|
lonkol
|
|
enthusiast
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.05.2009
|
|
Сообщений: 276
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
задача по механике (или по планиметрии?)
10.06.2010 19:52
|
|
|
имеется трехзвенник, изображенный на рисунке. Точки О1 и О2 закреплены и находятся на оси Оу. Стержень О1А вращается вокруг т. О1 по часовой стрелке (угол его поворота относительно оси Ох= ![[math]$\varphi$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Cvarphi%24) ), приводя движение стержни АВ и ВО2 (все крепления шарнирные). Т.о. ВО2 вращается вокруг О2 в противоположную сторону, угол его поворота осносительно Оу= ![[math]$\psi$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Cpsi%24) , угол поворота АВ относиельно Ох= ![[math]$\alpha$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Calpha%24) , O1A=l1, AB=L, O2B=l2, L>l2>l1.
то нужно:
1. Подобрать О1О2, так чтобы нижний стержень совершил полный поворот (у меня получилось О1О2=L+l2-l1). Я так понимаю, верхний стержень при этом полного поворота не совершит.
2. Выразить ![[math]$\psi$, $\alpha$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Cpsi%24%2C%20%24%5Calpha%24) через . Можно взять векторную сумму О1А+АВ+ВО2=О1О2 и рассмотреть ее проекции на координатные оси. Получается ![[math]$$l1 cos(\varphi) + Lcos(\alpha) - l2sin (\psi) = L+l1-l2$$ $$l1 sin(\varphi) + Lsin(\alpha) + l2cos (\psi) =0$$[/math]](mathimg.php?math=%24%24l1%20cos%28%5Cvarphi%29%20%2B%20Lcos%28%5Calpha%29%20-%20l2sin%20%28%5Cpsi%29%20%3D%20L%2Bl1-l2%24%24%20%24%24l1%20sin%28%5Cvarphi%29%20%2B%20Lsin%28%5Calpha%29%20%2B%20l2cos%20%28%5Cpsi%29%20%3D0%24%24)
а вот как отсюда адекватно выразить альфу и пси?..
или как-то геометрически это можно сделать? вот если АО1=ВО2, тогда там просто все: получаются равные треугольники О1АВ и О1О2В, например... из них углы линейно выражаются. А так - не понятно ((
с меня за решение ништяки вроде пива/сока/шоколадки
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: lonkol]
10.06.2010 20:07
|
|
|
Quote:
1. Подобрать О1О2, так чтобы нижний стержень совершил полный поворот (у меня получилось О1О2=L+l2-l1). Я так понимаю, верхний стержень при этом полного поворота не совершит.
подобрать один или указать все возможные значения?
|
|
|
lonkol
|
|
enthusiast
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.05.2009
|
|
Сообщений: 276
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 20:14
|
|
|
Quote:
подобрать один или указать все возможные значения?
одного достаточно. Т.е. если мой годится, то все ок
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: lonkol]
10.06.2010 20:15
|
|
|
По второму пункту все выкладки писать лень писать, но:
O1O2 считаем известным (пусть будет d)
Строим окружности радиусов l1 и l2 с центрами в O1 и O2 соответственно. Находим координаты точки A. Из нее строим окружность радиусом L. Ищем пересечение двух окружностей (квадратное уравнение). После нахождения координат B все остальное просто: это углы с осями координат, даже скалярное и косое произведение использовать не надо. Из корней квадратного уравнения надо только выбрать одно, которое подходит под изображенную конфигурацию.
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 20:22
|
|
|
|
|
|
lonkol
|
|
enthusiast
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.05.2009
|
|
Сообщений: 276
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 20:31
|
|
|
попробовала. Получается сложное выражение с приколами вроде необходимости выбирать ветку арккосинуса и деления на ноль, когда фи=пи/2. Хочется иметь гладкую связь, которую удобно дифференцировать.
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: lonkol]
10.06.2010 20:36
|
|
|
Не, это оказалось проще, чем я думал.
В первой можно доказать, что подходят любые расстояния из отрезка [ L + l1 - l2; L + l2 - l1 ].
Для начала строим все те же окружности с центрами в O1 и O2. Дальше, стержень можно прокрутить тогда и только тогда, когда окружность с центром в любой точке окружности O1 и радиусом L пересекает окружность O2. Это следует из того, что точка пересечения непрерывно зависит от фи. Дальше, максимум и минимум расстояния от точки на окружности O1 до точки O2 достигаются в диаметрально противоположных точках на оси y, это следствие принципа касательной линии уровня (или метод Лагранжа). Отсюда следуют два неравенства, вместе дающие необходимое и достаточное условия.
