|
vrai
|
|
newbie
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.05.2006
|
|
Сообщений: 37
|
|
|
|
Рейтинг: 11
|
|
посчитать преобразование Фурье
03.04.2010 19:44
|
|
|
Обозначим через \Phi(x) функцию распределения стандартного нормального распределения. Чему равно такое преобразование Фурье:
\int \Phi(-|x|) e^{itx} dx.
Ну, интеграл, понятно, по всей действительной прямой.
Помогите, что-то не получается у меня.
|
|
|
FrauSoboleva
|
|
Don't Quixote
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 20.11.2004
|
|
Сообщений: 28501
|
|
|
|
Рейтинг: 9796
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 19:49
|
|
|
а по частям не выходит что ли? 
|
How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood |
|
|
siliconec
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.04.2005
|
|
Сообщений: 13258
|
|
|
|
Рейтинг: 8773
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 20:04
|
|
|
по виду, все считается, если менять местами инт-е по x и x' (которая есть переменная интеграла, представляющего Лапласа).
|
|
|
vrai
|
|
newbie
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.05.2006
|
|
Сообщений: 37
|
|
|
|
Рейтинг: 11
|
|
|
Сразу по частям нельзя, потому что там модуль недифференцируемый. Надо на два куска разбить. А что потом после одного раза по частям с комплексной экспонентой-то делать?
Там навернякак есть какие-нибудь хитрые способы подсчета такого интеграла, но в голову мне не приходит.
|
|
|
FrauSoboleva
|
|
Don't Quixote
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 20.11.2004
|
|
Сообщений: 28501
|
|
|
|
Рейтинг: 9796
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 20:12
|
|
|
Я пропустил очевидное преобразование со снятием модуля  Можете считать что 2 интеграла от 0 до бесконечности от косинуса.
После одного раза по частям получается, представьте себе, преобразование фурье нормальной плотности с точностью до множителя. Которое равно ![[math]$e^{-t^2/2}$[/math]](mathimg.php?math=%24e%5E%7B-t%5E2%2F2%7D%24) .
|
How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood |
|
|
vrai
|
|
newbie
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.05.2006
|
|
Сообщений: 37
|
|
|
|
Рейтинг: 11
|
|
|
Если проинтегрировать по частям, то получится два интеграла от нуля до бесконечности от sin(xt) exp(-x^2/2). И привести его к интегралу по всей прямой не получается, поэтому я не вижу, как выходит преобразование фурье нормальной плотности
|
|
|
siliconec
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.04.2005
|
|
Сообщений: 13258
|
|
|
|
Рейтинг: 8773
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 20:29
|
|
|
ну да, это табличный интеграл. Синус можно обратно в экспоненты преобразовать и получить опять же Лапласа от t
|
|
|
vrai
|
|
newbie
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.05.2006
|
|
Сообщений: 37
|
|
|
|
Рейтинг: 11
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: siliconec]
03.04.2010 20:34
|
|
|
Верю, только нет у меня дома книжек по преобразованию Лапласа
И в википедии нет. Чему равно преобразование Лапласа от exp(-t^2/2) ?
|
|
|
FrauSoboleva
|
|
Don't Quixote
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 20.11.2004
|
|
Сообщений: 28501
|
|
|
|
Рейтинг: 9796
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 20:55
|
|
|
не, я все же не понял проблемы.
![[math]$\int\limits_{R^+} e^{itx} e^{-x^2/2} dx = e^{-t^2/2} \int\limits_{R^+-it} e^{-z^2/2}dz=e^{-t^2/2} \int\limits_{R^+} e^{-z^2/2}dz - \int\limits_{0}^{-it}e^{-z^2/2}dz = 1/2+i \int\limits_0^{t} e^{z^2/2} dz $[/math]](mathimg.php?math=%24%5Cint%5Climits_%7BR%5E%2B%7D%20e%5E%7Bitx%7D%20e%5E%7B-x%5E2%2F2%7D%20dx%20%3D%20e%5E%7B-t%5E2%2F2%7D%20%5Cint%5Climits_%7BR%5E%2B-it%7D%20e%5E%7B-z%5E2%2F2%7Ddz%3De%5E%7B-t%5E2%2F2%7D%0D%0A%5Cint%5Climits_%7BR%5E%2B%7D%20e%5E%7B-z%5E2%2F2%7Ddz%20-%20%5Cint%5Climits_%7B0%7D%5E%7B-it%7De%5E%7B-z%5E2%2F2%7Ddz%20%3D%201%2F2%2Bi%20%5Cint%5Climits_0%5E%7Bt%7D%20e%5E%7Bz%5E2%2F2%7D%20dz%20%24)
Редактировал FrauSoboleva (03.04.2010 21:15)
|
How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood |
|
|
siliconec
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.04.2005
|
|
Сообщений: 13258
|
|
|
|
Рейтинг: 8773
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 20:55
|
|
|
и maple на компутере нет?
|
|
|
siliconec
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.04.2005
|
|
Сообщений: 13258
|
|
|
|
Рейтинг: 8773
|
|
|
ну, во-первых, скобка
во-вторых, Вы сами намекали товарищу на косинус и интеграцию по частям
а ответ-то, конечно, Лаплас от мнимого арг-а
кроме того, интеграл в последнем сообщении - это не вся правда
|
|
|
vrai
|
|
newbie
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.05.2006
|
|
Сообщений: 37
|
|
|
|
Рейтинг: 11
|
|
|
Я просто подзабыл, как поступают с интегралами у которых область интегрирования смещается с действительной прямой. Сейчас все ясно. Спасибо.
За преобразование Лапласа тоже спасибо, проверю, сойдутся ли результаты
|
|
|
vrai
|
|
newbie
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.05.2006
|
|
Сообщений: 37
|
|
|
|
Рейтинг: 11
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 21:04
|
|
|
С меплом как-то не спортивно )) Да и ставить надо
|
|
|
vrai
|
|
newbie
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.05.2006
|
|
Сообщений: 37
|
|
|
|
Рейтинг: 11
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 21:42
|
|
|
Кстати, с преобразованием Лапласа получается не очень хорошо, потому что п. Лапласа от exp(-x^2/2) включает в свою запись \Phi(x). А как брать эту функцию в чисто мнимой точке - еще большой вопрос
|
|
|
siliconec
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.04.2005
|
|
Сообщений: 13258
|
|
|
|
Рейтинг: 8773
|
|
Re: посчитать преобразование Фурье
[re: vrai]
03.04.2010 22:29
|
|
|
никакого большого вопроса нет: это именно тот интеграл (с точностью до \sqrt{2\pi} или \sqrt{\pi/2} ), что написан последним в сообщении пользователя Frau Soboleva (вставьте в анал. продолжение общего определения ф-ии Лапласа мнимый арг. и проверьте)
|
|
Список
Плоский
Дерево
