kl )(j0 , j1 , . . . , jt ) § § § .
о предложеию IFIW имеем



-1

= kl kl

D где

=

k0 k0

k1 k1

... ...

j0 j0

j1 j1

... ...

j j

t t

... . ...

пр жеие

IFVHF ок з тьD что две м трицы из

GL(n, C)

сопряжеы

@подобыA тогд и только тогд D когд ои имеют оди ковые жорд овы формыF
еорем

IFVIF усть

ди го льой м трице
ок з тельствоF емм

U U(n, C). огд м триц U diag(1 , . . . , n ), где |j | = 1.
м потребуется

сопряже в

U(n, C)

IFVPF усть

U

{ уит рый @ортого льыйA лиейый опер тор

в эрмитовом @евклидовомA простр сте р ствоF огд

LD

и

W

{ ив ри тое подпростE

W



ив ри то отосительо

U

F

оспользуемся этой этой леммой для док з тельств теоремыF усть { уит рый лиейый опер тор в эрмитовом простр сте к з тьD что в т тьD что

U U

LF

ост точо поE

U

имеется собствеый ортормиров ый б зисF пер тор огд

имеет собствеый вектор

e1 = 1F

e1 e1

с собствеым з чеием

1 D причем можо счиE ив ри то отосительо U F о идукции в



e1

существует искомый б зис
еорем

e2 , . . . , en

F

IFVQF усть

U O(n, R).

огд м триц

U

сопряже в

O(n, R)

блочоEди го льой м трице с блок ми р змер е больше PF локи р змер I имеют вид

‘1F

локи р змер P имеют вид

cos - sin . sin cos
ок з тельствоF емм

@PA

м потребуется

IFVRF усть

U Q

лиейый опер тор в веществеом простр сте

LF

огд о имеет одомерое или двумерое ив ри тое подпростр ствоF
емм

IFVSF усть

{ ортого ль я

ществеого собствеого з чеияF огд

(2 Ѕ 2)Eм триц D Q имеет вид @PAF

е имеющ я веE

оспользуемся этими лемм ми для док з тельств теоремыF ортого льый лиейый опер тор в евклидовом простр сте тор

усть то

U

{ и

U

имеет собствеый вектор

e1

с собствеым з чеием

LF 1 D

сли опер E

|1 | = 1

д льше ужо повторить док з тельство предыдущей теоремыF усть

U

имеет двумерое ив ри тое подпростр ство

W U

D в котором ет

собствеого вектор F огд в любом ортоормиров ом б зисе

W

м триц

U |W

имеет вид @PAF ри этом

W



ив ри то отосительо

F ообр жеия

идукции з верш ют док з тельствоF


VF

IS

ледствие

IFVTF усть

@PAF сли

det Q = -1D

то

Q

сопряже в

Q O(2, R)F сли det Q = 1D то Q имеет O(2, R) м трице diag(1, -1)F
огд

вид

ледствие

IFVUF усть

Q O(3, R)F

Q

сопряже в

O(2, R)

м тE

рице

det Q 0 0 0 cos - sin . 0 sin cos
VF оммут т группы пределеие

IFVVF усть

элеметов

x, y

зыв ется элемет

x, y { элеметы группы G [x, y ] = xy x-1 y -1 F

F

оммут тором

римеры

IFVWF ок з тьD что

IF в группе перест овок личыY PF в группе м триц если идексы
римеры

Sn [(i, j ), (j, k )] = (i, k , j )D
{ кольцоD

если идексы

i, j, k

р зE D

GL(n, k ), где k i, j, k р зличыF

[1 + aEik , 1 + bEkj ] = 1 + abEij G = [G, G]

IFWHF

пределеие

IFWIF оммут том

E

зыв ется можество всех произведеий коммут торов в
редложеие редложеие

G

F

IFWPF

G

G

F

IFWQF сли

N

G

D то следующие условия эквив летыX

IF групп PF

G/N
F
IFWRF

{ белев Y F

N G

еорем

Sn = An

ок з тельствоF еорем

ужо воспользов ться примером IFVWF

IFWSF сли

n 3D

и

k

{ полеD то

GL(n, k ) = SL(n, k ) = SL(n, k ).

пр жеие

IFWTF ок з тьD что содержит е меее четырех элеметовD то

IF если поле

k

GL(2, k ) = SL(2, k );
имеоD если существует т кой элемет

q, q - 1 k



D то

q0 1 (q - 1) , 01 0 1
PF

-1

a

= 1 + aE12 ;

GL(2, F2 )

S

3 D и поэтому

GL(2, F2 ) = SL(2, F2 ) = GL(2, F2 )F GL(2, F3 )
D если F

пр жеие римеры

IFWUF ычислить

IFWVF

A4 = V

4D и

An = An G

n 5F G
(1)

пределеие

IFWWF сли

{ групп D то положим

=G

и

G

(k+1)

[G , G ]F рупп G что G(m) = 1F
меч ие

k

k

р зрешим D если существует т кое тур льое число
(n) (m)

= mD .

IFIHH F ля любых IFIHI F усть

m, n > 0

веро р вество
(k ) (k )

(G

)

=G

(n+m)

редложеие

f (G

(k )

)H

(k )

.

сли

f

{ сюръективоD то

f:GH f (G

{ гомоморфизм группF

огд

)=H

.


IT

IF

пр жеие

IFIHP F ок з тьD что

IF если PF

H{ числ k Y G(k ) G

подгрупп в группе

G

D то

H

(k )

G k
F

(k )

для любого тур лього

для любого тур лього числ IFIHQ F усть

редложеие

N

G

F ледующие условия эквив летыX

IF группы PF группы

G р зрешим Y G/N , и N р зрешимыF
оспользов ться предложеием IFIHI

ок з тельствоF редложеие

IFIHR F ля группы

G

следующие условия эквив летыX

IF группы

G

р зрешим Y

PF существует т кой ряд подгруппы

G = G0 G 1 § § § G
что

k-1

Gk = 1, i
F

G

i+1

G

iи

Gi /G

i+1 { белево для всех

ок з тельствоF

ужо воспользов ться предложеием IFIHQ и идукE

цией по

k

D убедившисьD что групп IFIHS F усть

G

1 р зрешим F

редложеие

A, A Mat(t, k ),
огд

B , B Mat(t Ѕ s, k ), A 0 B C = AA 0

C, C Mat(s, k ).

AB 0C

AB + B C CC T (n, k )D k
{ полеF { полеF

пределеие

IFIHT F рупп верхетреугольых м триц

рупп верхеуитреугольых м триц
ледствие

U T (n, k )D k

IFIHU F ссмотрим отобр жеие

: T (n, k ) T (n - 1, k )

по

пр вилуX если

X=
то

AB 0c

T (n, k ),
огд

где

A T (n - 1, k ), B Mat((n - 1) Ѕ 1, k ), c k , (U T (n, k )) =

(X ) = A. U T (n - 1, k ).



является гомоморфизмом группD причем

редложеие

IFIHV F

T (n, k ) U T (n, k )

ок з тельствоF еорем

оспользов ться предложеием IFWQF

IFIHW F рупп

T (n, k )

р зрешим F

ок з тельствоF

о предложеиям IFIHV и IFIHQ дост точо пок з тьD

что групп

U T (n, k ) р зрешим F удем вести док з тельство идукцией по nF сли n = 1D то U T (1, k ) = 1 и потому р зрешим F усть для n - 1 теорем док з F ссмотрим гомоморфизм групп : U T (n, k ) U T (n - 1, k ) из следствия IFIHUF метимD что ker = E 0 B 1 U T (n, k ),
где

B Mat((n - 1) Ѕ 1, k ) .
{ белев групп F ст ется восE

о предложеию IFIHS получ емD что

ker

пользов ться идукцией и следствием IFIHQ с

N = ker

F


WF

IU

WF рямые произведеия групп пределеие

IFIIH F руппы

G

является @вутреимA прямым произвеE

деием своих подгрупп

G1 , . . . , G

n D @обоз чеие

G = G1 Ѕ § § § Ѕ G

n A еслиX



к жд я подгрупп

Gi орм ль в GY к ждый элемет g G имеет и притом едиствеое виде произведеия g = g1 § § § gn D где gi Gi F G
{ групп отосительо сложеияD то говорятD что

предст влеие в

сли

мой суммой своих подгрупп
пр жеие

G1 , . . . , G

n D и пишут

G является G = G1 § § § Gn F

пряE

IFIII F ок з тьD что IFIIP F усть

|G| = |G1 | § § § |Gn |F
nи

редложеие

G = G1 Ѕ § § § Ѕ G
nи

gi Gi , gj G

j D где

i=j
где

F огд

gi gj = gj gi
i для всех

F

ледствие

IFIIQ F усть

G = G1 Ѕ § § § Ѕ G g
-1

g = g1 § § § gn D h = h1 § § § h

nD

gi , hi G

i

F огд
- - = g1 1 § § § gn 1 .

g h = (g1 h1 ) § § § (gn hn ),
римеры

IFIIR F меются следующие прямые р зложеияX
+Y

IF групп PF
n

C U Ѕ R R = R Rn-k F
k

редложеие редложеие

IFIIS F рупп IFIIT F усть

Z

ер зложим в прямую суммуF
nи

G = G1 Ѕ § § § Ѕ G

g = g1 § § § gn .

огд

|g | = (|g1 |, . . . , |gn |)F
еорем

IFIIU F усть групп

G = G1 Ѕ § § § Ѕ G

n коеч F

ледующие

условия эквив летыX

§ §

групп

G

циклич Y

к жд я групп

G

i циклич и порядки групп

Gi , i = 1, . . . , nD

поп ро

вз имо простыF
усть групп G циклич D и mi = |Gi |F огд к жE Gi , i = 1, . . . , nD циклич F слиD примерD (m1 , m2 ) > 1D то (m1 , . . . , mn ) < m1 § § § mn . оэтому в силу предложеия IFIIT в G ет элемет порядк m1 § § § mn = |G|. бр тоD пусть Gi = ai mi D причем все числ m1 , . . . , mn поп ро вз имо простыF ссмотрим элемет a = a1 § § § an GF о предложеию IFIIT его порядок р ве m1 § § § mn = |G1 | § § § |Gn | = |G|. ледов тельоD G = a .
ок з тельствоF

д я подгрупп

ледствие

IFIIV F иклическ я групп порядк

d

ер зложим в прямое

произведеие тогд и только тогд D когд ее порядок является степеью простого числ F
ример

IFIIW F рямое р зложеие циклической групп порядк IPF IFIPH F усть

еорем

N

i

Gi , i = 1, . . . , mF

огд

(N1 Ѕ § § § Ѕ Nm ) (G1 Ѕ § § § Ѕ Gm )
и

(G1 Ѕ § § § Ѕ Gm )/(N1 Ѕ § § § Ѕ Nm )

(G1 /N1 ) Ѕ § § § Ѕ (Gm /Nm ).


IV

IF

ок з тельствоF

ссмотреть гомоморфизм групп

: G (G1 /N1 ) Ѕ § § § Ѕ (Gm /Nm ),
отобр ж ющий элемет

g = g1 § § § gm (g1 N1 ) § § § (gm Nm ) (G1 /N1 ) Ѕ § § § Ѕ (Gm /Nm ),
и воспользов ться теоремой о гомоморфизм хF
пределеие

IFIPI F пределеие вешего прямого произведеия

G=

G1 Ѕ § § § Ѕ Gm .
еорем

IFIPP F ешее и вутреее прямые произведеия изоморфыF


P

оечо порождеые белевы группы
этой гл ве описыв ется строеие коечо порождеых белевых группF се белевы группы будут предпол г ться ддитивымиF
пределеие

PFIF леметы

e = (e1 , . . . , en )

являются б зисом в белеE

вой группы

AD

если



элеметы из

e

ез висимы D тF еF из тогоD что
где

m1 e1 + § § § + mn en = 0,
следуетD что

m1 , . . . , mn Z, xA
предE

m1 = § § § = mn = 0F AD x = m1 e1 + § § § + mn en к ждый элемет x A
порожд ют группу
тF еF к ждый элемет F имеет и притом едиствео предE



элемет из

e

ст вим в виде ругими слов миD ст влеие в виде

x = m1 e1 + § § § + mn en ,
рупп группы

mi Z. AF A

@QA

A A

свобод D если о обл д ет б зисомF
зыв ется число векторов в б зисе PFPF ля белевой группы

гом свободой белевой

редложеие

следующие условия эквив E

летыX
IF групп PF групп

A

обл д ет б зисом

e = (e1 , . . . , en )Y Z §§§ Z.
n

A
ок з тельствоF

сли

e

{ б зис

AD

то з д дим

: A Z §§§ Z
n

по пр вилуX если

xA

имеет предст влеие @QAD то

(x) = (m1 , . . . , mn )F

бр тоD групп

A = Z §§§ Z
n

обл д ет б зисом

e = (e1 , . . . , en )D
i

где

ei = (0, . . . , 1, 0, . . . , 0),

i = 1, . . . , n.

