Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.dubinushka.ru/upload/news/probl.pdf Дата изменения: Mon Mar 1 14:00:21 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:56:14 2012 Кодировка: Windows-1251

ЗАДАЧИ ПО КУРСУ "МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД" (5 курс 1 поток)
1. Определить силу, с которой несжимаемая жидкость действует на погруженное в нее неподвижное тело (закон Архимеда). 2. Найти соотношение между скоростями и давлениями при стационарном течении несжимаемой идеальной жидкости в горизонтально расположенной трубке переменного сечения. 3. Доказать, что в отсутствие объемных сил при установившемся движении сила, действующая на данный объем идеальной жидкости, равна потоку импульса через его поверхность. 4. Доказать, что в отсутствие объемных сил при установившемся движении момент сил, действующих на данный объем идеальной жидкости, равен потоку момента импульса через его поверхность. 5. Косой удар струи: определить силу и момент, с которой струя идеальной несжимаемой жидкости действует на плоскую пластинку. Угол падения струи , плотность жидкости , начальная скорость струи v0 , внешнее давление p0 , движение плоское. 4. Открытый тяжелый колпак в виде усеченного кругового конуса с углом при основании и радиусом основания R стоит на горизонтальной плоскости. Каков должен быть вес колпака G, чтобы он смог удержать воду, налитую внутрь него до высоты H ? Всюду вне колпака давление атмосферное. 6. Простейшим способом определения глубины покоящейся жидкости в сосуде является опускание до его дна плоской линейки и измерение длины ее смоченной части. Определить относительную погрешность при этом способе измерения. Угол смачивания считать известным. 7. Найти значения температуры, плотности и давления в критической точке неподвижного тела (точке на поверхности обтекаемого тела, где скорость потока равна нулю), помещенного в стационарный поток идеального сжимаемого газа. Скорость, плотность и температура на бесконечности равны v , , T . 8. Cтационарный поток идеального газа, скорость которого на бесконечности равна v , обтекает неподвижное тело. В некоторой точке на поверхности обтекаемого 1


тела, где скорость потока равна нулю, плотность и температура газа равны соответственно 0 и T0 . Найти значения температуры, плотности и давления на бесконечности. 9. Написать уравнение механического равновесия газообразной звезды плотности

, части которой удерживаются силами гравитационного притяжения. Учесть, что
гравитационный потенциал U удовлетворяет уравнению Пуассона U = -4 G, где

G - грвитационная постоянная. Найти распределение давления в звезде и ее радиус,
если масса звезды равна M , а уравнение состояния имеет вид: а) = 0 = const б)

p = C

1/2

. Давление в центре звезды считать конечным, вне звезды - равным нулю.

10. Пусть имеется закрытый покоящийся сосуд, целиком заполненный неоднородной ( = const) идеальной несжимаемой жидкостью. Жидкость находится в равновесии в поле тяжести. Показать, что, если начать двигать сосуд горизонтально с ускорением, в сосуде возникнет непотенциальное движение жидкости относительно его стенок. Рассмотреть также случай однородной жидкости. 11. Показателем времени в водяных часах служит высота уровня в верхнем сосуде, которая должна уменьшатся равномерно с постоянной скоростью. Определить форму сосуда, употребляемую для водяных часов. 12. Из идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса a0 . Получить уравнение, определяющее закон движения границы полости. Определить время, в течение которого образовавшаяся полость заполнится жидкостью. Плотность жидкости и ненулевое давление на бесконечности считать известным. 13. Найти распределение скорости идеальной жидкости вокруг шара радиуса R, центр которого движется со скоростью u(t) в первоначально покоившейся идеальной несжимаемой жидкости. 14. Найти силу сопротивления, действующую на шар радиуса R в идеальной несжимаемой жидкости плотности , если центр шара движется со скоростью u(t) =

u0 cos( t).
15. Шар радиуса R и массы M совершает одномерные колебания в идеальной несжимаемой жидкости плотности под действием пружины жесткости k . Найти 2


частоту колебаний. 16. Частота колебаний тяжелого шарика (плотность материала 0 ), соединенного с пружиной, в воздухе равна 0 . Как изменится эта частота, если осциллятор поместить в идеальную жидкость с плотностью 1 . 17. Определить период колебаний математического маятника (маленькая сфера из материала с плотностью 1 на нити длиной l), помещенного в идеальную несжимаемую жидкость с плотностью 0 < 1 . 18. Найти подъемную силу, действующую на единицу длины цилиндра радиуса R, движущегося со скоростью u(t) в первоначально покоившейся идеальной несжимаемой жидкости плотности , если циркуляция скорости по контуру, охватывающему цилиндр, равна . Течение плоское. 19. Найти закон дисперсии гравитационных волн, распространяющихся в несжимаемой идеальной жидкости плотности , находящейся в бассейне глубины h. Ускорение свободного падения g . 20. Определить закон дисперсии гравитационных волн, распространяющихся вдоль границы раздела двух идеальных несжимаемых жидкостей, имеющих плотности 1 и 2 и находящихся в поле тяжести g . 21. Вычислить энергию и импульс монохроматической гравитационной волны

