Страницы: 1 | (1)
и отвечаешь как на обычном экзамене
В ответ на:
. Привести премер сходящегося ряда, что ряд из кубов членов последовательности уже не сходится.
Хм. А такой пример есть?
пример - t^n/(n)^(1/3) - где t - любой из корней 3-й степени из единицы (кроме единицы).
Редактировал _Ss_ (09.09.2006 00:32)
я заявил, что буду без доказательства рассказывать для скорости, но если возникнет вопрос, изложу с доказательством (преподавателям надо помочь 3 доп. вопроса задать, положенные по протоколу
); возражений не было; где-то спросили доказать, что-то про лестницу кантора, и что такое циклическая группа (я уже толком не помню, впрочем, как оно было 
)В ответ на:
это единственное, на что я смог ответить.
пример - t^n/(n)^(1/3) - где t - любой из корней 3-й степени из единицы (кроме единицы).
а в вещ. пространстве такой ряд бывает?
a_3n = n^{-1/3}
a_{3n+1} = a_{3n+2} = -n^{-1/3}/2
А можно просто взять вещественную либо мнимую часть того ряда - уж какакя-то точно будет расходящаяся ))
В ответ на:
можно просто взять вещественную либо мнимую часть того ряда
Не так все тривиально - кубы другие будут. Впрочем, вещественную действительно можно - получится как раз ~ твой пример
.у-упс... Об этом уже БЫЛО... сорри.
Ладно, тогда приведу указания к решению некоторых задач.
2. Пространство D(R) финитных бесконечно гладких функций на прямой. Сходимость там равносильна равномерной сходимости всех производных плюс условие, что все функции сосредоточены на общем компакте. Эта сходимость не метризуема, о чем говорит пример О.Г.Смолянова (двухиндексная последовательность функций, что ноль - ее предельная точка, однако, выделить одноиндексную подпоследовательность, сходящуюся к нулю, нельзя. А в метрическом пространстве предельная точка всегда "аппроксимируется" последовательностью).
Можно попробовать построить пример на натуральном ряду, пополненном бесконечно удаленной точкой. Например, окрестностью U_N считаем "хвост" {все n, большие N}. Или что-то в этом духе...
3. Континуальное произведение отрезков [0,1]. Компактно по теореме Тихонова, но не метризуемо (показать!).
4. Рассмотреть сопряженное к пространству ограниченных последовательностей l_inf. В нем содержится прост-во суммируемых последовательностей l_1. Взять в l_1 последовательность базисных векторов {e_n} (на энтом месте 1, остальные координаты - нули). Она из единичного шара, но никуда *-слабо не сходится, так как если взять в качестве функционала f последовательность {1,1,1,1,...} из l_inf, то f(e_n - e_m) = 2 и фундаментальности нет.
5. Достаточно показать для p=1, так как плоская мера круга конечна => применимо неравенство Гельдера и класс L_p входит в L_1. Далее надо вывести теорему "о среднем" для плоской меры на круге: значение голоморфной функции в точке z есть среднее значение по всякому кругу с центром в z (это легко выводится из теоремы о среднем по окружности, если перейти в полярные координаты на круге и сначала интегрировать по окружности, потом - по радиусу). Далее показываем, что из сходимости в L_1 следует также равномерная сходимость на каждом компакте и применяем теорему Веерштрасса: предел - голоморфная функция.
to be continued...
Редактировал Striker (15.09.2006 15:52)
Господа геометры и алгебраисты, просим! Запостите, плиз, пару задачек.