редложеие

PFQF исло векторов в б зисе свободой белевой группы

определео одоз чоF определе одоз чоF

ругими слов миD р г свободой белевой группы

IW


PH

PF

ок з тельствоF

усть

положимD что

m>n

F огд к ждое
n

(e1 , . . . en ) и (f1 , . . . , fm ) { дв fj имеет предст влеие aj i ei ,
i=1

б зис в

AF

редE

fj =
троки м трицы целых чисел

aj i Z.

тельоD ои лиейо з висимы д

(aj i ) Mat(m Ѕ n, Z) лиейо з висимы д QF ледов E ZF оэтому йдется т кой еулевой бор b1 , . . . , bm ZD что a11 . . . a1n b1 , . . . , bm . . . . . . . . . . . . . . . = 0. am1 . . . amn
что противоречит ез висимости

тсюд

b1 f1 + § § § + bm fm = 0D
PFRF усть

f1 , . . . , fm

F

пр жеие

A

{ свобод я белев групп с б зисом

e=

(e1 , . . . , en )F
вой группы

редположимD что

c1 , . . . , cn
F

{ элеметы произвольой белеE

C

F огд существует и притом едиствеый т кой гомоморфизм

:AC

D что

(ei ) = ci D 1 i n
PFSF усть

ледствие

A

{ свобод я белев групп с б зисом

e = (e1 , . . . , en ).
огд

| hom(A, Z2 )| = 2 .

n

ч стостиD в р г

A

определе одоз чоF

еорем

PFTF усть

A

{ свобод я белев групп р г

n

F

сли

B

{

еулев я подгрупп в
ок з тельствоF

AD

то о свобод и ее р г

n

F

удет вести док з тельство идукцией по

n

F сли

n=

1D то A B= b

A циклич иD следов тельоD по циклич D причем b = 0F огд элемет b является усть для n - 1 теорем док з D и e = (e1 , . . . , en ) {
n-1

ZF

огд групп

теореме IFRP групп б зисом б зис

B

F

AF

оложим

H={
i=1

ai ei |ai Z}. (e1 , . . . en-1 )F о (f1 , . . . , fm ), m n - 1F
идукции

огд если

H

{ свобод я белев групп с б зисом

B H

{ свобод я белев групп с б зой усть

ледов тельоD

B H, то теорем док з F B H F ссмотрим т кое имеьшее тур льое число dD что элемет f = c1 e1 +§ § §+cn-1 en-1 +den H . ок жемD что элеметы f1 , . . . , fm , f сост вляют б зис H F ействительоD если b = u1 e1 + § § § + un en B , ui Z, то un = r d для екоторого r ZF с мом делеD пусть un = r d + lD где 0 l < d. огд b - r f = u1 e1 + § § § + un-1 en-1 + len H , что противоречит выбору dD если l = 0F т кD un = rd и b - rf B H F оэтому b - rf = a1 f1 + § § § + am fm , ai Z. ким обр зомD b = rf + a1 f1 + § § § + am fm , r, ai Z, тF еF элеметы f , f1 , . . . , fm
порожд ют @RA

B

F

ок жемD что элеметы @RA ез висимыF усть

rf + a1 f1 + § § § + am fm = 0,

r, ai Z,

@SA


PF

PI

оэффициет при ибо

en

у элемет левой ч сти @RA р ве

d = 0F ким a1 = § § § = am = 0D

обр зомD в @SA получ емD что ибо элеметы

rd = 0D откуд r = 0D a1 f1 + § § § + am fm = 0, откуд

f1 , . . . , fm

ез висимыF

пределеие

PFUF елочислеые элемет рые преобр зов ия строк

@столбцовA целочислеой м трицы состоят из двух типов преобр зов ийX

§ §

уможеие слев @спр в A элемет рые м трицы уможеие строки @столбц A EIF

E + aEij , a ZD

пр жеие

PFVF оверш я целочислеые элемет рые преобр зов E

ия строк @столбцовA можо перест вить любые две строки @столбц AF
еорем

PFWF усть

A Mat(n Ѕ m, Z)F

елочислеыми элемет рE

ыми преобр зов иями строк и столбцов можо ому виду

A

привести к ди го льE

diag(d1 , d2 , . . . ), di 0F
ожо счит тьD что
ij

ок з тельствоF

A = (aij ) = 0F

усть

(A) = min{|aij | |aij = 0}.
редположимD что м трицу ельзяF

A

целочислеыми элемет рыми преобр зов E

иями строк и столбцов привели в т кому видуD что д лее можо счит тьD что
емм

(A)

умеьшить

ерест вляя строки и столбцы и умож яD если еобходимоD EID

(A) = a11 .
делит

PFIHF

a11
F

a1j , a

i1 для всех

i, j

F

ок з тельствоF

устьD примерD

a11

е делит

a21

D тF еF

r,

где

0 < r < a11

ычит я из второй строки первуюD уможеую

получ ем месте @PIA элемет

r

D что противоречит выбору

a21 = q a11 + qD (A) = a11 .
ок з E

о лемме PFIH соверш я элемет рые преобр зов ия строк и столбцовD можо добитьсяD чтобы

a1j = ai1 = 0

для всех

i, j > 1F

тельство теоремы з верш ется идукцией по р змеру м трицыF
еорем

PFII @еорем о согл сов ом б зисеA F усть

подгрупп в свободой белевой группе р г б зис элеметы

n B

F огд в

e = (e1 , . . . , en ) и d1 e1 , . . . , dk ek A
ив

т кие тур льые числ сост вляют б зис F

B { еулев я A существует т кой d1 , d2 , . . . dk , k nD что
{ произвольые б E

ок з тельствоF

усть
n

f1 . . . , fn

и

g1 , . . . , gk , k n,

зисы в

B

@смF теорему PFTAF огд

gi =
j =1

aij fj ,

aij Z,

i = 1, . . . , k .

ссмотрим целочислеую м трицу элемет рые преобр зов ия строк р зов иям б зис столбцов

A = (aij ) Mat(k Ѕ n, Z). елочислеые A соответствуют элемет рым преобE f1 . . . , fn F g1 = d1 f1 , . . . , gk =

g1 , . . . , gk ,

целочислеые элемет рые преобр зов ия

A

соответствуют элемет рым преобр зов иям б зис

о теореме PFW измеяя об б зис D можо счит тьD что

dk fk .


PP

PF

пределеие

PFIPF белев групп

A

коечо порожде D если сущестE

вуют т кие элеметы ст влеие

a1 , . . . , an A, что x = c1 a1 + § § § + cn an , ci Z.

к ждый элемет

xA

имеет предE

пределеие

PFIQF иклическ я групп прим р D если ее порядок явE

ляется степеью простого числ F
еорем

PFIR @троеие коечо порождеых белевых группA F усть

A

{ коечо порожде я белев групп F

огд

A

р зл г ется в прямую

сумму свободой белевой группы и прим рых циклических группF
ок з тельствоF

усть

свободую белеву группу

F

р г

a1 , . . . , an A из определеия nD примерD F = Z §§§ Z
n

PFIPF ссмотрим

ыберем в

F

б зис

e1 , . . . , en

и з д дим гомоморфизм
n n

: F AD

при котором

(
i=1

xi ei ) =
i=1

xi ai . B = ker F о теоE B D где d1 , . . . , dk

етрудо видетьD что { тур льые числ D



является эпиморфизмомF усть

реме PFII можо счит тьD что

d1 e1 , . . . , dk ek Zdi ei , 0,
если если

сост вляют б зис

kn

F оложим

Ni =

1 i k; k < i n.

о теореме IFUH о гомоморфизм х и по теореме IFIPH получ ем

A
сли

F /B

(Ze1 /N1 ) § § § (Zen /Nn ).

@TA

1ik

D то

Zei /Ni = Zei /Zdi ei
ческих группF сли что

Z/Zdi .

@UA

о теореме IFIIU групп @UA р зл г ется в прямую сумму прим рых циклиE

A

k < i nD (i Ci ) H,

то

где

Ni = 0D и поэтому Zei /Ni Z. т кD по Ci { прим рые циклические группыD и H = Z §§§ Z.
n-k

@TA получ емD

о предложеию PFP групп
пределеие

H

свобод F

PFISF рупп

G

е имеет кручеия D если в ей ет етриE

ви льыхD тF еF отличый от ID элеметов коечого порядк F
ледствие

PFITF оечо порожде я белев групп без кручеия своE

бод F
пределеие

PFIUF одгрупп

существует т к я окрестость уля
еорем

H Rn дискрет D U D что U H = 0F R
n

или решетк D если

PFIVF искрет я подгрупп в

свобод F


PF

PQ

H H м ксим льую лиейо ез висимую сисE k тему векторов f1 , . . . , fk , k n. оложим = { i=1 i fi |0 i 1}. огд является комп ктомD иD следов тельоD H коечоF ст ется з метитьD что H порожд ется H , f1 , . . . , fk F
ок з тельствоF

о следствию PFIT дост точо пок з тьD что групп

коечо порожде F ыберем в

еорем

PFIWF усть

G

{ дискрет я подгрупп в

R

n

Dи

e = (e1 , . . . , ek )

{ ее б зисF огд векторы из
ок з тельствоF

e

ез висимы в

R

n

F

устьD примерD

e1 = 2 e2 + § § § + k ek ,
оложим

i R. j = 2, . . . , k }.

S = {2 e2 + § § § + k ek |0 j 1,
огд

S

является комп ктомD иD следов тельоD к к и в предыдущей теоремеD

SG

коечоF

ля любого тур лього числ

d

получ ем

de1 = [d2 ]e2 + § § § + [dk ]ek + (2 e2 + § § § + k ek ),
где

2 e2 + § § § + k ek S G d1 > d2 D что d1 e1 - d2 e1 лежит

F

оэтому йдутся т кие тур льые числ

в подгруппеD порождеой

e2 , . . . , ek

D тF еF

(d1 - d2 )e1 = m2 e2 + § § § + mk ek ,
то противоречит определеию б зис в
пр жеие

mj Z.
D порожде я

G

F

PFPHF усть c

G

{ подгрупп в

R

1, 2.

удет

ли о плот в

R


PR

PF


Q

рист ллогр фические группы
IF руппы движеий пределеие

QFIF реобр зов ие



евклидов простр ств

E

зыв E

ется движеием D если существувет т кой ортого льый лиейый опер тор



и вектор

b

D что

(x) = (x) + b

для всех

xE

F

пр жеие

QFPF се движеий евклидов простр ств

E

обр зуют E

группу

G(E )

отосительо опер ции композиции отобр жеийF QFQF ок з тьD что если для всех

пр жеие

E

D то

(x) - (y ) = x - y bE

движеие x, y E F

евклидов простр ств

ример ми движеий являются сдвиги вектор

(x) = x + b

фиксиров ый

и ортого льые преобр зов ияF QFRF ожество

еорем

в

G(E )D

причем

G(E )/N
F роме

обр зов ий в

E

N O(E )D тогоD N

всех сдвигов обр зует орм льую подгруппу где

O(E )
F

{ групп всех ортого льых преE

E

: G(E ) O(E ) по следуюE x E D то положим () = F то определеие корректоF ействительоD пусть (x) = (x) + b = (x) + b для всех x E D где b, b E и , O (E )F огд (0) = b = b D откуд (x) = (x) для всех x E F ок жем теперьD что явялется гомморфизмом группF усть к к и вышеD (x) = (x) + dF огд [(x)] = [ (x)] + (d) + bD и поэтому () = = () ()F олее тогоD ker = N F оэтому N G(E ) и G(E )/N O(E )F опост вляя N вектор (O ) получ ем изоморфизм N EF
ок з тельствоF

д дим отобр жеие

щему пр вилуF сли

(x) = (x) + b

для всех

пределеие

QFSF рист ллогр фической или простр ствеой групE

пой зыв ется подгрупп р змерости



в группе движеий

G(E )

евлидов простр ств

E

n

D причем

IF при отождествлеии PF

N

с

E

обр з

ой подгруппой @или решеткойA в

L подгруппы N E р г nY
F

является дискретE

N

имеет коечый идекс в



оеч я групп

= /( N )
QFTF

зыв ется точечой группойF

пр жеие боз чеие

N

F
фиксируем в F огд

соответствии с теоремой PFIV б зис из всех векторов

= /( N ) O(E )F f1 , . . . , fn обр з N в E m1 f1 + § § § + mn fn , m1 , . . . , mn Z.
QFUF оложим QFVF усть

L

состоит

редложеие



и
PS

l LF

огд

(l) LF


PT

QF

ок з тельствоF

где

, F

огд



-1

усть (x) = (x) + b (x) = -1 (x) - -1 (b),
-1

и

(x) = x + l

для всех

xE

D

откуд

(-1 )(x) = (

(x) + l) = (-1 (x) - -1 (b) + l) + b = x + (l).

