|
AvovA
|
|
cool russian dude
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 06.11.2002
|
|
Сообщений: 2425
|
|
Из: Toronto, Canada
|
|
Рейтинг: 447
|
|
"Олимпиадная" задачка на последовательности
22.05.2009 22:20
|
|
|
![[math]$x_0=1, x_{n+1}=1+\frac{2}{3x^2_n}$[/math]](mathimg.php?math=%24x_0%3D1%2C%20x_%7Bn%2B1%7D%3D1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3x%5E2_n%7D%24) .
Найти формулу общего члена последовательности.
Пробовал искать ![[math]$x_{n}=\frac{a_n}{b_n}$[/math]](mathimg.php?math=%24x_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Bb_n%7D%24) , получается
![[math]$a_{n+1}=3a_n^2+18a^4_{n-1}$[/math]](mathimg.php?math=%24a_%7Bn%2B1%7D%3D3a_n%5E2%2B18a%5E4_%7Bn-1%7D%24) .
Решение не знаю. Злобная какая-то задачка.
|
пишите письма  |
|
|
Gonobobel
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 20.05.2006
|
|
Сообщений: 10715
|
|
|
|
Рейтинг: 4318
|
|
Re: "Олимпиадная" задачка на последовательности
[re: AvovA]
23.05.2009 00:36
|
|
|
Попробуй вычесть из левой и правой части x_n, тогда слева получится нечто типа производной x по n. Устремляя (как бы) в левой части уравнения в дроби ![[math]$\frac{x_{n+1} - x_n}{1}$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Cfrac%7Bx_%7Bn%2B1%7D%20-%20x_n%7D%7B1%7D%24) стоящее в знаменателе 1 к 0, получаем дифур. Попробуй его решить, может, наведет на какие-нибудь мысли. Иногда этот метод помогает. Поможет ли тут - хз.
|
I have retired this character... 06.05.2010. |
|
|
ksa
|
|
Умка
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 04.10.2006
|
|
Сообщений: 14535
|
|
Из: где-то на белом свете
|
|
Рейтинг: 7761
|
|
Re: "Олимпиадная" задачка на последовательности
[re: AvovA]
23.05.2009 14:15
|
|
|
Если подставить ![[math]$x$[/math]](mathimg.php?math=%24x%24) вместо ![[math]$x_{n+1}$[/math]](mathimg.php?math=%24x_%7Bn%2B1%7D%24) и ![[math]$x_n$[/math]](mathimg.php?math=%24x_n%24) и решить кубическое уравнение, то можно доказать, что ![[math]$\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \dfrac{\alpha+1+\frac{1}{\alpha}}{3}$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Clim%5Climits_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%20x_n%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Calpha%2B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha%7D%7D%7B3%7D%24) ,
![[math]$\alpha=\sqrt[3]{10+3\sqrt{11}}$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Calpha%3D%5Csqrt[3]%7B10%2B3%5Csqrt%7B11%7D%7D%24)
Может поможет...
|
|
|
ksa
|
|
Умка
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 04.10.2006
|
|
Сообщений: 14535
|
|
Из: где-то на белом свете
|
|
Рейтинг: 7761
|
|
Re: "Олимпиадная" задачка на последовательности
[re: ksa]
23.05.2009 16:14
|
|
|
Вообще вспоминается, и что последовательные приближения численного решения уравнения ![[math]$f(t)=0$[/math]](mathimg.php?math=%24f%28t%29%3D0%24) методом Ньютона (касательных)
![[math]$t_{n+1}=t_n - \frac{f(t_n)}{f'(t_n)}$[/math]](mathimg.php?math=%24t_%7Bn%2B1%7D%3Dt_n%20-%20%5Cfrac%7Bf%28t_n%29%7D%7Bf%27%28t_n%29%7D%24) ,
и что последовательные приближения корня 3-ей степени ![[math]$f(t)=t^3-a=0$[/math]](mathimg.php?math=%24f%28t%29%3Dt%5E3-a%3D0%24) методом Ньютона
![[math]$t_{n+1}=t_n - \frac{t_n^3-a}{3t_n^2}$[/math]](mathimg.php?math=%24t_%7Bn%2B1%7D%3Dt_n%20-%20%5Cfrac%7Bt_n%5E3-a%7D%7B3t_n%5E2%7D%24)
С другой стороны, если нарисовать графики ![[math]$y=x$[/math]](mathimg.php?math=%24y%3Dx%24) и ![[math]$y=1 - \frac{2}{3x^2}$[/math]](mathimg.php?math=%24y%3D1%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3x%5E2%7D%24) , то графическая иллюстрация процесса, сходящегося к пределу в предыдущем посте будет
Приближения идут с верху и снизу, это похоже будут подходящие дроби к пределу из предыдущего поста, формулы для них есть, книжек по цепным дробям под рукой нет. Хотя для кубических (в отличие от квадратичных) иррациональностей там цепные дроби непериодические, может не удастся закономерность поймать.
