Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.dmvn.mexmat.net/content/de/ode-ilyashenko.pdf Дата изменения: Fri Jun 18 23:52:41 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:35:18 2012 Кодировка:

: . . , . . III­IV , 2003­2004 , 2001­2009 .

1.
1.1.
. . 1. . . 2. . . 3. . . 4. . . . 1.1.1. 1. . 2. , . . 3. ( ). 4. . . ­ . 1.1.2. 1. . 2. . .

1.2.
1.2.1. 1. . . 2. . . . . 1.2.2. 1. 2. . 3. . . (). . . . . .

1.2.3. . 1. . 2. . . . . . 1.2.4. 1. . . . 2. . . 1


2.
, , : 9 3 14 4 20 5

1. 5 25 . , 1 2 , . , .

3. 2001 .
3.1. 1
1. (4): x = x2 - y 2 , y = 2xy . (1)

2. (1+1+1): (1). (1). . 3. (4): (1). 4. (5): (1) (0, 0)? 5. (4): (1) (1, 1). 6. (2+2): (1, 1) (x2 - y 2 ) : ) u|x
=1

u u + 2xy =0 x y

7. (5+3): (1) t , . , . 8. (3): ­ . 9. (7): . 10. (8): .

= y , ) u|y

=1

= x?

3.2. 2
11. (4): x = y, y = x - x2 . (2)

12. (1+1+3): (2). (2). . 13. (5): (2). 14. (2): (2) (0, 0)? 15. (2+2): (1, 1) y
1

u u + (x - x2 ) =0 x y

, 4 .

2


: ) u|x

=1

16. (2): x

= y , ) u|y

=1

= x?

(6)

+ 64x = 0. x(6) + 64x = e
3t

17. (5): , sin t

, . 18. (3): ; . 19. (9): .

4. 29 2001 .
4.1. 1
1. (4): x = sin x, y = sin y . 2. (5): (1) [0, ] в [0, ]. 4. (5): (1) 5. (2): x
(6) 2

(1)

3. (3): (1), . ,
2

.

6. (4):

- 64x = 0. x(4) + 4x = e
-t

c o s t.

. . . 7. (3): .

4.2. 2
8. (4): x = 1, y = -y + sin x. 9. (5): (2). 10. (4): a y = -ay + sin x x ? 11. (5): y = 1, u u + (-y + sin x) =0 x y . 12. (3): x = sin y , y = -y + sin x. 13. (2): eAt , A = 1 0 2 . 1 (2)

14. (3): . 3


5. 2002 .
5.1. 1
1. (2+3): dy 2xy =2 dx y - x2

. 2. (1+2+3):

x = y 2 - x2 , y = 2xy .

(1)

(1) (0, 0). (1). (0, 0) (1). 3. (2): (1) . ; , , . 4. (2+3): x = 3 x - 5 z , y = 5z - 3x, z = 5x - 3z . 5. (4): x = 3x - 5y - 16, y = 5x - 3y . 6. (4): . 7. (5): . 8. (9): x(t) | t R 31 5- 5 x=- Ё x x(0) = , 12 0

x(0) =

0 . 0

5.2. 2
9. (2): x = sin x, y = 1 - y2. 10. (3+2): (2) . 11. (6): (2) , . 12. (3): x = x - x3 . Ё u u + (x - x3 ) = 0, x y = x2 13. (6): y = 1, y . 14. (4): x(4) + 4x = et sin t. . . 4 u|y
=1

(2)


15. (5): . 16. (9): . . , .

5.3. 3
17. (3): x - x + 2 5 x = co s t Ё , . 18. (3): (3) . 19. (4): x = (x - 1) . > 0 , (t, x) = (0, 1), ? 20. (4): x = x2 + y 2 - 25; y = xy - 12, . 21. (3): . 22. (4): y = 3, (x2 + y 2 - 25) u u + (xy - 12) = 0, x y u|y
=3

(3)

= f (x)

f (x).

5.4. 4
23. (4): x = y, 1 y = sin x + 2 . 24. (3): (4) . 25. (3): x = -y + sin t, y = x. ? 26. (4): (5) = 2. 27. (3): . 28. (4): , : = 1, r = 1 - r. . (5) (4)

5


6. 30 2002 .
6.1. 1
1. x = -y , y = x. 2. a, x = -ax, y = (a - 1) sin y . 3. ) (0, 1) ) (1, 0) (1 + x2 ) u u - 2xy =0 x y

, x2 + y 2 = 1, ? 4. u|x 5.
2

+y 2 =1

= y |x

2

+y 2 =1

) ).

x = x2 , y = ey R2 (1, 1). 6. µ µ = 0 x = sin x - y + µ sin t, y = x - ln(1 - y ) x(0) = cos µ - 1, y (0) = sin µ.

7. x = y, y = x - x3 . 8. (1) . 9. . (1)

6.2. 2
10. x = 2y , y = - 1 x. 2 11. a, x = a tg x, y = -(1 + a)y . 12. ) (0, 1) ) (1, 0) (x2 - y 2 ) · ux + 2xy · uy = 0 6


, x2 + y 2 = 1 ? 14. 13. u|x
2

+y 2 =1

= y |x

2

+y 2 =1

) ).

x = sin x, y = y3 R2
2

,1 .

15. µ µ = 0 x = x2 + y - µ sin t, y = sin x + y 3 x(0) = 1 - cos µ, y (0) = sin µ.