ледствие

QFWF уществует т к я м триц

X GL(n, R)D

что

X X
ч стостиD если
еорем

-1

GL(n, Z).

A

D то

tr A ZF
порядок

QFIH @орд A F уществует т к я фукция

бой коечой подгруппы

G

в

O(n, R)

G

е превосходит

(n)D что (n)F

для люE

PF вумерый случ й

этом р зделе мы опишем крист ллогр фические группы в двумером простр ствеF ссмотрим с ч л строеие коечых подгрупп



в группе

SO(2, R)F

упп

SO(2, R)

состоит из всех вр щеий двумерого евклидов

простр ств F любом ортоормиров ом б зисе этого простр ств м тE риц опер тор вр щеия имеет вид

g=
сли

cos sin

- sin . cos
обр зомD

g

D то по следствию QFW

0, ‘1, ‘2D

откуд

tr g = 2 cos ZF ким 2 = 0, ‘ , ‘ , ‘ , . т кD док з 3 2 3
в

2 cos =

еорем

QFIIF одгрупп

SO(2, R)

является циклической группой поE

рядк ID PD QD RD TF
усть теперь O(2, R)D о SO(2, R)F огд содержит симметрию b отосительо екоторой осиD причем b2 = 1F сли x \ SO(2, R)D то bx SO(2, R) , причем bx { сов симметрия отосительо екоторой осиD тF еF (bx)2 = 1F о теореме QFII получ ем SO(2, R) = a n , n = 1, 2, 3, 4, 6. огд SO(2, R) { подгрупп идекс P в F тсюд

= {1, a, . . . , an
тF еF

-1

, b, ba, . . . , ban

-1

},

= Dn

{ групп диэдр F т кD док з QFIPF

еорем



{ од из следующих группX

IF циклическ я групп вр щеий порядк ID PD QD RD TY PF групп диэдр

Dn ,

n = 1, 2, 3, 4, 6.
действует к к групп преобр зов ий реE

о предложеию QFV групп шетки

LF
QFIQF озможы следующие в ри ты для решетки

еорем

N

с б E

зисом

f1 , f2

F

IF лиы

f1 , f

2 р зличы и ои е перпедикулярыF этом случ е опи

порожд ют п р ллелогр мF огд



{ циклическ я групп порядк PD

порожд ем я цетр льой симметриейD или поворотом



F


QF

PU

PF лиы

f1 , f2

р зличы и ои перпедикулярыF этом случ е опи поE

рожд ют прямоугольикF огд ротом
QF лиы RF лиы



{ групп

D2

порядк RD порожд еE

м я симметрией отосительо прямойD проходящей через

f1

и повоE

F f1 , f2

оди ковы и ои перпедикулярыF

этом случ е опи

порожд ют кв др тF огд



{ групп

D4

F

f1 , f2 оди ковы и ои е перпедикулярыF роме тогоD дли f1 - f2 отлич от длиы f2 F этом случ е опи порожд ют ромбF огд { групп D2 D порожд ем я двумя симметриями отосительо
прямыхD п р ллельых ди го лям ромб F

SF лиы

f1 , f2 D6

оди ковы и ои е перпедикулярыF роме тогоD дли

f1 - f2

р в длие

f2

F этом случ е опи порожд ют ромбF огд



{ групп

D порожд ем я двумя симметрией отосительо прямыхD

п р ллельых ди го лям ромб и поворотом угол групп симметрий

. 3

роме тогоD для к ждой решетки допустимы подгруппы р ссмотреых



D ук з ых вышеF
QF рехмерый случ й

ссмотрим теперь трехмерый случ йF к и выше р ссмотрим строеие коечых подгрупп в

SO(3, R)D

з тем в

O(3, R)

иD коецD возможые решетки

и их группы симметрийF м потребуется
еорем

QFIRF усть

ществует т к я

g O(3, R)D причем hg h-1 GL(3, Z)F м триц u SO(3, R)D что det g 0 cos - sin , ug u-1 = 0 0 sin cos

огд суE

@VA

где

2 = 0, ‘ , ‘ , ‘ , . 3 3 2
ок з тельствоF

з курс лгебры известоD что м триц ортого льE
-1

ого опер тор в екотором ортоормиров ом б зисе имеет вид @VAF оэтому

det g + 2 cos = tr(ug u
к к к

) = tr g = tr(hg h

-1

) Z.

det g = ‘1D

то

2 cos Z.

тсюд к к и выше получ ем требуемое

утверждеиеF
боз чеие

QFISF боз чим через

S

трехмерую сферу едиичого р E

диус в трехмером простр стве с цетром в улеF редположимD что коеч я подгрупп в

SO(3, R)F

огд к ждый еедиичый элемет из

{ явE

ляется вр щеием отосительо екоторой оси в перпедикулярой плоскости угол из теоремы QFIRF боз чим через элеметов из ересечеие этой оси с

S

состоит из двух точекF

X

{ можество всех т ких точек из

S

для всех еедиичых



F QFITF усть усть тF еF

редложеие

xX

и

g

F огд

g (x) X

F

ок з тельствоF

g hg -1 (g (l)) = g (l)D g (x) g (l) S.
огд

l{ g (l)

еподвиж я ось для { еподвиж я ось для

h \ 1D и x l S F g hg -1 \ 1D причем


PV

QF

x X и x { ст билиз тор x в D тF еF g (x) = xF огд Hx { циклическ я групп порядк ID PD QD RD TF ри этом если = x g2 x . . .gm x { р збиеие левые смежые кл ссы по x D то орбит x при действии имеет порядок m и состоит из x, g2 (x), . . . , gm (x)F ч стостиD || = m|x |. т билиз тор - gi (x) р ве gi x gi 1 F
редложеие

QFIUF усть

можество всех т ких

g

D что

ок з тельствоF боз чеие

опост вим

gi

x элемет

gi (x)F (x, g )D
где

QFIVF боз чим через

M

можество п р

g x \

1F 1)F F g \ 1 соответствуют две точки из X D то |M | = 2(|| - X р збив ется орбиты X1 , . . . , Xk действия группы о предложеию QFIU число п р (x, g )D где x пробег ет оду орбиту Xi порядк mi р во mi (|i | - 1)D где i = xi для екоторого элемет xi Xi F роме тогоD mi |i | = ||F т кD
к к к к ждому другой стороыD

2(|| - 1) = m1 (|1 | - 1) + § § § + mk (|k | - 1).
еля

||D

получ ем

2-
к к к

|i | 2 k 4-

для

2 1 1 = (1 - ) + § § § + (1 - ). || |1 | |k | 1 1 всех iD то 1- . оэтому из @WA |i | 2
луч й

@WA получ ем

2(1-

1 ) ||

k , 2

тF еF

4 < 4. ||

k=1

евозможеD поскольку

2(1 -
ледов тельоD усть

1 1 )>1>1- . || |1 |

k = 2, 3.
и

k=2

2(1 -
илиD

1 1 1 )=2- - || |1 | |2 |

ри этом

2 1 1 = + || |1 | |2 | |1 |, |2 | ||. тсюд |1 | = |2 | = ||.

то оз ч етD что

X

состоит из двух точекD соответствующих одой осиF оэтому групп вр щеий вокруг одой осиF орядок усть



{ циклическ я

р ве ID PD QD RD TF

k=3

F огд из @WA вытек ет

1+
ожо счит тьD что

2 1 1 1 = + + . || |1 | |2 | |3 |
сли

@IHA @IHA

2 |1 | |2 | |3 |F

пр в я ч сть меьше ID лев я большеF ледов тельоD

|1 | 3, то в р вестве |1 | = 2 и

1 2 1 1 + = + . 2 || |2 | |3 |
епосредствеый перебор пок зыв етD что возможы лишь следующие слуE ч иX IF

|2 | = 2,

|3 | =

|| ; 2


QF

PW

PF QF RF

|2 | = 3, |2 | = 3, |2 | = 3,

|3 | = 3 |3 | = 4 |3 | = 5

|| = 12; || = 24; || = 60.
{ коеч я подгрупп в

тсюд вытек ет
еорем

QFIWF усть

SO(3, R)F

огд



од

из следующих группX
IF циклическ я групп порядк ID PD QD RD TY PF групп диэдр

Dn

D где

QF групп вр щеий тетр эдр RF групп вр щеий SF групп вр щеий

n = 1, 2, 3, 4, 6Y T A4 D смF исуок IY окр эдр O S4 D смF исуок IY икос эдр I A5 D смF исуок IF

исF I

тметимD что ук з ые группы действительо ре лизуются к к группы симметрий екоторых молекулD смF исуок PF к группой симметрий молеE

H3 C - C C l3 является циклическ я групп порядк QD группой симметE C2 6 является групп диэдр D3 D группой симметрий молекулы мет C H4 является групп тетр эдр T D группой симметрий молекулы гекE с форид ур U F4 является групп окт эдр T F
кулы рий молекулы

исF P

ля з вершеия р ссмотреия опишем точечые группыD состоящие е только из вр щеияF
боз чеие

QFPHF боз чим через

j

цетр льую симметрию в трехE

мером простр ствеD тF еF

j (x) = -x

для всех векторов

xF


QH

QF

пр жеие

QFPIF

j2 = 1

и

j O(3, R) \ SO(3, R)F

олее тогоD

O(3, R) = SO(3, R) Ѕ j 2 .
редположимD что

SO(3, R)F

огд

{ коеч я подгрупп в O(3, R)D е леж щ я A = SO(3, R) является подгруппой идекс P в F
QFPPF сли

в

редложеие

j

D то

= A Ѕ j 2.
D где

редположимD что
редложеие

j /

и

\ A = jM

M SO(3, R)F

QFPQF

G=AM в GF (G, A)F

является

AM = M A = M , M 2 = A2 = A. ч стостиD подгруппой в S O (3, R)D причем A { подгрупп идекс P G
из предложеия QFPQ обоз ч ется через

боз чеие

QFPRF рупп

силу теоремы QFIW и предложеия QFPQ спр ведлив
еорем

QFPSF усть



{ коеч я подгрупп в

O(3, R)D

е леж щ я в

SO(3, R)F огд { IF a n Ѕ j 2 ; PF Dn Ѕ j 2 ; QF T Ѕ j 2 ; RF O Ѕ j 2 ; SF I Ѕ j 2 ; TF ( a 2n , a2 n ); UF (Dn , c n ); VF (D2n , Dn ); WF (O , T ).
в исуок QF

од из следующих группX

озможые могогр икиD возик ющие репере

f1 , f2 , f3

ук зыв ются


QF

QI

исF Q


QP

QF


R

леметы теории предст влеий групп
IF совые поятия и примеры

усть рез

V

{ векторое простр ство д полем комплексых чисел

C

F еE

GL(V )

обоз ч ется можество всех обр тимых лиейых опер торов

V

D тF еF можество всех лиейых опер торов

@обр тыйA опер тор
пр жеие

A

-1

D что

AA

-1

=A

-1

A A = E.

