[функан] Привести пример подпространства нормированного пространства - Public forum of MSU united student networks

вопросы очень простые

раньше такие вещи у прохожих на мехмате спрашивали.

Нормированное пространство --- пространство C[0,1] всех непрерывных на отрезке [0,1] функций, норма стандартная равномерная (чебышевская): норма функции равна супремуму ее модуля.

Quote:

а) ЗАМКНУТОГО подпространства нормированного пространства

Любое одномерное подпространство, т.е. линейная оболочка любого вектора, например тождественной единицы.

L={ f : существует такое число C, что f(x)=C для всех x из [0,1] }.

Замкнутость L очевидна, т.к. предел сходящейся последовательности, составленной из постоянных функций, --- это постоянная функция.

Более простой пример --- тривиальное подпространство, состоящее только из нуля (функции, тождественно равной нулю). Его замкнутость тем более очевидна.

Quote:

б) НЕзамкнутого подпространства нормированного пространства

L= все многочлены на отрезке [0,1]. Поскольку линейная комбинация двух многочленов --- снова многочлен, L является линейным подпространством. По теореме Вейерштрасса замыкание L равно всему C[0,1]. Кроме того, C[0,1] не совпадает с L, т.к. на отрезке [0,1] существуют непрерывные функции, отличные от многочлена. Значит, L не совпадает со своим замыканием и поэтому не замкнуто.

добавление: теорема Вейерштрасса утверждает, что для любой непрерывной на отрезке [0,1] функции существует последовательность многочленов, которая к этой функции равномерно сходится.