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: lonkol]
10.06.2010 20:40
|
|
|
Ну чтобы дифференцировать не обязательно находить явную зависимость.
А здесь дифференцирование неявной функции вообще на ура проходит. Можно даже подумать над решением дифура и таким образом получением ответа на 2), но это уже фантазии 
|
|
|
lonkol
|
|
enthusiast
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.05.2009
|
|
Сообщений: 276
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 20:49
|
|
|
какую неявную функцию ты имеешь ввиду?
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 20:52
|
|
|
Например, производные вот:
![[math] \[ \frac{\partial \alpha}{\partial \varphi} = -\frac{l_1}{L}\frac{\cos(\varphi - \psi)}{\cos(\alpha - \psi)} \] \[ \frac{\partial \psi}{\partial \varphi} = \frac{l_1}{l_2}\frac{\sin(\alpha - \varphi)}{\cos(\alpha - \psi)} \] [/math]](mathimg.php?math=%0D%0A%5C[%0D%0A%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Calpha%7D%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bl_1%7D%7BL%7D%5Cfrac%7B%5Ccos%28%5Cvarphi%20-%20%5Cpsi%29%7D%7B%5Ccos%28%5Calpha%20-%20%5Cpsi%29%7D%20%0D%0A%5C]%0D%0A%5C[%0D%0A%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cpsi%7D%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl_1%7D%7Bl_2%7D%5Cfrac%7B%5Csin%28%5Calpha%20-%20%5Cvarphi%29%7D%7B%5Ccos%28%5Calpha%20-%20%5Cpsi%29%7D%20%0D%0A%5C]%0D%0A)
Если ничего не наврал.
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: lonkol]
10.06.2010 20:53
|
|
|
Рассмотри оба своих уравнения (они у тебя, кстати, перепутаны(но это, кстати, не важно)) как функции ![[math]$F_j(\varphi, \psi(\varphi), \alpha(\varphi)) = 0$[/math]](mathimg.php?math=%24F_j%28%5Cvarphi%2C%20%5Cpsi%28%5Cvarphi%29%2C%20%5Calpha%28%5Cvarphi%29%29%20%3D%200%24) и возьми полную производную по (приравняй нулю). Получишь линейную системку относительно производных по фи. Дальше метод Крамера.
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 20:57
|
|
|
кстати вот, не зависит от d. Что бы это могло значить... 
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 20:58
|
|
|
А, нормально, от d начальные условия зависят.
|
|
|
lonkol
|
|
enthusiast
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.05.2009
|
|
Сообщений: 276
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 21:00
|
|
|
Поясню, для чего это все нужно.
Нужно написать уравнение движения этой системы. Очевидно, у нее одна степень свободы, выберем . Соответственно через нее и ее производные по времени нужно записать кин. энергию и все, что там еще полагается (обобщенные силы, например). Ради этого все и затевается. Поэтому я и хочу все угловые переменные выразить через фи. То есть по сути нужно знать угловые скорости АВ и ВО2 и скорость центра АВ.
Поэтому выражение производной через не годится
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: lonkol]
10.06.2010 21:02
|
|
|
А, точно, как я про это забыл. Понаписал бесполезного бреда А нельзя может быть более удобную переменную выбрать?
|
|
|
lonkol
|
|
enthusiast
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.05.2009
|
|
Сообщений: 276
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 21:07
|
|
|
к сожалению, фи задано как обобщенная координата системы. Да и в целом оно удобно, у нему присобачен двигатель с внешним моментом, коотрым можно управлять. Брать альфа или пси - то же самое, какую-нибудь из линейных координат - тоже вряд ли что хорошее получится
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: lonkol]
10.06.2010 21:16
|
|
|
ну еще возникают грязные мысли подобрать-таки O1O2 из допустимого диапазона, то только пока не знаю как. Но это возможно путь.
|
|
|
lonkol
|
|
enthusiast
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.05.2009
|
|
Сообщений: 276
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 21:20
|
|
|
я взяла верхнюю границу, чтобы верхний стержень симметрично колебался
|
|
|
unkulunkulu
|
|
unkulunkulunkulu
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2006
|
|
Сообщений: 18453
|
|
Из: 13000
|
|
Рейтинг: 11759
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: lonkol]
10.06.2010 21:21
|
|
|
|
|
|
lonkol
|
|
enthusiast
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.05.2009
|
|
Сообщений: 276
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: задача по механике (или по планиметрии?)
[re: unkulunkulu]
10.06.2010 21:28
|
|
|
ой, нет, я ступила. в общем при таком выборе А и В находятся внижний точках окружностей одновременно
|
|
Список
Плоский
Дерево