в

V

D у которых есть т кой

RFIF

GL(V )

является группой отосительо опер ции умоE

жеия опер торовF
пределеие

RFPF усть

G

{ групп и

V

{ комплекксое векторое простE

р ствоF редст влеием группы

G

в

V

зыв ется гомоморфизм групп

:

G GL(V )F
ругими слов миD к ждому элемету ый опер тор леие

(g )D

причем



фиксиров оD то

vV

обоз ч ется через

g G сопост вле обр тимый лиейE (g h) = (g ) (h) для всех g , h GF сли предст вE обычо действие опер тор (g ), g GD векторе g v F огд для всех v , w V и g , h G выполеы (g h)v = g (hv ), 1v = v . G
@IIA

условия

g (v + w) = (g v ) + (g w),
жестве

оследие дв р веств из @IIA пок зыв ютD что групп

действует моE

V

F RFQF к жем ряд предст влеий группF
4и

римеры

IF усть

G=S

T

{ тетр эдр с верши миD з умеров ыми чисE

л ми IDPDQDRF овке IDPDQDR

редположимD что тетр эдр вложе в

R

3

D причем его

цетр р сположе в ч ле коорди тF

опост вим к ждой перест E

S4 ортого льое преобр зов ие R3 D переводящее вершиы в 1, . . . , 4. кое преобр зов ие существуетD т к к к являE S
4F

ется произведеием тр спозицийD и для к ждой тр спозиции т кое преобр зов ие существуетF соD что возик ет предст влеие PF рупп ыхF QF руппы диэдр ие в

S

n действует в

k [X1 , . . . , Xn ]

с помощью перест овок перемеE имеют естествеое предст влеE

Dn
F

и кв териоов

Q8

R

2

ив

C

2

пределеие

RFRF усть з д ы дв предст влеия

: G GL(V ), :

G GL(W )F
для всех

ти предст влеия эквив леты @изоморфыA D если существует

т кой изоморфизм векторых простр ств

:V W

D что

g V, v V

F ругими слов миD для любого
QQ

[ (g )v ] = (g )[ (v )] g G коммут тив


QR

RF

ди гр мм

(g

V -- W -- ( ) V - - W. --




g)

ереформулируем поятие предст влеия и изоморфизм в м тричых терE ми хF усть

V

{ копмлексое векторое простр ство с б зисом

сли з д о предст влеие пост вле если

x=

e = (e1 , . . . , en )F : G GL(V )D то к ждому элемету g G соE м триц Tg = (aij (g )) GL(n, C)F сли g , h GD то Tg h = Tg Th и n i=1 xi ei V , xi CD то столбец из коорди т вектор Tg x в б зисе e x1

р ве

F Tg F . F xn W D и : V W { изоE cj i C, i = 1, . . . , n. оложим C = (cj i ) GL(n, C)D пусть при предст влеии : G GL(W ) элеE мету g G соответствует м триц Tg GL(n, C)F огд для любого g G по
редположимD что

(f1 , . . . , fn )

{ б зис простр ств

морфизм предст влеияD причем

(ei ) =

n j1

fj cj i ,

определеию RFR получ ем

C T g = Tg C
еорем

или

Tg = C T g C

-1

@IPA

RFSF ждое коечомерое предст влеие коечой группы

G
{

д полем

R

@ д

C

A эквив лето ортого льому @уит ромуAF
усть з д о предст влеие

ок з тельствоF

: G GL(V )D )F
ведем в

где

V

коечомерое комплексое простр ствоF ск лярое произведеие

V

существует структур эрмиE

тов простр ств со ск лярым произведеием

(,

V

овое

[x, y ] =

1 |G|

(g x, g y ).
g G

епосредстве я проверк пок зыв етD что изведеиемD и

[g x, g y ] = [x, y ]

для всех

[, x, y V F

]

является ск лярым проE

RFTF усть : G GL(V ) { из теоремы RFSF сли подпростE U V ив ри то отосительо всех опер торов (g ), g GD то V = U W D где подпростр ство W ив ри то отосительо всех опер E торов (g ), g GF
ледствие

р ство

ледствие

RFUF усть з д гомоморфизм

группы

G

D причем существует т кое

: G GL(n, C) 1 < k < nD что для всех g G Bg Cg , (g ) = 0 Dg

коечой

Bg GL(k , C),

Dg GL(n - k , C),

Cg Mat(k Ѕ (n - k ), C),


PF

QS

огд существует т к я м триц

F



B

g

Cg Dg gG


F

0

F

-1

=



B

g

0 Dg

F GL(n, C)D ,

что

Bg GL(k , C),

Dg GL(n - k , C),

0

для всех

ок з тельствоF

ожо счит тьD что



ортого льоF огд

W =U



F

PF еорем шке и ее приложеия пределеие

RFVF одпредст влеиеD прям я сумм предст влеийD еE

приводимое предст влеиеD вполе приводимое предст влеиеF
еорем

RFWF юбое коечомерое комплексое @веществеоеA предст вE

леие коечой группы вполе приводимоF
ок з тельствоF пр жеие

дукция по р змерости предст влеияF

RFIHF ок з тьD что

IF естествеые двумерые предст влеия PF предст влеие
еорем

Dn , Q8

еприводимыY

S

4 из RFQ еприводимоF

RFIIF се одомерые предст влеия группы

G

сводятся к одE

омерым предст влеием
ок з тельствоF еорем

G/G

F

ужо воспользов ться предложеием IFWQF

RFIPF юбое еприводимое коечомерое комплексое белевой

группы одомероF
ок з тельствоF

усть з д о предст влеие



белевой группы

G
в

в D

простр стве

V

F сли

gG

D то опер тор

(g )

имеет еулевой собствеый

вектор с собствеым з чеием ием



g F ледов тельоD подпростр ство

U

V

состоящее из уля и всех собствеых векторов для



g отличо от уляD причем в силу белевости

(g ) G оо

с собствеым з чеE ив ри тоF ледоE

в тельоD имеем

U =V g v = g v .

F к к к

g

{ любой элемет из

G

D то для любых

g G, v V

тсюд вытек ет утверждеиеF RFIQF усть коеч я белев групп

ледствие

G

имеет в силу

по теореме PFIR р зложеие

G = a1
где леие

p1

k1

Ѕ § § § Ѕ am
j D где

pkm m

,

p1 , . . . , pm { простые группы G имеет

числ F ждое еприводимое комплексое прест вE вид

(aj ) =



j { комплексый кореь степеи

p

k j

j

из IF ч стостиD число еэквив летых еприводимых комплексых

предст влеий коечой белевой группы
редложеие

G

р во ее порядкуF D пол г я

RFIRF усть

V

{ комплексое простр ство р змерости

nс ei ,

б зисом

e = (e1 , . . . , en )F i = 1, . . . , n, для Sn U, W

д дим предст влеие F усть

Sn в V U = k (e1 + § § § + em ) и

(ei ) =

W = {x1 e1 + § § § + xn en |xi C,
огд

x1 + § § § + xn = 0} V =U W
F

еприводимые подпредст влеияD причем


QT

RF

h= ei с помощью Sn можо счит тьD что h1 = 0F метимD что случ й h1 = h2 = § § § = hn евозмоE же в силу улевой х р ктеристики поляF ерест вляя e2 , . . . , en с помощью Sn можо счит тьD что h1 = h2 F огд h - (1, 2)h = (h1 - h2 )(e1 - e2 ). ледоE в тельоD любое еулевое ив ри тое отосительо Sn подпростр ство в W содержит вектор (h1 - h2 )-1 (h - (1, 2)h) = e1 - e2 . о тогд оо содержит и (2, i)(e1 - e2 ) = e1 - ei для любого iF оэтому это подпростр ство совп д ет с WF
ок з тельствоF

ост точо пок з тьD что

W

еприводимоF усть

h1 e1 + § § § + hn en

{ еулевой вектор из

W

F

ерест вляя

QF емм ур и ее следствия еорем

RFIS @емм ур A F усть

1 : G GL(V1 ),
отобр жеиеD причем для любого

2 : G GL(V2 ) G
F усть

дв еприводимых предст влеия группы

f : V1 V

2 { лиейое

gG
f

коммут тив ди гр мм

1 (g

V 1 - - V2 -- ) V1 - - V2 . --
f

2

(g )

сли

1 , 2 е эквив летыD 1 = 2 = D то существует всех x V F
ок з тельствоF

то

f =0

F сли

т кое комплексое число

V 1 = V2 = V D

{ коечомероD и что

f (x) = x

для

W

ив ри то отосительо

ив ри тое усть

f = 0D и W = ker f F огд W = V1 D причем 1 F ледов тельоD W = 0F логичо Im f { подпростр ство в V2 F оэтому Im f = V2 D тF еF f { эквив летE
и

усть

остьD что евозможоF

V1 = V2 = V

1 = 2 = F

огд

f

имеет собствеый вектор

x

с

собствеым з чеием



F обствеое подпростр ство в ив ри то отосительо

V

для опер тор

f

с собствеым з чеием

F

тсюд

V

совп д ет

с этим собствеым подпростр ствомF
ледствие

RFITF усть

1 : G GL(V1 ),

2 : G GL(V2 )

дв еприE

водимых коечомерых предст влеия группы коечой группы

G

F усть

B : V1 V

2 { лиейое отобр жеиеF оложим

=
сли

1 |G|

2 (g )B 1 (g
g G

-1

) : V1 V2 . V1 = V2 = V
и

V1 , V

2 е эквив летыD то

=0

F сли

1 = 2 = D

то

(x) =
для любого

tr B x dim V

xV

F


QF

QU

ок з тельствоF

ля любого

hG )= 1 |G|

имеем

2 (g ) =

1 |G|

2 (h)2 (g )B 1 (g
g G

-1

1 |G|

2 (hg )B 1 (g
g G

-1

)=

2 (u)B 1 (u
uG

-1

h) =

1 |G|
оэтому если

2 (u)B 1 (u
uG

-1

) 1 (h) = 1 (h).
F

1 ,

2 е эквив летыD то по теореме RFIS

=0

о втором случ е существует т кое

C

D что
-1

(x) = xV

1 |G|

2 (g )B 1 (g
g G

)(x) = x tr . dim v

для любого

F ч стостиD

tr = dim V

D тF еF

=

о

tr =

1 |G|

tr[(g )B (g )-1 ] = tr B .
g G

ледствие

RFIUF усть в условии следствия RFIT

e

{ б зис в простE

р стве

V1 1 = 2 = D
{ м трицы

и

f

{ { б зис в простр стве

V

2 D причем если

V1 = V 2 = V

и

то

e=f

F усть

1 (g ) = (T 1 (g )ij ), 2 (g ) = (T 2 (g )ij ) 1 (g ), 2 (g )
в этой п ре б зисовF сли

1 , 2 (g )

е эквив летыD

то для любой тройки идексов

i, j, s

имеем
@IQA

T 2 (g )ij T 1 (g )is = 0.
g G

сли

V1 = V2 = V

и

1 = 2 = D

то для любого бор идексов

i, j, r, s
@IRA имеющий этой п ре

T 2 (g )ij T 1 (g )rs =
g G
ок з тельствоF

is j r . dim V

усть

в этой п ре б зисов м трицу б зисов м трицуD в которой

B : V1 V2 { произвольый опер торD B = (bij )F огд м триц имеет в месте i, r стоит T 2 (g )ij bj s T 1 (g )rs .

1 |G|
сли

g G j,s

1 ,

2 е эквив летыD то

=0

для любой м трицы

B

F ч стостиD

если bj,s = 1 и все ост льые элеметы B улевыеD то получ ем р вество @IQAF о втором случ е по следствию RFIT

1 |G|
еря

T 2 (g )ij bj s T 1 (g )rs =
g G j,s

tr B is dim V

b

js

=

j,j0 s,s

0

получ ем @IRAF


QV

RF

усть

L

{ простр ство всех комплексых фукций

:GC

F

сли

, L

D то положим

( , ) =
ким обр зомD если

1 |G|

(g ) (g ).
g G

1 ,

2 { еприводимые предст влеия с м триц ми

T 1 (g ), T 2 (g ),
@ISA

и эти предст влеия е эквив летыD то по @IQA

(T 2 (g )ij , T 1 (g )is ) = 0.
сли же эти предст влеия р выD то

(T 2 (g )ij , T 1 (g )is ) =

is j r . dim V

@ITA

RF р ктеры предст влеия

усть

ой группы

: G GL(V ) GF

{ коечомерое комплексое предст влеие коечE

пределеие

RFIVF р ктером предст влеия



зыв ется фукция



L,

для которой

(g ) = tr (g ) C.
RFIWF усть

редложеие

: G GL(V )

{ предст влеиеF пр ведE

ливы следующие р веств X
IF PF QF RF

(hg h-1 ) = (g ); (1) = dim V ; (g -1 ) = (g ); | (g )| dim V D причем если | (g )| = dim V { кореь из I степеи |G|F
меем

D то

(g ) = E

D где

C

(hg h-1 ) = tr((h)(g )(h)-1 ) = tr((g )) = (g ). роме тогоD (1) = tr 1 = dim V . к к к (g ) уит ро по теореме RFSD то по теореме IFVI м триц (g ) в екотором ортоормиров ом б зисче имеет ди го льый вид diag(1 , . . . , n )D причем m = 1D если m = |g |F тсюд j
ок з тельствоF

вытек ют ост льые утверждеияF
редложеие

RFPHF сли

= 1 2

D то

= 1 + 2 .