Если ![[math]$t_n=3x_n-1,\quad x_n=\frac{t_n}{3}-\frac{1}{3}$[/math]](mathimg.php?math=%24t_n%3D3x_n-1%2C%5Cquad%20x_n%3D%5Cfrac%7Bt_n%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%24) или еще как преобразовать, чтобы не подходящие дроби к пределу ![[math]$\alpha + \frac{1}{\alpha}$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Calpha%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Calpha%7D%24) , а подходящие дроби к пределу ![[math]$\alpha$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Calpha%24) как-то преобразовать.
Хотя похоже не надо идти этим общим путем, есть какая-то изюминка, до чего-то может догадаться надо.
Редактировал ksa (23.05.2009 16:29)
|
|
|
ksa
|
|
Умка
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 04.10.2006
|
|
Сообщений: 14535
|
|
Из: где-то на белом свете
|
|
Рейтинг: 7761
|
|
Re: "Олимпиадная" задачка на последовательности
[re: ksa]
23.05.2009 16:36
|
|
|
В последней формуле для x_n ошибка, что-то редактирование глючит.
Если в методе Ньютона перенести t_n налево, то получаем то нелинейное конечноразностное уравнение, о котором Gonobobel говорил. И мне что-то не удается преобразвать исходное уравнение к виду f/f' какой-нибудь заменой, хотя я и не уверен, что для метода Ньютона при конкретных f какие-то формулы кроме рекурентных для последовательных приближений есть.
PS Решите уже кто-нибудь, блин дела горят, а тут эта задачка олимпиадная.  Хоть какая олимпиада-то?
Редактировал ksa (23.05.2009 16:39)
|
|
|
Gonobobel
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 20.05.2006
|
|
Сообщений: 10715
|
|
|
|
Рейтинг: 4318
|
|
Re: "Олимпиадная" задачка на последовательности
[re: ksa]
23.05.2009 16:59
|
|
|
Quote:
PS Решите уже кто-нибудь, блин дела горят, а тут эта задачка олимпиадная.
|
I have retired this character... 06.05.2010. |
|
|
Noord
|
|
cardinal direction
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 25.11.2006
|
|
Сообщений: 6581
|
|
|
|
Рейтинг: 9250
|
|
Re: "Олимпиадная" задачка на последовательности
[re: ksa]
23.05.2009 17:14
|
|
|
Quote:
PS Решите уже кто-нибудь, блин дела горят, а тут эта задачка олимпиадная. Хоть какая олимпиада-то?
+1
Сцуко, вчера до головной боли нарешался
|
|
|
ABC47
|
|
русский
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2005
|
|
Сообщений: 28318
|
|
Из: Волгоградской области
|
|
Рейтинг: -676
|
|
|
|
|
|
ksa
|
|
Умка
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 04.10.2006
|
|
Сообщений: 14535
|
|
Из: где-то на белом свете
|
|
Рейтинг: 7761
|
|
Re: "Олимпиадная" задачка на последовательности
[re: ksa]
25.05.2009 10:23
|
|
|
Короче нифига эта последовательность не подходящие дроби к тому пределу, если я в вычислениях и проверках не наврал В Википедии про цепные дроби к тому же написано, что известны цепные дроби (и соответственно формулы для подходящих дробей) для квадратичных иррациональностей, и для некоторых транчцендентных неалгебраических чисел, через них же доказано что дзета(3) неалгебраическое. Для кубических иррациональностей про цепные дроби ничего неизвестно путного, и если бы в этой олимпиадной задаче вылезали подходящие дроби, то это бы на хороший результат тянуло по цепным дробям.
|
|
Список
Плоский
Дерево
