|
Содержание
курса | Самостоятельная работа | Литература
Уравнения математической физики.
Механико-математический факультет МГУ, кафедра математического анализа,
тел.939-18-01.
Авторы - проф. Прилепко Алексей Иванович, доц. Печенцов Александр Сергеевич.
Курс читается в 5 семестре для студентов специальности 011200 - геофизика.
Объем курса - 80 часов, лекции - 48 часов, семинарские занятия -32 часов.
Форма контроля. Курс завершается экзаменом.
Аннотация. Целью преподавания дисциплины является подготовка студентов к работе в области
теории, практики и интерпретации геофизических исследований с использованием уравнений математической физики.
Задачей курса является освоение основных понятий и методов решений уравнений математической физики.
Вверх
Содержание курса.
Ряды Фурье, преобразование Фурье, обобщенные функции, d -функция.
- Тригонометрические ряды Фурье 2p -периодических функций. Основные теоремы о сходимости,
дифференцируемости и интегрируемости (без вывода).
- Тригонометрические ряды Фурье с любым периодом, спектр периодической функции.
- Ортогональные и ортонормированные системы и ряды Фурье по ним.
- Неравенство Бесселя, экстремальное свойство и равенство Бесселя. Полные ортонормированные системы.
- Двойной интеграл Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье, простейшие свойства.
- Обобщенные функции, d -функция. Регулярные и сингулярные обобщенные функции.
Вывод уравнений, классификация и постановка основных задач математической физики.
- Математическое моделирование физических процессов. Понятие дифференциального уравнения с частными производными.
- Вывод основных уравнений математической физики: малые поперечные колебания струны и стержня, теплопроводности
и диффузии, стационарных (установившихся) режимов, уравнения Лапласа и Пуассона. Классификация и характеристики,
а также канонический вид уравнений математической физики.
Метод разделения переменных (метод Фурье) и метод преобразования Фурье решения основных задач математической
физики.
- Задача Штурма-Лиувилля и ее применение при решении методом Фурье основных смешанных краевых задач для уравнений
колебаний и теплопроводности.
- Метод Фурье решения задачи Дирихле в прямоугольнике для уравнения Лапласа.
- Интегральное преобразование Фурье и его применение к решению задачи Коши для уравнений колебаний и теплопроводности.
Эллиптические уравнения (уравнения Лапласа и Пуассона), метод функции Грина решения задачи Дирихле и теория
потенциала.
- Гармонические функции, их свойства, фундаментальное решение уравнения Лапласа.
- Формула Грина. Внутренние и внешние задачи Дирихле и Неймана для гармомических функций. Метод решения задачи
Дирихле с помощью функции Грина. Построение функции Грина методом электростатических изображений и решение задачи
Дирихле для круга (шара), полуплоскости (полупространства).
- Интегралы типа потенциал. Потенциал объемных масс и его свойства. Потенциалы простого и двойного слоев, их
основные свойства, физическая трактовка и применение в геофизике. Решение задач с помощью теории потенциала.
Гиперболические уравнения (метод характеристик и метод Дюамеля решения волнового уравнения и уравнения переноса).
- Метод характеристик решения задачи Коши, простейшей краевой задачи для уравнения бегущей волны (уравнения
переноса) и решение задачи Коши для уравнения колебаний струны.
- Задача Коши для однородного и неоднородного волнового уравнения в одно-, двух- и трехмерном пространстве
и её решение методом Дюамеля (формулы Даламбера, Пуассона, Киргофа).
- Запаздывающий потенциал. Принцип Гюйгенса. Сферические волны.
Параболические уравнения (формула Пуассона, решение задачи Коши для уравнения теплопроводности).
- Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и функция источника. Основные свойства решения уравнения
теплопроводности.
- Метод Дюамеля решения задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности в одномерном и многомерном
случаях.
- Метод отражения смешанно-краевых задач на полупрямой.
Элементы спецфункций и некорректные задачи.
- Понятие о уравнении Бесселя и уравнении Лежандра. Колебание мембраны и шара.
- Понятие о сферических функциях. Корректные и некорректные задачи математической физики и их применение в
геофизики.
- Понятие об обобщенных решениях уравнений математической физики. Разложение в ряды по спецфункциям.
Вверх
Самостоятельная работа студентов.
Для самостоятельной работы студентов выносятся следующие темы:
- Основные теоремы тригонометрических рядов Фурье.
- Свойства преобразований Фурье.
- Вывод уравнений распространения звука.
- Канонический вид уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными.
- Свойства собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
- Элементы обобщенных функций.
- Функции Бесселя и их свойства.
- Полиномы Лежандра и их свойства.
- Сферические и шаровые функции и их свойства.
- Ряды Фурье по спецфункциям.
Вверх
Литература.
- Будак Б.М, Самарский А.А., Тихонов А.Н.. Сборник задач по математической физике. М., Наука, 1976.
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., Наука, 1997.
- Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Курс математического анализа. Т.1,2. М., Наука, 1971.
- Ильин В.А., Садовничий В.А., Сенцов Б.Х. Математически анализ. Т.1,2. М., МГУ, 1995.
- Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М., МГУ, 1993.
- Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1972.
- Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., Наука,1985.
- Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.
Вверх | Содержание
курса | Самостоятельная работа | Литература
|