т кD



{ фукция

G

и кл сс х сопряжеых элеметовF

пределеие

RFPIF укция

L

цетр ль D если

еF



является фукцией кл сс х сопряжеых элеметов

(hg h в GF

-1

) = (g )D

тF

етрудо видетьD что цетр льые фукции обр зуют подпростр ство в

H

D р змерость которого р в числу кл ссов сопряжеых элеметов в
еорем

G

F

RFPPF усть

ой группы

G

F огд

ых предст влеия

{ х р ктер ерпиводимого предст влеия коечE (, ) = 1F сли 1 , 2 { дв еприводимых еэквив летE GD то (1 , 2 ) = 0F


RF

QW

ок з тельствоF

усть

(g )

з д ется екоторой м трицей

T (g ) = (T (g )ij )

GL(n, C). (, ) =

о следствию RFIU

1 |G|

(
g G s

T (g )ss )(
j

T (g )j j ) =
s,j

1 |G|

T (g )ss T (g )j j =
g G

(T (g )ss , T (g )j j ) =
s,j s,j

sj sj = 1. dim V

@IUA

логичо проверяется второе р вествоF
еорем

RFPQF усть коечомерое предст влеие



коечой группы

G

р зложео в прямую сумму еприводимых предст влеий

сли

j

{ х р ктер предст влеия
RFPRF усть

j

и

r

j { его кр тостьD то

= 1 + § § § + k . (, j ) = rj F
2 sF

еорем

n1 , . . . , ns

{ р змерости еприводимых комплексE

ых предст влеий коечой группы
ок з тельствоF

G

F огд
D

|G| = n2 + § § § + n 1

ссмотрим простр ство

ется регулярое предст влеие

:GV

V с б зисом eg , g GF меE (g )eh = egh F тсюд (1) =

|G|,

(g ) = 0,

g = 1. ри этом 1 1 ( , j ) = |G|j (1) = dim Vj = nj . (g )j (g ) = |G| |G|
g G

если

т кD

= n1 1 + § § § + ns s . H
RFPSF усть

ледов тельоD

|G| = (1) = n2 + § § §+ n2 . s 1 G
F

усть к к и вышеD
еорем

{ прост рство всех цетр льых фукций

ст влеие группы водимо и имеет

: G GL(V ) { коечомерое комплексое предE f HF оложим f = gG f (g )(g ). сли еприE |G| (f , ). р змерость nD то f = n G
и
меем
-1

ок з тельствоF

(h)f (h

-1

)=
g G

(h)f (g )(g )(h

)= f (g )(hg h
-1

)=
g G

f (g )(g ) = f .

g G

ледов тельоD по следствию RFIT числ

f (x) = x

для екоторого комплексого



F тсюд

tr(f ) = dim V =
g G

f (g ) (g ) = |G|(f , ).

еорем

RFPTF укции

1 , . . . , s f H
и

сост вляют б зис простр ств
для всех

H.

ок з тельствоF

усть

f j

j

F огд

f = 0

по преE

дыдущей теореме для любого предст влеия предст влеии

F

ч стостиD при регуляром



имеем

f (e1 ) =
g G

f (g )(g )e1 =
g G

f (g )eg = 0.


RH

RF

ледов тельоD
ледствие

f (g ) = 0.
RFPUF исло кл ссов сопряжеых элеметов группы

G

р во

числу еэквив летых еприводимых предст влеий группы
еорем

G

F

RFPVF юбое еприводимое коечомерое комплексое белевой

группы одомероF
ок з тельствоF

усть з д о предст влеие



белевой группы

G
в

в D

простр стве

V

F сли

gG

D то опер тор

(g )

имеет еулевой собствеый

вектор с собствеым з чеием ием



g F ледов тельоD подпростр ство

U

V

состоящее из уля и всех собствеых векторов для



g отличо от уляD причем в силу белевости

(g ) G оо

с собствеым з чеE ив ри тоF ледоE

в тельоD имеем

U =V g v = g v .

F к к к

g

{ любой элемет из

G

D то для любых

g G, v V

тсюд вытек ет утверждеиеF

еприводимые предст влеия циклической группы имеют вид

G= a

n одомеры и

k (a) = exp(
ри этом

2 ik ), n

k = 0, . . . , n - 1. k = 0, . . . , n - 1.

k = exp(
тсюд при

2 ik ), n

k=k

(k ,

k

)= 1 n
n-1

exp(
j =0

2 ik 2 ik 1 ) exp(- )= n n n

n-1

exp(
j =0

2 i(k - k ) )= n ) n) - 1 = 0. )-1

2 i(k - k 1 exp( n 2 i(k - k n exp( n
ри

)

k=k (k , k ) = 1 n
n-1

exp(
j =0

2 ik 2 ik 1 ) exp(- )= n n n

n-1

1 = 1.
j =0

тсюд в силу теоремы о строеии коечых белевых групп получ ется общее опис ие коечомерых предст влеия коечых белевых группF ерейдем к опис ию еприводимых предст влеий екоторых е белевых группF
еорем

RFPWF се одомерые предст влеия группы

G

сводятся к одE

омерым предст влеием
ок з тельствоF

G/G

F

ужо воспользов ться предложеием IFWQF

к жем ряд примеров одомерых предст влеий симметрических групп

S

n D групп диэдр

Dn , n 3D

и группы кв териоов

пользуемся теоремой RFPWF помимD что ри этом

Q8 F о всех случ ях восE Sn = An D Dn = a2 D Q8 = {‘1}F

Sn /A

мерых предст влеия

n { циклическ я групп порядк PF оэтому имеется дв одоE Sn { тождествеое и предст влеие (-1) F


RF

RI

сли

n

ечетоD то

Dn = a

и поэтому и

Dn /Dn

имеет порядок дв F ким

обр зомD имеется дв одомерых предст влеия группы диэдр

Dn

D

a 1,
сли

b 1,

a 1,

b -1.

n

четоD то

Dn /Dn

ых предст влеия группы

aDn 2 Ѕ bD Dn D имеоD

n 2 . тсюд имеется четыре одомерE

a 1, b 1; a 1, b -1; a -1, b 1; a -1, b -1.
ля группы кв териоов

Q8

имеем

Q8 /Q8 Q8

iQ

82

Ѕ j Q8 2 .

оэтому имеется

четыре одомерых предст влеия группы

D имеоD

i 1, j 1; i 1, j -1; i -1, j 1; i -1, j -1.
пишем все еприводимые предст влеия группы кл сс сопряжеых элеметовD еще одо р змерости

S

3и

S4 .

х число совп E

д ет с числом кл ссов сопряжеых элеметовF помимD что в

S

3 имеется Q

{1}, {(12)}, {(123)}F

оэтому имеется три еE тсюд

приводимых предст влеияF в из их одомерыF ледов тельоD имеется

n

D причем

|S3 | = g = 1 + 1 + n2 . S4 .

n = 2F

то

предст влеие совп д ет с естествеым предст влеием пишем все еприводимые предст влеия группы имеется S кл сс сопряжеых элеметовD

S3 = D3 .
помимD что в

S

4

{1}, {(12)}, {(123)}, {(1234}, {(12)(34)}.
оэтому имеется S еприводимых предст влеияF до двумеро и связ о с изоморфизмом з ы с тетр эдром и кубомF пишем все еприводимые предст влеия группы ются следующие кл ссы в из их одомерыF

S4 /V

4

S

3 F в трехмерых свяE

Dn

F х число совп д ет

с числом кл ссов сопряжеых элеметовF помимD что в группе

Dn

имеE

{ak , a

-k

}, {b, ba2 , ba4 , . . . {ba, ba3 , . . . }F

оэтому кроме

двух @четырехA одомерых предст влеий имеются двумерые предст влеия

2 k exp( n ) a 0
еорем

0 -2 k , exp( ) n

k = 1, . . . , [n/2];

b

0 1

1 . 0

з ключеие приведем следующие результ тF RFQHF оечые подгруппы в

S O(3, R)D

отличые от цикличесE

ких групп и групп диэдр D имеют порядки IPD PRD THF то группы симметрий тетр эдр D куб D окт эдр D додек эдр D икос эдр F и имеют порядки IPD PRD PRD THD TH и изоморфы групп м

A4 , S4 , A5 .


RP

RF


S

лгебры и поля
IF ольц и лгебры пределеие

SFIF ольцо @е обяз тельо ссоци тивоеAF ссоци тивE

ыеD коммут тивыеD тикоммут тивые кольц D кольц и F
редложеие пределеие пределеие

SFPF любом кольцо имеем SFQF оляD тел F

0x = x0 = 0

F

SFRF лгебр д полем @е обяз тельо ссоци тив яAF сE

соци тивыеD коммут тивыеD тикоммут тивые лгебрыD лгебры иF
римеры

SFSF к жем ряд лгебрF



ссоци тивые лгебры { лгебры м триц

Mat(n, k )F

ссоци тивоEкоммут тивые лгебры { лгебры могочлеов

k [X1 , . . . , Xn ],
лгебры рядов

k [[X ]]D

лгебры епрерывых фукций топологичесE

ком простр ствеF



сли

R

{ ссоци тив я лгебр с ID то лгебр м триц

Mat(n, R)

сов

является ссоци тивой лгеброй с IF лгебры и

A(

-)

для ссоци тивой лгебры

AF

пределеие

SFTF диичый элеметD делители уля D обр тимые элеE

меты лгебрыF бл сти D тел F
редложеие

SFUF диичый элемет лгебры определе одоз чоF

бр тимые элеметы ссоци тивой лгебры обр зуют группу по уможеE июF бр тимый элемет ссоци тивой лгебры е может быть делитеE лем уляF
ледствие римеры

SFVF теле и в поле ет делителей уляF

SFWF руппы обр тимых элеметов в

IF PF QF

k [X1 , . . . , Xn ] { это еулевые кост тыY k [[X ]] { это ряды с еулевым свободым члеомY Mat(n, k ) { это GL(n, k )Y делители уля в Mat(n, k )
м трицы и только оиF SFIHF од лгебрыD под лгебры с IF

{ это вырождеые

пределеие редложеие

жим

k [z ] = {

AD

содерж щ я

SFIIF усть A ai zi |a)i k , i 0}. zF

{ ссоци тив я лгебры и огд

z AF

олоE

k [z ]

{ имеьш я под лгебр с I в

RQ


RR

SF

пределеие

SFIPF де л в кольце и в лгебреF боз чеие

I

R

F лE

гебр

A

прост D если в ей только дв иде л
SFIQF усть

A

и HF

редложеие

и

z1 , . . . , zn A.

огд

A { коммут тивоE ссоци тив я лгебр D n (z1 , . . . , zn ) = { i=1 ai zi |ai A} является иде лом в I
кольц

AF
пр жеие

SFIRF сли иде л F

R

с едиицей содержит обр тиE

мый элеметD то
ледствие

I=R

SFISF юбое тело простоF SFITF де л

пределеие

можеством

z1 , . . . , zn

F де л вид

(z1 , . . . , zn ) (z ) в A

зыв ется иде ломD порождеым зыв ется гл вым F

еорем

SFIUF юбой иде л в лгебр могочлеов

k [X ]

является гл вE

ымF
пр жеие еорем

SFIVF юбой иде л в

Z

ив

Z[i]

является гл вымF

SFIWF усть

редположимD что иде л
где

J

R

D что

R { ссоци тив я I AF огд существует и I = Mat(n, J )F
оложим любых

лгебр D и

A = Mat(n, R)F

притом едиствеый т кой

xij RF ля тельоD xij J D тF


J = {a R|aE11 I }. усть X = (xij ) I D i, j = 1, . . . , n имеем xij E11 = E1i X Ej 1 I . ледов E еF I Mat(n, J )F бр тоD пусть X = (xij ) Mat(n, J )D тF еF xij J для всех i, j = 1, . . . , nF этом случ е xij E11 I , откуд
ок з тельствоF

X=
ij

xij Eij =
ij

Ei1 (xij E11 )E

1j

I.

ледствие

SFPHF усть

D

{ телоF огд

Mat(n, D)

{ прост я лгебр F

пределеие

SFPIF омоморфизмы колец и лгебрF зоморфизмыD втоE

морфизмы F дро гомоморфизм
редложеие ледствие

ker F

SFPPF

ker

является иде лом кольц @ лгебрыAF { еулевой гомоморфизм поля

SFPQF усть

:kA

k

в

лгебре
либо

AF

огд



является мооморфизмомF

ссмотрим иде л ker F о следствию SFIS либо ker = ker = 0. первом случ е = 0D что противоречит предположеиюF ледов тельоD ker = 0D и { мооморфизм по следствию IFTTF
ок з тельствоF

k,

пределеие

SFPRF усть

о сложеияA

R/I

F ля

I RF ссмотрим a + I , b + I R/I и k

ф кторгруппу @отосительE положим

(a + I )(b + I ) = ab + I R/I ,
редложеие

(a + I ) = a + I .