(x, t) = 0 cos( t - k x) на свободной поверхности глубокой жидкости.
22. По поверхности жидкости распространяется квазимонохроматический пакет гравитационных поверхностных волн, содержащий N (N плавок при прохождении этого волнового пакета? 23. При возмущении поверхности находящейся в поле тяжести жидкости точечным источником от места возмущения начинают расходиться в виде кругов гравитационные волны, заполняющие краг радиусом R(t). Найти R(t). 24. Найти интенсивность звуковых волн, излучаемых шаром в идеальной жидкости, если радиус шара меняется со временем по закону R(t) = R0 + a cos( t). Плотность покоящейся жидкости , скорость звука в ней c, причем a

1) горбов и впадин.

Сколько колебаний вверх-вниз совершит находящийся на поверхности легкий по-

R0

c/ .

25. Найти интенсивность звуковых волн, излучаемых шаром радиуса R в идеаль3


ной жидкости, если центр шара движется со скоростью u(t) = u0 cos( t). Плотность покоящейся жидкости , скорость звука в ней c, причем |u0 |/

R

c/ .

26. Найти частоты собственных колебаний идеального газа с постоянной теплоемкостью, помещенного в замкнутый цилиндр, расположенный вертикально в поле тяжести g . Длина цилиндра L, газ движется параллельно оси цилиндра. Молярная масса газа ч, показатель адиабаты , температура равновесного газа T0 . 27. Найти частоты собственных изотермических колебаний идеального газа, помещенного в замкнутый цилиндр, расположенный вертикально в поле тяжести g . Длина цилиндра L, газ движется параллельно оси цилиндра. Молярная масса газа

ч, температура T .
28. Найти декремент затухания малых радиальных колебаний пузыря воздуха в идеальной неограниченной жидкости плотности , связанный с излучением пузырем звуковых волн. В состоянии покоя радиус пузыря R0 , давление в жидкости p0 . Воздух считать идеальным газом с постоянной теплоемкостью (показатель адиабаты ), а его распределение в пузыре однородным. Скорость звука в жидкости c, причем c
2

p0 /.
29. Большой бак с идеальной жидкостью с плотностью 0 совершает колебания с амплитудой A. Внутри бака находится маленький шарик из материала с плотностью

1 . Найти амплитуду колебаний шарика. Внешние силы отсутствуют.
30. Монохроматическая звуковая волна, распространяющаяся в жидкости с плотностью 1 со скоростью c1 , отражается по нормали от границы раздела с другой жидкостью, имеющей плотность 2 и скорость звука c2 . Найти среднее давление на единицу площади границы, если средняя плотность потока энергии в падающей волне равна q1 . 31. Монохроматическая звуковая волна, распространяющаяся в жидкости с плотностью 1 со скоростью c1 , отражается по нормали от границы раздела с другой жидкостью, имеющей плотность 2 и скорость звука c2 . Найти среднее давление на единицу площади границы, если средняя плотность потока энергии в падающей волне равна q1 . 32. Найти поля давления и скорости при стационарном движении несжимаемой 4


вязкой жидкости между параллельными плоскостями, одна из которых неподвижна, а другая движется со скоростью V . Расстояние между плоскостями d, объемные силы отсутствуют. 33. То же, если плоскости неподвижны и при наличии постоянного перепада давления p. 34. Несжимаемая вязкая жидкость течет по цилиндрической трубе радиуса R. Считая, что поток стационарен, перепад давления задан и объемные силы отсутствуют, найти поля давления, скорости и касательную составляющую силы, приложенной к единице длины трубы. 35. Найти силу, с которой стационарный поток несжимаемой вязкой жидкости действует на неподвижную сферу радиуса R. Скорость потока на бесконечности V , число Рейнольдса мало. 36. Вязкая несжимаемая жидкость плотности заполняет полупространство, ограниченное плоской бесконечной пластиной. Определить движение жидкости, если пластина колеблется в своей плоскости со скоростью u(t) = u0 cos( t). Кинематическая вязкость жидкости . Найти среднюю энергию, диссипируемую в единицу времени на единицу площади поверхности. 37. Покоящаяся вязкая несжимаемая жидкость заполняет полупространство, ограниченное плоской бесконечной пластиной. Определить движение жидкости, если в некоторый момент времени пластина начинает двигаться в своей плоскости с постоянной скоростью u. Кинематическая вязкость жидкости . Найти силу сопротивления, действующую на единицу площади поверхности пластины. 38. Найти среднюю энергию, диссипируемую в единицу времени при движении шара радиуса R в вязкой несжимаемой жидкости плотности , если центр шара движется со скоростью u(t) = u0 cos( t), причем / вязкость жидкости. 39. На слое вязкой жидкости толщиной h плавает пластина, масса единицы площади которой ч. Дно кюветы совершает малые колебания в своей плоскости с амплитудой A частотой . Найти амплитуду колебаний пластины. 40. Найти силу трения, действующую на шар радиуса R в вязкой несжимаемой 5

R2 , где есть кинематическая


жидкости плотности , если центр шара движется со скоростью u(t) = u0 cos( t), причем /

R2 , где есть кинематическая вязкость жидкости.

