ПО МАТЕМАТИКЕ
Общие указания
Настоящая программа состоит из трех разделов.
В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном, так и на устном экзамене.
Второй раздел представляет собой перечень вопросов теоретической части устного экзамена. При подготовке к письменному экзамену целесообразно познакомиться с формулировками утверждений этого раздела.
В третьем разделе указано, какие навыки и умения требуются от поступающего на письменном и устном экзаменах.
Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе, соответствуют курсу математики средней школы. Поступающий может пользоваться всем арсеналом средств из этого курса, включая и начала анализа. Однако для решения экзаменационных задач достаточно уверенного владения лишь теми понятиями и их свойствами, которые перечислены в настоящей программе. Объекты и факты, не изучаемые в общеобразовательной школе, также могут использоваться поступающими, но при условии, что он способен их пояснять и доказывать.
В связи с обилием учебников и регулярным их переизданием отдельные утверждения второго раздела могут в некоторых учебниках называться иначе, чем в программе, или формулироваться в виде задач, или вовсе отсутствовать. Такие случаи не освобождают поступающего от необходимости знать эти утверждения.
I. Основные понятия
- Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа. Наибольший
общий делитель и наименьшее общее кратное.
- Целые, рациональные и действительные числа. Проценты. Модуль числа,
степень, корень, арифметический корень, логарифм. Синус, косинус, тангенс,
котангенс числа (угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
- Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества.
- Функция, ее область определения и область значений. Возрастание,
убывание, периодичность, четность, нечетность. Наибольшее и наименьшее
значения функции. График функции.
- Линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая,
тригонометрические функции.
- Уравнение, неравенства, система. Решения (корни) уравнения,
неравенства, системы. Равносильность.
- Арифметическая и геометрическая прогрессии.
- Прямая на плоскости. Луч, отрезок, ломаная, угол.
- Треугольник. Медиана, биссектриса, высота.
- Выпуклый многоугольник. Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб,
трапеция. Правильный многоугольник. Диагональ.
- Окружность и круг. Радиус, хорда, диаметр, касательная, секущая. Дуга
окружности и круговой сектор. Центральный и вписанные углы.
- Прямая и плоскость в пространстве. Двугранный угол.
- Многогранник. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.
- Цилиндр, конус, шар, сфера.
- Равенство и подобие фигур. Симметрия.
- Параллельность и перпендикулярность прямых, плоскостей.
Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
- Касание. Вписанные и описанные фигуры на плоскости и в пространстве.
Сечение фигуры плоскостью.
- Величина угла. Длина отрезка, окружности и дуги окружности. Площадь
многоугольника, круга и кругового сектора. Площадь поверхности и объем
многогранника, цилиндра, конуса, шара.
- Координатная прямая. Числовые промежутки. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Векторы.
II. Содержание теоретической части устного экзамена
Алгебра
- Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
- Свойства числовых неравенств.
- Формулы сокращенного умножения.
- Свойства линейной функции и ее график.
- Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного
трехчлена на линейные множители. Теорема Виета.
- Свойства квадратичной функции и ее график.
- Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее
геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел.
- Формулы общего члена и суммы n первых чисел членов
арифметической прогрессии.
- Формулы общего члена и суммы n первых членов геометрической
прогрессии.
- Свойства степеней с натуральными и целыми показателями. Свойства
арифметических корней n-й степени. Свойства степеней с рациональными
показателями.
- Свойства степенной функции с целым показателем и ее график.
- Свойства показательной функции и ее график.
- Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени,
частного. Формула перехода к новому основанию.
- Свойства логарифмической функции и ее график.
- Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между
тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы приведения,
сложения, двойного и половинного аргумента, суммы и разности
тригонометрических функций. Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного аргумента. Преобразование произведения синусов и косинусов в
сумму. Преобразование выражения
asin x + bcos x с помощью вспомогательного аргумента. - Формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
- Свойства тригонометрических функций и их графики.
Геометрия
- Теоремы о параллельных прямых на плоскости.
- Свойства вертикальных и смежных углов.
- Свойства равнобедренного треугольника.
- Признаки равенства треугольников.
- Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Теорема о внешнем угле
треугольника. Свойства средней линии треугольника.
- Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников.
- Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников.
Пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
- Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство биссектрисы
угла.
- Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис и пересечении
высот треугольника.
- Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника делит
противоположную сторону.
- Свойство касательной к окружности. Равенство касательных, проведенных
из одной точки к окружности. Теоремы о вписанных углах. Теорема об угле,
образованном касательной и хордой. Теоремы об угле между двумя пересекающимися
хордами и об угле между двумя секущими, выходящими из одной точки. Равенство
произведений отрезков двух пересекающихся хорд. Равенство квадрата касательной
произведению секущей на ее внешнюю часть.
- Свойство четырехугольника, вписанного в окружность. Свойство
четырехугольника, описанного около окружности.
- Теорема об окружности, вписанной в треугольник. Теорема об
окружности, описанной около треугольника.
- Теоремы синусов и косинусов для треугольника.
- Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.
- Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.
- Свойства средней линии трапеции.
- Формула для вычисления расстояния между двумя точками на координатной
плоскости. Уравнение окружности.
- Теоремы о параллельных прямых в пространстве. Признак параллельности
прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей.
- Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.
III. Требования к поступающему
На экзамене по математике поступающий должен уметь:
- выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми
выражениями; преобразовывать буквенные выражения; производить операции над
векторами (сложение, умножение на число, скалярное произведение); переводить
одни единицы измерения величин в другие;
- сравнивать числа и находить их приближенные значения (без
калькулятора); доказывать тождества и неравенства для буквенных выражений;
- решать уравнения, неравенства, системы (в том числе с параметрами) и
исследовать их решения;
- исследовать функции; строить графики функций и множества точек на
координатной плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;
- изображать геометрические фигуры на чертеже; делать дополнительные
построения; строить сечения; исследовать взаимное расположение фигур;
применять признаки равенства, подобия фигур и их принадлежности к тому или
иному виду;
- пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их графиков,
свойствами арифметической и геометрической прогрессий;
- пользоваться свойствами геометрических фигур, их характерных точек,
линий и частей, свойствами равенства, подобия и взаимного расположения фигур;
- пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени,
корни, логарифмические, тригонометрические выражения, величины углов, длины,
площади, объемы;
- составлять уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя
из условия задачи;
- излагать и оформлять решение логически правильно, полно и последовательно, с необходимыми пояснениями.
На устном экзамене поступающий должен дополнительно уметь:
- давать определения, формулировать и доказывать утверждения (формулы,
соотношения, теоремы, признаки, свойства и т.п.), указанные во
втором разделе настоящей программы;
- анализировать формулировки утверждений и их доказательства;
- решать задачи на построение циркулем, линейкой; находить геометрические места точек.