олуч ющ яся лгебр @кольцоA зыв ется ф ктор лгеброй @ф кторкольцомA SFPSF пределеие ф ктор лгебры @ф кторкольц A

R/I

корректоF сли

R

ссоци тиво @коммут тивоD кольцо или лгебр иAD

то этим же свойством обл д ет

R/I

F


PF

RS

ок з тельствоF усть a + I = a + I , b + I = b + I F огд a = a + x, b = b + y D где x, y I . оэтому a b = ab + xb + ay + xy ab + I , поскольку xb + ay + xy I в силу определеия иде л F логичоD если k D то a = a + x a + I . есложо проверяется и последее утверждеиеF пределеие

SFPTF ссмотрим гомоморфизм

: R R/I D a a + I

F

огд



является гомоморфизмом колец @ лгебрAF зыв ется естествеE

ым гомоморфизмом колец @ лгебрAF
редложеие

SFPUF омоморфизм

: R R/I
F @ лгебрAF

из определеия SFPT явE

ляется гомоморфизмом колецF
еорем

ker = I

SFPV @еорем о гомоморфизм хA F усть

:RR

{ гомоморE

физм колец @ лгебрAF огд
ок з тельствоF

Im

R/ ker /F

д в емое по пр вилу ддитивых групп

о теореме IFUH отобр жеие : f (R) R/ ker D з E ((x)) = -1 ((x)) = x ker является изоморфизмом Im и R/I F ст ется пок з тьD что (ab) = (a) (b)D и

(a) = (a)
для всех к к

@IVA

a, b Im , k F усть a = (x), b = (y )D где x, y RF к (x)(y ) = (xy )D то (a) (b) = -1 ((x))-1 ((y )) = -1 (xy ) = (ab).
SFPWF ок з тьD что F

логичо проверяется @IVAF
римеры

IF PF

C[X, Y ]/(X ) C[X ]; R[X ]/(X 2 + X + 1) C

PF еорем рорбеиус

пишем коечомерые тел д полем веществеых чиселF
пределеие

SFQHF усть

H

{ можество всех комплексых м триц

z=
еорем

a -b

b a R

@IWA

SFQIF

H

является под лгеброй в

E лгебре всех комплексых м тE

риц

Mat(2, C)F

олее тогоD

H

является телом с цетром

R

F

ок з тельствоF

ля

z H из det z =

@IWA через

z

обоз чим

|a|2 + |b|2 .
1

огд

сли

z > 0D если z = 0D z1 z2 = z z из @IWAD то положим z=

z

2F

a -b ba z=0
D то

етрудо видетьD что ледов тельоD

zz = z 2.

ким обр зомD если

z

-1

=

z . z2
@PHA

H

{ телоF о екоммут тивоD т к к к если

I=

0 -1 , 10

J=

i0 , 0 -i


RT

SF

то

I J = -J I

F

йдем цетр

HF

состоит из всех м триц

w=
что

u -v

v , u

wz = z w

для всех м триц

z

из eqref @IWAF епосредстве я проверк поE

к зыв етD что

w = E D R

F

пр жеие

SFQPF ок з тьD что м трицы

E , I , J, K

D где

I, J

из @PHA и

K=
сост вляют б зис

0 -i

i , 0

H

д

R

D причем

I J = K,

JK = I,

I 2 = J 2 = K 2 = -E .

м потребуется ряд утверждеийF
пределеие

SFQQF усть

A

{ ссоци тив я

k

E лгебр с IF

лемет

zA

зыв ется лгебр ическим д

k

D если существует т кой еулевой моE

гочле

элемет

f k [X ]D z д k

что

f (z ) = 0F

иим льым могочлеом лгебр ического

зыв ется т кой могочле

пеи со ст ршим коэффициетом ID что
пр жеие

f (X ) k [X ] f (z ) = 0F z

миим льой стеE

SFQRF усть

f k [X ] A

{ имеет ст рший коэффициет ID и р ве

z = X + (p) k [X ]/(f )F
редложеие

огд миим льый элемет для

f

F

SFQSF усть

{ обл сть д полем
n-1

р ический элемет с миим льым могочлеом оложим ется подполем в

k [z ] = {a0 + a1 z + § § § + an-1 z K D содерж щим k D и k [z ]

k D и z K { лгебE f (X )F огд f еприводимF |ai k , n = deg f }. огд k [z ] являE
@PIA

k [X ]/(f ). A
коечомерое тело д

редложеие

SFQTF усть

R

Dи

огд миим льый могочле д

a

имеет степеь дв F роме тогоD

a A\R R[a]

F

C

F
ок з тельствоF

к к к

A

коечомероD все степеи

a

з висимыF леE

дов тельоD степеь

a

лгебр ичоF иим льый могочле

p

для

a

еприводим и

потому имеет степеь е выше P в силу предложеия SFQSF к к к

p

р в PF оэтому

a2 + a + = 0, I= 2a + 4 -
2

где

a RD то / p = X 2 + X + R[X ].

оложим

.

огд

I 2 = -1D

причем по предложеию SFQS

R[a] = R[I ]

R[X ]/(X 2 + 1)

C.

еорем

SFQUF усть поле

поля

R.

огд либо

A = R,

либо

A является A = C.

лгебр ическим р сширеием


QF

RU

о предложеию SFQT

A R1 = R. ожо счит тьD что A = R. A является коечым р сширеием CF сли a A \ CD то миим льый могочле f для a имеет комплексый кореь F тсюд 0 = f (a) = (a - )g (a)D где g C[X ]. к к к в A ет делителей уляD то a - = 0 и a = CF
ок з тельствоF

метимD что

A C.

т кD

еорем

SFQV @робеиусA F усть

A

{ коечомерое тело д

R

F огд

A

{ одо из тел

R, C, H.

ожо счит тьD что A е коммут тивоF к и в преE A R1 = R. ожо счит тьD что A = R. о предложеE ию SFQT A C. сли A = CD то теорем док з F усть A = CF этом случ е A является левым векторым простр ством д CF ссмотрим в A лиейE ый опер тор L(x) = xi, i CF метимD что L4 = 1F оэтому получ ется комплексое коечомерое предст влеие циклической группы G порядк RF ледов тельоD A р зл г ется в прямую сумму
ок з тельствоF

дыдущей теореме SFQU

A = A1 A-1 Ai A-i ,
усть огд

где

Aj = {x A|xi = j x}.
F

y A1 F y i = -y ,

огд

откуд

y i = y , откуд y (i - 1) = 0D тF еF y = 0F усть y A-1 y (i + 1) = 0D тF еF y = 0F т кD A1 = A-1 = 0D и A = Ai A-i , C Ai .
F

емм

SFQWF

Ai = C

ок з тельствоF

усть

a Ai

F огд

ai = ia

D тF еF поле

C[a]

является

коечым р сширеием
емм

C

F о теореме SFQU получ ем
i D где

Ai = C

F

SFRHF усть

y Ai , z A

, = ‘1.

огд

y z A

iF

ок з тельствоF емм

меем

(y z )i = y (z i) = y ( ia) = (y i)a = i(y a).
огд

SFRIF усть

y Ai .

y Ai = Ai , y A-i = A-i . yA
i

ок з тельствоF

о лемме SFRH получ ем

Ai ,

y Ai Ai .

к

к к в

A

ет делителей уляD то

dimC Ai = dimC (y Ai ) dimC Ai = (y Ai ) dimC Ai .
тсюд следует утверждеиеF
ледствие

SFRPF

dimC Ai = dimC A-i = 1F

вершим док з тельство теоремыF усть

j2 C k = ij jk = j A-i =

j A-i . о лемм м SFRHD SFQW . огд j i = -ij F о лемме SFRH можо счит тьD что j 2 = -1F оложим A-i . огд k i = -ik F роме тогоD k 2 = ij ij = i(-ij )j = -i2 j 2 = -1, и (ij ) = (j i)j = -ij 2 = i, k j = (ij )j = ij 2 = -i. т кD Ai = C = R1 + Ri, Cj = Rj + Rk в силу следствия SFRPF тсюд a HF
QF лгебры и

пределеие

SFRQF лгеброй и

L

зыв ется е ссоци тив я лгебр

с уможеием

[x, y ]D

удовлетворяющ я тождеств м

[x, x] = [[x, y ], z ] + [[y , z ], x] + [[z , x], y ] = 0.
ример

SFRRF лгебр

A(

-)

D лгебр

R3 , [x, y ] = x Ѕ y

F


RV

SF

пр жеие

SFRSF лгебре и выполео тождество тикоммут тивE

ости

[x, y ] = -[y , x].
SFRTF усть

пределеие

A

{ произволь я лгебр F иейое опер тор

D A Der(A)

зыв ется дифферециров ием D если

обоз ч ется можество всех дифферециров ий лгебры SFRUF

D(xy ) = D(x)y + xD(y )F AF

ерез

редложеие

лиейых опер торов
пр жеие

Der(A) является L(A)(-) AF f o(n, f )
n

под лгеброй и в лгебре и всех

SFRVF усть

{ кв др тич я форм

n

Eмером простE можество ок з тьD

р стве

k

n

D где

k

{ полеF ерез

{ обоз ч ется можество всех косоE D что F

симметричых отосительо что

f

лиейых опер торов в
-)

всех т ких лиейых опер торов

o(n, f )

{ под лгебр и в

Cвk Mat(n, k )( f C
n

k n F тF еF f (C x, y ) = -f (x, C y ).

пр жеие

SFRWF усть

{ полутор лией я эрмитов форм F ерез

n

E

мером комплексом простр стве

su(n, f )
n

обоз чим можество

всех кососимметричых отосительо ок з тьD что

f

лиейых опер торов в

жество всех т ких лиейых опер торов

su(n, f )

{ под лгебр и в

A в C D что Mat(2n, R)(-)

Cn D тF еF моE f (Ax, y ) = -f (x, Ay ).

F

боз чеие

SFSHF ерез

sl(n, k )

обоз ч ется можество всех м триц из

Mat(n, k )

со следом HF SFSIF

пр жеие

sl(n, k )

является под лгеброй и в

Mat(n, k )( = 2D
и

-)

F

редложеие

SFSPF усть
11

k

{ поле х р ктеристики

H=E
ок з тьD что

- E22 ,

X = E12 ,

Y =E

21

Mat(2, k ).
@PPA

[X, Y ] = H,
еорем

[H, X ] = 2X, sl(2, k )

[H, Y ] = -2Y . char k = 2
F

SFSQF лгебр

прост D если

ок з тельствоF

усть

0=I

sl(2, k )D

и

u = X + Y + H I \ 0.
@PQA то

огд по @PPA

[X, u] = [X, Y ] + [X, H ] = H - 2 X I .
роме тогоD

[X, [X, u]] = [H, X ] = 2 X I .
о @PQA получ емD что огд сов

сли

= 0,

XI

D и тогд то

I = sl(2, k )
усть

в силу @PPAF

= 0F

[X, u] = -2 X I XI
F

F сли

= 0D

XI

D и поэтому

усть

I = sl(2, k )F = = 0, = 0F

еорем

SFSRF лгебр и

(R3 , Ѕ)

прост F

ок з тельствоF

бедимся с ч л D что

(R3 , Ѕ)

{ лгебр иF

усть

e1 , e2 , e

3 { ортоормиров ый б зис в

R

3

F огд можо счит тьD что

[e1 , e2 ] = e3 ,

[e2 , e3 ] = e1 ,

[e3 , e1 ] = e2 .

епосредстве я проверк пок зыв етD что

[x, x] = J (e1 , e2 , e3 ) = [[e1 , e2 ], e3 ] + [[e2 , e3 ], e1 ] + [[e3 , e1 ], e2 ] = 0.


QF

RW

роме тогоD коби лгебр иF усть содержит

J (x, y , z )

кососимметричеF тсюд выводится

(R3 , Ѕ)
F огд

{

I { еулевой иде л в (R3 , Ѕ)F ожо счит тьD что e1 I e3 = [e1 , e2 ], e2 = [e3 , e1 ] I F ледов тельоD I = (R3 , Ѕ)F

I


SH

SF


T

иейые группы и их лгебры и
сюду в этой р боте под либо поле комплексых чисел

F C

поим ется либо поле веществеых чисел F

R

D

IF с тельые простр ств пределеие

TFIF одгрупп

G

в полой лиейой группе

GL(n, F )

E @PRA

зыв ется лиейой D если существует т к я коеч я систем могочлеов

fs (Xij ) F [Xij |1 i, j n],
что м триц для всех

s = 1, . . . , N ,

A = (aij ) s = 1, . . . , N F

при длежит

G

тогд и только тогд D когд

fs (aij ) = 0

римеры

TFPF одгруппы TFQF сли

O(n, R),

SO(n, R),

SL(n, F )

лиейыF

пределеие

G

лией я групп D з д я системой ур веE

ий @PRAD и условием

gG

D то к с тельым простр ством

лиейое простр ствоD состоящее из всех м триц

Tg к G в точке g зыв ется dX = (dxpq ) Mat(n, F ) с
@PSA

p,q

fi (g )dx xpq T

pq

= 0,

i = 1, . . . , r.

