|
apafelak
|
|
(ILYA)
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 21.09.2005
|
|
Сообщений: 16469
|
|
|
|
Рейтинг: 7790
|
|
Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ций
07.02.2014 16:41
|
|
|
Есть компакт в C([0,1], R^n). Объединим графики всех функций из этого компакта, получим компакт в [0,1]xR^n. На что лучше сослаться, чтоб не объяснять?
|
Илюша - самый умный, самый красивый! (c) Гулька |
|
|
Gono
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2011
|
|
Сообщений: 8070
|
|
|
|
Рейтинг: 4988
|
|
Re: Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ц
[re: apafelak]
08.02.2014 01:23
|
|
|
В ответ на:
На что лучше сослаться, чтоб не объяснять?
На то, что непрерывный образ компакта - компакт. Сейчас напишу набросок рассуждения.
|
|
|
|
DaGe
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.02.2004
|
|
Сообщений: 29408
|
|
Из: Месторождение видящих г
|
|
Рейтинг: 15492
|
|
Re: Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ц
[re: Gono]
08.02.2014 01:42
|
|
|
пользуясь случаем спрошу: а правда, что нет определения множества, есть только описание? Сегодня в интернете прочитал.
|
|
|
Gono
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2011
|
|
Сообщений: 8070
|
|
|
|
Рейтинг: 4988
|
|
Re: Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ц
[re: Gono]
08.02.2014 01:45
|
|
|
не, чо-та не осилил я, сорри  сходу не получилось нормального рассуждения, все какие-то переформулировки дурацкие.
моя идея была рассмотреть для наглядности n=1, потом заметить, что график непрерывной на отрезке функции есть компакт, потом рассмотреть метрическое (по метрике Хаусдорфа) пространство компактов на плоскости, потом показать, что отображение, ставящее функции в соответствие ее график, непрерывно, и тогда образ исходного компакта есть компакт в пространстве компактов, но тут-то я и понял, что это только переформулировка, кажется.
|
|
|
|
Gono
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2011
|
|
Сообщений: 8070
|
|
|
|
Рейтинг: 4988
|
|
Re: Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ц
[re: DaGe]
08.02.2014 01:49
|
|
|
В ответ на:
пользуясь случаем спрошу: а правда, что нет определения множества, есть только описание? Сегодня в интернете прочитал.
определение - это придание смысла новому слову, используя слова, смысл которых считается известным. т.е. выражение смысла нового понятия через смыслы базовых.
если множество принять за базовое понятие - то не будет для него определения. зато будут аксиомы, которым должны подчиняться множества. и тогда множества - это все то, что удовлетворяет этим аксиомам.
а если принять за базовое понятие не множество, а что-то другое, тогда для множества вполне может быть определение
|
|
|
|
Misha
|
|
addict
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 29.08.2002
|
|
Сообщений: 600
|
|
|
|
Рейтинг: 63
|
|
Re: Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ц
[re: apafelak]
08.02.2014 05:50
|
|
|
Я бы сказал, "очевидно из свойств равномерно сходящихся последовательностей"
Ниже ""без ограничения общности" означает "можно перейти к подпоследовательности".
Докажем, что у любой последовательности точек (x_n, f_n(x_n)), x\in[0,1], f_n \in F (где F - данное компактное семейство функций), из объединения графиков найдется предельная точка.
Поскольку отрезок компактен, то у аргументов есть предельная точка x'. Без ограничения общности считаем, что x_n-> x'. Опять без ограничения общности считаем, что f_n -> f' \in F (поскольку F - компакт). Из свойств равномерной сходимости получаем (x_n, f_n(x_n)) -> (x', f'(x') ) \in [0,1] \times F([0,1]]) .
|
|
|
apafelak
|
|
(ILYA)
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 21.09.2005
|
|
Сообщений: 16469
|
|
|
|
Рейтинг: 7790
|
|
Re: Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ц
[re: Misha]
08.02.2014 08:22
|
|
|
рассуждение простое, ага, но расписывать не хотелось, а "очевидно" тоже не всем.
но у тебя вроде и компактненько так получилсь, наверно буду писать. спасибо)
|
Илюша - самый умный, самый красивый! (c) Гулька |
|
|
apafelak
|
|
(ILYA)
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 21.09.2005
|
|
Сообщений: 16469
|
|
|
|
Рейтинг: 7790
|
|
Re: Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ц
[re: Gono]
08.02.2014 08:41
|
|
|
есть теорема про замкнутость множества, полученного объединением (в подстилающем пространстве) бикомпактов из бикомпактного по метрике Хаусдорфа семейства (бикомпактного множества в гиперпространстве бикомпактов). даже не по метрике Хаусдорфа, а в топологии Виеториса (эту топологию как раз порождает метрика Хаусдорфа, если подстилающее пространство метрическое). т.е. все работает даже в случае, если метрики Хаусдорфа нет. от подстилающего пространства метризуемость не требуется, нужна только регулярность.
но не хочется на ровном месте так материться. хотя теорема тоже не сложная)
|
Илюша - самый умный, самый красивый! (c) Гулька |
|
|
Gono
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2011
|
|
Сообщений: 8070
|
|
|
|
Рейтинг: 4988
|
|
Re: Компактность множества, состоящего из точек графиков семейства ф-ц
[re: apafelak]
08.02.2014 11:41
|
|
|
можно тогда привести два доказательства таким образом:
Замкнутость следует из теоремы (ссылка на учебник), ограниченность компактного семейства следует из его вполне ограниченности. значит, объединение графиков замкнуто и ограниченно в [0,1]xR^n, и поэтому компактно.
впрочем, можно компактность объединения графиков показать и без отсылки к теореме (ссылка на учебник). В самом деле, [далее рассуждение, которое привел Misha]
|
|
|
Список
Плоский
Дерево