16. x = y, y = x2 - 1. 17. (2), . 18. ­ . (2)

6.3. 3
19. , t = 0 (0, 1): x = y, y = -4x + 4y . 20. x = y, y = x2 - 1. 21. ) (0, 1) ) (1, 0) x2 u u + (y + 1)x =0 x y

, x2 + y 2 = 1 ? 22. u|x 23. x = y, y = y2 (1, 1). 24. µ µ = 0 x = co s x - 1 + y , y = x + ey - 1 + µe
t
2

+y 2 =1

= y |x

2

+y 2 =1

) ).



x(0) = cos µ - 1, y (0) = sin µ.

25. x = -x(y + 1), y = x2 - y . 26. (3), . 27. . 7 (3)


7. 2003 .
7.1. 1
7.1.1. 1. (2): x = y, y = 1 - x2 . 2. (3): x = y, y = 1 - x2 - y , . 3. (5): (2). 4. (4): (1) (2, 0). 5. 1 (3): (2) (0, 1). 2 (6): x a = 0 (1) c a x(0) = 2, y (0) = a. 7.1.2. 6. (3): x(6) + 64x = sin 2t. . 7. (4): x(6) + 64x = sin t. , ? 8. (6): f (x) = sin2 x + cos
2003

(1)

(2)

x. lim 1 n
n-1 k =0

n

f (k ).

9. (3): . ­ . 10. (6): 2 14.

7.2. 2
7.2.1. 11. (2): 2 - x = 2x + sin t. 12. (3): (3) . 13. (2+3): m N m- x = Ax, x(0) = x0 , 8 (3)


A : Rn Rn , x Rn . At e t. 14. (6): (t, x) x1 x 2 x3 = -2 sin x1 + 3 sin x3 , = -2 sin x2 + sin x3 , = -2 sin x3 + sin2 x2 (t, x) x

(4)

(0, x) = x.

X (t) =

(5)
x =0

15. (5+4): p ( 14) = ...
-n

. . . 0 . . . n . . . ,

(6)

n = 1 |n| > 5. p . ? 7.2.2. 16. (3): x = x + x2 , y = -y . (7)

17. (6): (7), . 18. (5): (x + x2 ) 2 - 1, 2 - 2 . u u -y = 0, x y u|x
+y =1

=x

19. (3): . 20. (4): , ?

8. 14 2004 .
8.1. 1
8.1.1. 1. (4): x = 1, y = -y + sin x. 2. (3+1): (1). ? 3. (2+1): (1) (0, 0). . 4. (5): 2 - x = - ax + a. 5. (5): . 9 sin t ? 2 + sin t (1)


8.1.2. 6. a+1 2 2 A(a) = 2a 1 1 1 0 , 1 x = A(a)x. (2)

1 (6+1): a (2) ? ? 2 (4): (2) a = 4 x(0) = (4, 0, 4). 7. (5): 0 (2) a = -5. 8. (6+2): , 3 a. , a = 1 9 1 E= n, n + 2004 ? a = 1 ? 8
nZ

8.2. 2
8.2.1. 9. (2): x = 1 + a2 x2 , a R, x R. (3)

10. (5): a b x = 1 + a2 x2 + bx4 ? . 11. (2+1): (3) a = 2 . . 12. (5): x = y, y = f (x) , f C1 ?

13. (5): . . 8.2.2. 14. 1 (3): 01 A = 0 0 00 2 . 0 (4)

2 (5+1): Pn n,
n

p(x) =
k =0

(ak sin k x + bk cos k x),

ak , b k R.

(5)

? 15. 1 (4): 0 x = Ax, A 2 (6): 0 p = p, p Pn ? (4).

16. (1+7): 14? ? 10


9. 28 2004 .
9.1. 1
1. (2+2+2): x = x - x2 , y = y2. , . 2. (2+2+1): x = y, y = x(x - 1)(x - 2). (2) (1)

. , ? ? 3. (4): x(4) + 5x + 6x = sin t ? Ё 4. (5): , . .

10. 4 2009 .
10.1. 1
10.1.1. 1. (3): x = y, y = 5x + x2 2. (3): ux y + uy (5x + x2 ) = 0. 3. (4): (2) u|y sin x, y 1? 4. (4): (1) . 5. (6): (1) x = y, y = 5x + x2 - 0.1y (3). 10.1.2. 6. (5): . 7. (5): x y z = x + y, = y + 2z , =z (4) ? (3) (2)
=1

(1)

=

8. (4): = 0 x = x2 + y 2 + t sin t, y = 2xy + 2 sin t t x(0) = y (0) = 0. 9. (6): ( 1 , 3 ) 6 2009 . 44 11 (5)


10.2. 2
10.2.1. 10. (3): x = 2x + y , y = -x + 2y 11. (4): x = sin(2x + y ), y = sin(-x + 2y ) . 12. (3+2): x - 4x + 5x = e2t sin t. Ё ) . ) . 13. (4): 0 (7). 14. (4): (6) (1, 1). 10.2.2. 15. (5): . . 16. (4): x = x2 (1 - x)2 , y=y (9) (8) (7) (6)

17. (5): , (9), , ? 18. (6): x = -y , Ё y = 2x - 3y Ё x(0) = 1, y (0) = 0, x(0) = y (0) = 0.
: 18 2010 . http://dmvn.mexmat.net, http://dmvn.mexmat.ru. dmvn@mccme.ru.

(10)

12