ссмотрим простр ство
ример

E для р зличых лиейых группF

TFRF сли

G = SL(n, F )D

то

G

з д ется одим ур веием

f = det X - 1 = 0.
тсюд

T

E з д ется одим ур веием

( f (det X ) = = xpq xpq
ким обр зомD

n i=1

Aiq xiq ) = Apq . xpq

f = pq , xpq

откуд

p.q

f dxpq = xpq

pq dxpq =
p,q p

dxpp = tr(dX ),

тF еF

T

E з д ется ур веием

tr(dX ) = 0

F з д ется одим ур веием t

ример

TFSF сли

E

F то оз ч етD что

G = O(n, R)D то G для i, j = 1, . . . , n
n

X §X =

xti xtj - ij = 0.
t=1
SI


SP

TF

ким обр зомD

( xrs
т кD

n t=1

xti xtj - ij ) =
n t=1

xti xtj xtj + xti xrs xrs (tr is xtj + xti tr j s ).
n t=1 n

=

xr

n

xti xtj -
s t=1

ij

|E =
t=1

(tr is tj + ti tr j s ).

тсюд вытек етD что

T
n

E з д ется ур веиями

0=
t,s,r =1

(tr is tj + ti tr j s )dx

rs

= dxj i + dxij . dX = (dxij )F

ледов тельоD

T

E состоит из всех кососимметрических м триц

фиксируем элемет

g

лиейой группы

G

F тобр жеие пр вого сдвиг

Rg : G G,
рицы

x xg ,

является дифферецируемым отобр жеиемD поскольку

уможеие м триц з д ется лиейыми фукциями от коэффициетов м тE м трицей

x GF g D тF

оэтому диффереци л еF

dR

g этого отобр жеия совп д ет с

dRg : Tx Txg ,
о

dRg (dX ) = (dX )g . dR
g з д ет лиейый изоморфизм

@PTA

T

R g1 g g D тF еF

2

= Rg1 R

g2 F ледов тельоD

T

Eи

Tg = TE g
для любого

@PUA

gG

F ч стостиD спр ведливо TFTF

редложеие пределеие

dim TE = dim T

g для любого

gG

F

элемет

TFUF усть G { лией я групп F утем из элемет E в g G зыв ется т кое дифферецируемое отобр жеие p : [0, 1] GD что p(0) = E , p(1) = g F вязой компоетой E в G зыв ется можество всех элеметов g GD обл д ющим путем из E в g F рупп G связ D если GE = GF
еорем

TFVF вяз я компоет

G

E едиичого элемет

E

является

орм льой подгруппой в
ок з тельствоF

G

F

усть

G

E { связ я компоет

E

Dи

g, h G

E с пуE

тями

x(t), y (t) : [0, 1] G,
огд

x(0) = y (0) = E , E

x(1) = g ,
в

y (1) = h.

x(t)y (t)

{ дифферецируемый путь из
-1

g hF

роме тогоD получ ем

дифферециров ые пути

E -- X --

x(t)

-1

,

E - - - ZXZ --- G
и

Z x(t)Z

-1

-1

. E
D то

к к к имеется лок ль я биекция

T

E в окрестости

TE (GE ) =

TE (G)F
пр жеие

TFWF ок з тьD что


IF

SQ

IF PF

GE имеет O(n, R) е

коечый идекс в связоD

G

Y

SO(n, R)

связоF

пр жеие

TFIHF удет ли групп TFIIF усть

SL(n, R)

связ c

редложеие

группе

G

F сли t0

[0, 1]

и

x : [0, 1] G { дифферецируемый g = x(t0 ) GD то x (t0 ) Tg (G)F G

путь в

ок з тельствоF

усть

з д ется системой лгебр ических ур веий

@PRAD и

x(t) = (xij (t))F

огд

fs (xij (t)) = 0,
для любого

i = 1, . . . , N ,
получ ем

t [0, 1]F

ледов тельоD используя пр вило дифферециров ия

сложой фукцииD для любого

s = 1, . . . , N

fs (g )xpq (t0 ) = 0. xpq
тсюд в силу определеия TFQ получ ем требуемое утверждеиеF
еорем

TFIPF усть групп усть

G

связ F огд
и

G

определяется

T

EF

ок з тельствоF

XG

x(t)

{ путь из

E

в

X

F огд

x(t) T
для всех

x(t)

= TE x(t)

t [0, 1]

в силу @PUAF т кD

x(t) = A(t)x(t),
бр тоD если

A(t) T

E для всех

t [0, 1].

@PVA

AT

E D то р ссмотрим диффереци льое ур веие @PVAD где

A(t) = A
решеиеF орди т

с ч льым условием

x(0) = E

F о имеет и притом едиствеое

Mat(n, F ) т кую овую систему коE yj , j = 1, . . . , n2 D что TE з д ется системой ур веий yi = 0D где i пробег ет первые d идексовF огд существует лок ль я биекция TE и GF оэтому решеие @PVA лежит в GF о это решеие есть exp AtF ким обр зомD exp : TE G является лоE к льой биекцией в окрестости U точки E F к к к отобр жеие x x-1 епрерыво дифферецируемоD то можо счит тьD что U -1 U F боз чим через H можество всех произведеий элеметов из U F сли x H D то xU H является открытым подможеством в GF усть G \ H епусто и z G \ H F сли z U H епустоD то z u = u1 § § § ut D где u, uj U F тсюд z = u1 § § § ut u-1 H D т к к к u-1 U F ледов тельоD z U H пустоF т кD G является объедиеием двух епересек ющихся отE крытых подможеств G = H (G \ H )F усть g G \ H и x : [0, 1] GD где x(o) = E , x(1) = g F огд отрезок [0, 1] является объедиеием двух еE пересек ющихся открытых епустых подможеств x-1 (H ), x-1 (G \ H )D что
евозможоF
римеры

ыберем в вектором простр стве

TFIQF ссмотрим экспоеци льое для ряд групп их порожE

д ющих элеметовF


SR

TF

IF усть

м трицы

G = SL(n, C)F огд T Eij , 1 i = j n,

E

= sl(n, C)F Eii - Ej j ,
i

зис

sl(n, C) 1 i < j n.
j

сост вляют ри том

exp(Eij ) = E + Eij ,

i = j,

exp(Eii - Ej j ) = diag(1, . . . , 1, e, 1, . . . , 1, e, 1 . . . , 1).
PF усть

G = O(2, R), 0 - 0
-1

TE = o(2, R)F 1i i1

огд

exp 1 2

1 = exp 2 exp(i) 0

-1

i 0

0 -i 1i i1

1 2 = T
E

1i i1

=

1i i1

0 exp(-i)

1 2

cos sin

- sin cos

PF труктур лгебры и еорем

TFIRF усть

G

{ лией я групп D и

A, B T

E F огд

[A, B ]

T

EF
ок з тельствоF

к и в док з тельстве теоремы TFIP для всех

exp(At), exp(B t)
@PWA

G

для всех

t F.

[exp(A t), exp(B t)] G

ледов тельоD

t F.

ычислим к с тельый вектор к @PWA в точке

E

F меем

At exp(A t) = E + A t + + o(t); 2 B2t exp(B t) = E + B t + + o(t); 2 A2 t exp(A t)-1 = exp(-A t) = E - A t + + o(t); 2 2 Bt exp(B t)-1 = exp(-B t) = E - B t + + o(t); 2
2

ким обр зомD

[exp(A t), exp(B t)] = exp(A t) exp(B t) exp(A t)-1 exp(B t)-1 = E + (A + B - A - B ) t + A2 B2 A2 B2 + + + + AB - A2 - AB - B A - B 2 + AB t + o(t) = 2 2 2 2 E + (AB - B A)t + o(t).
TFISF усть

пределеие

группыF омоморфизм групп

G1 GL(n1 , F ), G2 GL(n2 , F ), { f : G1 G2 зыв ется гомоморфизм 1 i, j n2 ,

лиейые

лиейых

группD если существуют т кие могочлеы

fij (Xrs ) F [Xrs |1 r, s n1 ],
что для любого

g = (grs ) G1 (i, j )Eый f : G1 G

коэффициеты м трицы

f (g )

р ве

fij (grs )F
еорем

TFITF сли

2 { гомоморфизм лиейых группD то

df |E : TE (G1 ) TE (G2 )

является гомоморфизмом лгебр иF


PF

TE

SS

ок з тельствоF

усть

JE (f )
жеие

{ з чеие коби отобр жеия

df |E

лиейоF роме

A TE (G1 ). огд df |E (A) = JE (f )AD где f в точке E F ким обр зомD отобр E тогоD f (exp(At)) = exp(d |E (A)t) для любого f

tF

F тсюд

f ([exp(A t), exp(B t)]) = [f (exp(A t)), f (exp(B t))] = [exp(df |E (A t)), exp(df |E (B t))]. t
и пол г я

@QHA

ифферецируя р вество @QHA по

t=0

получ ем

df |E ([A, B ]) =
группD

[df |E (A), df |E (B )].
ледствие

к к и в док з тельстве теоремы TFIRF

TFIUF усть

причем групп
еорем

G

1 связ F огд

f : G1 G2 { гомоморфизм лиейых df |E одоз чо определяет f F Der A TE = Der A

TFIVF усть

A

{ коечомер яD е обяз тельо ссоци тив я { лгебр и ее диффереE { ее лгебр иF

F

E лгебр D

G

{ групп ее втоморфизмовD и

циров ийF огд групп
ок з тельствоF

G

лией и

усть

e = (e1 , . . . , en )
n

{ произвольый б зис в

AF

огд

для любых

i, j = 1, . . . , n ei ej =
i,j,k=1

ck ek , ij (aij )D
n

ck F . ij
то
i

@QIA

сли

G

имеет в б зисе

e

м трицу

ei =
k=1

ek ak

ледов тельоD для всех

i, j
t,s es et asi atj

(ei )(ej ) = =

t,s es asi et atj = k t,s,k cst asi atj ek

.

@QPA оэтому коэффициE

другой стороыD еты

aij

м трицы

(ei ej ) = k ck (ek ) = k,l ck el alk . ij ij удовлетворяют ур веиями ck el alk = ij
k,l t,s,k

ck asi atj , st

и потому групп

G GL(n, F )
E

лией F для всех

йдем ее лгебру иF лемет

DT

exp(Dt) G = Aut A a, b A

t F.

то оз ч етD что для всех

exp(Dt)(ab) = exp(Dt)(a) exp(Dt)(b).
ким обр зомD

D t D 2 t2 + + § § § )(ab) = 1! 2! D t D 2 t2 D t D 2 t2 (E + + + § § § )(a)(E + + + § § § )(b). 1! 2! 1! 2! ифферецируя р вество @QQA по t и пол г я t = 0D получ ем (E + D(ab) = D(a)b + aD(b).

@QQA


ST

TF

т кD

TE Der AF D Der AF
огд

бр тоD пусть формуле ейбиц

Dt Der A

для всех

tF

F тсюд по

exp(Dt)(ab) = (E + ab + (D(a)b + aD(b))t +

D t D 2 t2 + + § § § )(ab) = 1! 2!

1 (D2 (a)b + 2D(a)d(b) + aD2 (btn ))t2 + § § § 2! n 1 n + ( i=0 Di (a)Dn-i (b)) + § § § n! i D2 (a)t2 D2 (b)t2 (a + D(a)t + + § § § )(b + D(b)t + + §§§) = 2! 2! exp(Dt)(a) exp(Dt)(b).
F

т кD

exp(Dt) G

ссмотрим подробее свойств связых и есвязых групп иF
еорем

TFIWF руппы

SL(n, C),
связыF руппы
еорем

GL(n, C),

SO(n, R),
есвязыF

U(n, C),

SU(n, C)

GL(n, R), O(n, R) Cn /
D где

TFPHF юб я комп кт я комплекс я групп и изоморф

белевой группе



{ дискрет я подгрупп р г

2n

в

C

n

F

пределеие

TFPIF омоморфизм групп и

f:GH

зыв ется E

крыв ющим D если выполео одо из эквив летых условийX
IF подгрупп PF QF

ker f дискрет Y df : T1 (G) T2 (G) является изоморфизмом векторых f идуцирует диффеоморфизм окрестостей x и f (x)F
TFPPF омоморфизм

простр ствY

ример

f : R U(1, C)D f (x) = exp(2 i)F

является

крытиемF
еорем

TFPQF уществует крыв ющий гомоморфизм

f : SL(2, C)

SO(3, C)
тF еF

с ядром

ker f = ‘1F

ри этом

f (SU(2, C)) = SO(3, R)F
{ можество м триц со следом ульD

ок з тельствоF

усть

L = sl(2, C)

sl(2, C) = {
ссмотрим предст влеие

ac |a, b, c C}. b -a G = SL(2, C)
2

Ad

группы

в

L

по пр вилу
2

(Ad g )(x) =

g xg

-1

.