41. Бесконечный цилиндр радиуса R вращается в вязкой несжимаемой жидкости плотности с постоянной угловой скоростью . Найти момент силы трения, действующий на единицу длины цилиндра. Динамическая вязкость жидкости . 42. Найти декремент затухания гравитационных волн длины , распространяющихся в бесконечно глубокой несжимаемой жидкости вязкости . 43. Определить распределение температуры при установившемся пуазейлевом течении вязкой жидкости в трубе радиуса R и длины L

R, если ее поверхность

поддерживается при постоянной температуре T0 . Динамическая вязкость жидкости

и ее теплопроводность не зависят от температуры. Разность давлений на концах
трубы p. 44. Определить распределение температуры при установившемся пуазейлевом течении вязкой жидкости в трубе радиуса R и длины L давлений на концах трубы p. 45. Бесконечный цилиндр радиуса R вращается в вязкой несжимаемой жидкости плотности с постоянной угловой скоростью . Определить установившееся распределение температуры в жидкости, если поверхность цилиндра поддерживается при постоянной температуре T0 . Динамическая вязкость жидкости и ее теплопроводность не зависят от температуры. 46. Найти установившуюся скорость всплывания невесомого цилиндра радиуса R и длины L

R,, температура которой

T (R, x) = T0 x. Динамическая вязкость жидкости , ее теплопроводность , разность

R в соосном с ним цилиндрическом колодце, расположенном вертиR, кинематическая вязкость жидкости .

кально в поле тяжести g и заполненном несжимаемой вязкой жидкостью плотности

. Радиус колодца равен R + h, h

47. Найти частоту и декремент малых радиальных колебаний пузыря воздуха в несжимаемой неограниченной жидкости с плотностью и кинематической вязкостью

. Средний радиус пузыря R0 , давление в жидкости на бесконечности p0 . Воздух
считать идеальным газом с постоянной теплоемкостью (показатель адиабаты ), а его распределение в пузыре однородным. 6


48. В слое вязкой жидкости, толщина которого h, плавает пластина, масса единицы площади которой равна ч. Дно совершает колебания в своей плоскости с амплитудой A и частотой . Найти амплитуду колебаний пластины. 49. Определить частоту и декремент затухания малых радиальных колебаний пузырька газа радиусом R (показатель адиабаты ), находящегося в вязкой несжимаемой жидкости с давлением p0 , плотностью 0 и вязкостью . 50. Плоское дно бесконечно глубокой вязкой жидкости приводится в движение со скоростью v = v0 cos t. Найти среднюю мощность, необходимую для поддержания этих колебаний. Плотность жидкости , кинематическая вязкость . 51. Найти декремент затухания звуковых волн в идеальном газе при учете теплопроводности. Молекулярный вес газа ч, показатель адиабаты , коэффициент теплопроводности . 52. В точке M неограниченного пространства, заполненного покоящейся жидкостью, происходит взрыв - мгновенно выделяется и передается жидкости кинетическая энергия E0 . Определить возникшее движение жидкости, считая ее линейновязкой. Сжимаемостью жидкости, силой тяжести и величиной давления на больших растояниях от точки M пренебречь. 53. Два круглых соосно расположенных диска одинакового радиуса R погружены в вязкую жидкость и медленно сближаются с относительной скоростью 2u. Определить испытываемое дисками сопротивление, когда расстояние 2h между ними мало. 54. Оценить порядок величины изменения скорости элемента турбулентной жидкости за время много меньшее характерного времени движения жидкости L/V . 55. Найти закон изменения расстояния между двумя близкими элементами жидкости при их турбулентном движении. 56. В трубе радиуса R и длиной L стационарное течение несжимаемой жидкости с плотностью и вязкостью создается перепадом давления p . Найти расход жидкости в трубе при малых, когда течение ламинарно, и при больших, т.е. в режиме развитой турбулентности, перепадах давления. 57. Дать оценку пространственного масштаба движений, в которых происходит вязкая диссипация энергии, для основного сечения трубы в рассмотренном в преды7


дущей задаче турбулентном режиме. 58. Оценить поток тепла в нагреваемой снизу жидкости, когда число Рэлея R значительно превышает пороговое значение Rкр .

8