метимD что

Ad

сохр яет билиейую фукцию

i(b - c) ac = -a2 - bc = (ia)2 + b -a 2
ледов тельоD соD что

+

i(b + c) 2

.

Ad g SO(3, C)F ker Ad = ‘1. ри

этом

Im Ad = S O(3, C)F n 2F
меоD пусть

т кострукция обобщ ется произвольое

лгебр лиффорд от ст д ртой билиейой фукции

(x, y ) =

n j =1

Cn { xj yj


PF

TE

SU



n

Eмером простр стве

C

n

со стр д ртым б зисом

e1 , . . . , en

F огд б зис

Cn

сост вляют одочлеы

ei1 § § § eim ,
причем

1 i1 < . . . < i

m

n,
оэтому @QRAD у

@QRA

ek ej = -ej ek , при 1 k = j n, = 1. 0 1 k Cn = Cn Cn , где б зис Cn сост вляют одочлеы mod 2F Cn имеется иволюцияD ei1 § § § eim = eim § § § ei1 .
оложим усть

e2 j

dim Cn = 2 , и которых m k

n

N (u) = uu для любого u Cn F Cn { групп обр тимых элеметов
0 u (Cn ) ,

лгебры
-1

Cn

F

ерез

Spin(n, C)
@QSA

обоз чим подгруппу всех т ких что

N (u) = 1

и

u Cn u

= Cn , e1 . . . , e
nF

где

C

n

{ комплекс я лией я оболочк векторов TFPRF рупп

пределеие

Spin(n, C)

зыв ется комплексой спиорой

группой F
силу @QSA получ ется гомоморфизм пок з тьD что гомоморфизм



сюръективеD и групп

: Spin(n, C) SO(n, C). ожо Spin(n, C) связ D ker =
Cn D и

‘1.
ля опис ия элеметов что

Spin(n, C)

обоз чим через

y=
усть

yj ej

и

y =1

2 j

F этом случ е

y
0 Cn

Qn-1 все т кие y Cn D Spin(n, C) состоит из

произведеия четого числ элеметов

Qn

-1

F

n = 2l + 1

{ ечетоF огд лгебр

в ей имеется простой левый иде л еприводимое предст влеие

I р змерости Spin(2l + 1, C)D зыв ется Cn 2l

Mat(2l , C). ледов тельоD 2l F ем с мым возик ет
спиорым предст вE

леием F
сли n = 2lD то Spin(2l, C) в простом подпредст влеий
0 1 J = (J Cn ) (J Cn ).
пределеие

лгебр

прост D и поэтому имеется предст влеие

левом иде ле

J

р змерости

F ов возик ет спиE

орое предст влеиеD о оо приводимо и р зл г ется в прямую сумму двух

TFPSF рупп и

G

одосвяз D если в

G

любой путь стягиE

в ется в точкуF
еорем

TFPTF юб я связ я групп и

G

имеет вид

G

~ G/N

D где

~ G

{ одосвяз я групп иD и тельF р

N

~ G, N

{ дискретый цетр льый орм льый делиE

определе одоз чоF
TFPUF рупп

пределеие римеры

~ G

зыв ется одосвязым крытием

G

F

TFPVF ледующие группы одосвязыX

SL(n, C ),

SU(n, C),

Spin(n, C).

меются следующие одосвязые крытияX IF PF QF RF SF

R U(1, C)Y SL(2, C) S O(3, C)Y SU(2, C) S O(3, R)Y SL(2, C) Ѕ SL(2, C) SO(4, C)Y SL(4, C) SO(6, C).


SV

TF

ри этом в силу едиствеости крытия

Spin(3, C)

SL(2, C), Spin(4, C) SL(2, C) Ѕ SL(2, C), Spin(6, C) S L(4, C).
QF редст влеия групп и

пределеие

TFPWF редст влеием лиейой группы

простр стве

V

зыв теся гомоморфизм лиейых групп

смысле определеия TFISF ругими слов миD если в гомоморфизм лиейых групп
еорем

V

выбр

G в комплексом : G GL(V ) в б зисD то з д ет G
существует

: G GL(n, C)
G

TFQHF усть

G

комп кт я групп иF огд

и едиствеый т кой итегр л ции

f (g )dg

для к ждой литической фукE

f
PF QF



G

D что о

IF лиее отосительо фукции
G G

dg = 1D G |f (g )|2 dg > 0, f (g )dg = G f (g -1 )dg =

если
G

fY f = 0Y f (g h)dg = (x, y )F

G

f (hg )dg

D если

hG

F

ледствие

TFQIF усть з д о предст влеие

: G GL(V ),

где

dim V <

.

вводится ск лярое произведеие

ведем овое ск лярое произвеE

деие

x, y = G ((g )x, (g )y )dg . (h), h GD уит реF
ледствие

силу свойств итегр л к ждый опер тор

TFQPF юбое коечомерое предст влеие комп ктой групE

пы и вполе приводимоF
еорем

TFQQF юбое еприводимое комплексое предст влеие комп кE TFQRF рупп всех уит рых м триц

той группы и коечомероF
еорем

U(n, C)

является м кE всех ортоE подгруппой

сим льой комп ктой подгруппой в комп кт я подгрупп в го льых м триц в

GL(n, C)F

юб я друг я м ксим ль я

GL(n, C) сопряже с U(n, C)F рупп O(n, R) является м ксим льой комп ктой

GL(n, R)F

юб я друг я м ксим ль я комп кт я подгрупп в

GL(n, R)

сопряже с

O(n, R)F
TFQSF рупп и полупрост D если в ей ет еедиичых

пределеие

связых орм льых белевых подгруппF
ример

TFQTF руппы

SL(n, C), SU(n, C), SO(3, R)

полупростыF

еорем

TFQUF юб я связ я полупрост я групп и допуск ет точое TFQVF ксим льым тором в группе и

лиейое предст влеиеF
пределеие

G

зыв ется

м ксим ль я подгрупп иD являющ яся прямым произведеием групп
римеры

C



F

TFQWF ксим льый тор { подгрупп ди го льых м триц { подгрупп ди го льых м триц { подгрупп ди го льых м триц

в в в

GL(n, C) SL(n, C) SO(n, C)

D(n, C)D D(n, C) SL(n, C)D D(n, C) SO(n, C)F

еорем

TFRHF связой комп ктой группе и м ксим льый тор явE

ляется м ксим льой связой коммут тивой подгруппой иF се т кие подгруппы сопряжеыF


QF

SW

пределеие

TFRIF ксим ль я связ я р зрешим я подгрупп и
+

B

+

в группе и

G

зыв ется подгруппой ореля F

метимD что
еорем

B

содержит м ксим льый тор

H

F

TFRP @орозовD орельA F се подгруппы ореля

B

+

связой
{ од из

комплексой группы и
римеры

G

сопряжеы между собой в

G

F
сли F

TFRQF сли

групп

SO(n, C), G

G = GL(n, C)D то B + = T (n, C)F SL(n, C), SU(n, C)D то B + = T (n, C) G
TFRRF усть

G

пределеие

группы и

F ля любого гомоморфизм

: G GL(n, C) { комплексое предст влеие : G C через V обоз чим
для любого

подпростр ство

V = {v V |(g )v = (g )v
еулевое подпростр ство

g G }. V


V

зыв ется весовым D еулевые векторы из

зыв ются весовыми D фукция сли

G

в этом случ е зыв ется весом F

H

{ м ксим льый тор в

D то

H

является комп ктой белевой групE

пойF ледов тельоD все ее еприводимые предст влеия одомерыF оэтому если з д о коечомерое предст влеие группы и

: G GL(V )

связой комп ктой

G

с м ксим льым тором

H

D то

V = s=1 Vj (H ). j
пределеие

TFRSF есовой вектор

vV
+

j

\0

для

H

зыв ется ст рE

шим D если для к ждого элемет

gB

йдется т кое число

g C

D что

(g )v = g v

F

ч стостиD ст рший вес з д ет гомоморфизм
еорем

: B + C .

TFRTF еприводимое коечомерое предст влеие связой поE

лупростой лгебр ической группы
TFRUF усть

G

одоз чоD с точостью до эквив летE
огд имеется естествеое предст вE комплексых могочлеов от

ости определяется своим ст ршим весомF
ример

леие пеи

G nD

в простр стве имеоD

G = SL(2, C)F Pn одородых

X, Y

стеE

ab f (X, Y ) = f (aX + bY , cX + d Y ). cd
орелевск я подгрупп

B

+

состоит из всех верхетреугольых м триц

B= Y
n

ab , 0d

a, d C ,

b C. Y
n

т ршим вектором этого предст влеия является могочле

D т к к к

=a n

-n

B

Y. -E
действует при этом предст влеии тождествеоD степеи

n

егко видетьD что если предст влеие
ример

четоF ледов тельоD при четом

SO(3, C)

SL(2, C)/{‘E } Pn

n = 2k получ ется 2k + 1F SU(2, C)

еприводимое

TFRVF усть

к к и вышеF метимD что

состоит из всех

м триц вид

a -b , ba

a, b C,

|a|2 + |b|2 = 1.


TH

TF

пределим предст влеие

SU(2, C) в P

n к к огр ичеие предст влеия

SL(2, C)

из пример TFRU подгруппу ром

SU(2, C)F X nF

олуч ется еприводимое предст влеие ействительоD

SU(2, C)

со ст ршим вектоE

B + = SU(2, C) T (2, C) =
и поэтому

a0 |a C, 0a

|a| = 1 ,

a0 X n = an X n . 0a
ри четом

SO(3, R)

степеи

n = 2k получ ется 2k + 1F

еприводимое комплексое предст влеие

редст влеие из пример TFRV можо опис ть поEдругомуF усть простр ство всех одородых комплексых могочлеов летворяющих диффереци льому ур веию

H

n{

f

степеи

n

D удовE

f = 0 ,
ействие

=

2 2 2 + 2 + 2. 2 x y z 2n + 1
д

SO(3, R)

идуциров о естествеым действием коорди т х

трехмерых векторовF то предст влеие имеет степеь эквив лето предст влеию в димые предст влеия

R

D и оо

Pn

F ким обр зомD получ ются все епривоE

SO(3, R)F


итер тур
I урб ки F руппы и лгебры иF л вы I E QF FX ирD IWUTF P урб ки F руппы и лгебры иF л вы R E TF FX ирD IWUPF Q урб ки F руппы и лгебры иF л вы UD VF FX ирD IWUVF R урб ки F руппы и лгебры иF л в WF FX ирD IWVTF S иберг F FD ищик F F совы теории группF кFX тоги уки и техикиD

овремеые проблемы м тем тикиF удмет льые пр влеияF тF PHD руппы и лгебры и IF IWVVD FX D F SEIHIF T иберг F FD орб цевич F FD в рцм F F искретые подгруппы групп иF кFX тоги уки и техикиD овремеые проблемы м тем тикиF удмет льые

пр влеияF тF PID руппы и лгебры и PF IWVVD FX D F UEIPHF U иберг F FD орб цевич F FD ищик F F троеие групп и лгебр иF кFX тоги уки и техикиD овремеые проблемы м тем тикиF удмет льые пр вE леияF тF RID руппы и лгебры и QF IWWHD FX D F SEPSSF V острики F F ведеие в лгебруF FX ук D IWUUF W урош F F еория группF FX ук D IWTUF IH ейтес F F упер лгебры иF кFX тоги уки и техикиD овремеые проблемы м тем тикиF овейшие достижеияF тF PSD IWVRD FX D F QERWF II езов F FD вельев F F рупповые методы итегриров ия елиейых ди миE ческих системF FX ук D IWVSF IP и F F либровочые поля и комплекс я геометрияF FX ук D IWVRF IQ ф ревич F F совые поятия лгебрыF кFX тоги уки и техикиD овремеE ые проблемы м тем тикиF уед мет льые пр влеияF тF IID IWVTD FX D PVVF IR эст F ведеие в супергеометрию и супергр вит циюF FX ирD IWVWF IS етр шеь F FD рифоов F F римееие теории групп в кв товой мех икеF IWWWD FX F

TI