бЮПХЮМРШ БЯРСОХРЕКЭМШУ ЩЙГЮЛЕМНБ
ОН ЛЮРЕЛЮРХЙЕ

гЮДЮВХ СЯРМНЦН ЩЙГЮЛЕМЮ ОН ЛЮРЕЛЮРХЙЕ МЮ ТЮЙСКЭРЕР блХй Б ОПЕДШДСЫХЕ ЦНДШ

бЮПХЮМР 1999 ЦНДЮ:

1. дНЙЮГЮРЭ, ВРН ВХЯКН n³ - n + 3 ЯНЯРЮБМНЕ ДКЪ КЧАНЦН МЮРСПЮКЭМНЦН n > 1.
2. жЕКНЕ ВХЯКН ЙПЮРМН 7 Х ОПХ ДЕКЕМХХ МЮ 4 ДЮЕР Б НЯРЮРЙЕ 3. мЮИРХ НЯРЮРНЙ НР ДЕКЕМХЪ ЩРНЦН ВХЯКЮ МЮ 28.
3. дНЙЮГЮРЭ, ВРН ЕЯКХ a + b + c ДЕКХРЯЪ МЮЖЕКН МЮ 6, РН Х a³ + b³ + c³ ДЕКХРЯЪ МЮЖЕКН МЮ 6 (a, b, c - ЖЕКШЕ ВХЯКЮ).
4. пЕЬХРЭ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ СПЮБМЕМХЕ 9 ^x = 4y + 1.
5. яПЮБМХРЭ ВХЯКЮ a Х b, ЕЯКХ ХГБЕЯРМН, ВРН 5 (a - 1) = a² + b.
6. хЛЕЕР КХ ЯЛШЯК БШПЮФЕМХЕ?
   
7. хГНАПЮГХРЭ МЮ ОКНЯЙНЯРХ ЦЕНЛЕРПХВЕЯЙНЕ ЛЕЯРН РНВЕЙ, СДНБКЕРБНПЪЧЫХУ ПЮБЕМЯРБС |y - x| + |y - x²| = 2.
8. оНЯРПНХРЭ ЦПЮТХЙ ТСМЙЖХХ y(x) = arcsin (|sin x|).
9. пЕЬХРЭ СПЮБМЕМХЕ sin x ·sin 3x = 2 cos ²x - cos 2x.
10. пЕЬХРЭ СПЮБМЕМХЕ
    .
11. оПХ ЙЮЙХУ a СПЮБМЕМХЕ sin x + cos x + sin x ·cos x = a ХЛЕЕР ПЕЬЕМХЪ?
12. мЮИРХ МЮХАНКЭЬЕЕ Х МЮХЛЕМЭЬЕЕ ГМЮВЕМХЕ ТСМЙЖХХ f(x) = arcsin x ·arccos x + 1.
13. пЕЬХРЭ МЕПЮБЕМЯРБН
    .
14. б РПЕСЦНКЭМХЙЕ БЯЕ РПХ БШЯНРШ ЛЕМЭЬЕ 1. дНЙЮГЮРЭ, ВРН ПЮДХСЯ БОХЯЮММНИ НЙПСФМНЯРХ ЛЕМЭЬЕ 1/3.
15. дНЙЮГЮРЭ, ВРН Б КЧАНЛ РПЕСЦНКЭМХЙЕ ЯСЛЛЮ ДКХМ БЯЕУ РПЕУ ЛЕДХЮМ ЛЕМЭЬЕ ОЕПХЛЕРПЮ РПЕСЦНКЭМХЙЮ, МН АНКЭЬЕ 3/4 ОЕПХЛЕРПЮ РПЕСЦНКЭМХЙЮ.
16. б РПЕСЦНКЭМХЙЕ юбя ОПНБЕДЕМШ БШЯНРЮ яй Х ЛЕДХЮМЮ ял. хГБЕЯРМН, ВРН Ðюяй = Ðбял Х Ðйял ≠ 0. мЮИРХ БЕКХВХМС СЦКЮ юяб.
17. оНЯРПНХРЭ ОЮПЮККЕКНЦПЮЛЛ ОН ДХЮЦНМЮКЪЛ Х СЦКС ОЮПЮКЕККНЦПЮЛЛЮ.
18. оНЯРПНХРЭ РПЕСЦНКЭМХЙ ОН ДБСЛ СЦКЮЛ Х АХЯЯЕЙРПХЯЕ РПЕРЭЕЦН СЦКЮ.

бЮПХЮМР 2000 ЦНДЮ:

1. пЕЬХРЭ Б ЖЕКШУ ВХЯКЮУ СПЮБМЕМХЕ x² = 2 (xy - y² - y).
2. бШВХЯКХРЭ
   
3. вРН АНКЭЬЕ: lg 7 · lg 13 ХКХ 1 ?
4. бШВХЯКХРЭ sin α, ЕЯКХ ХГБЕЯРМН, ВРН sin (α/2) + cos (α/2) = 1,4.
5. мЮИРХ НАКЮЯРЭ ГМЮВЕМХИ ТСМЙЖХХ f(x) = sin (cos (cos x²)).
6. мЮИРХ МЮХАНКЭЬЕЕ ГМЮВЕМХЕ БШПЮФЕМХЪ cos x + cos y ОПХ СЯКНБХХ, ВРН x + y = π/2.
7. мЮ ЙННПДХМЮРМНИ ОКНЯЙНЯРХ O_xy ХГНАПЮГХРЭ ЛМНФЕЯРБН, ЙННПДХМЮРШ РНВЕЙ ЙНРНПНЦН СДНБКЕРБНПЪЧР МЕПЮБЕМЯРБС log y |sin x| ≥ 0.
8. пЕЬХРЭ СПЮБМЕМХЕ
   
9. пЕЬХРЭ СПЮБМЕМХЕ
   
10. пЕЬХРЭ СПЮБМЕМХЕ 4.33 ^{x + 1} + 4 = 5.29 ^x.
11. пЕЬХРЭ СПЮБМЕМХЕ x³ + x² + x = -1/3.
12. пЕЬХРЭ ЯХЯРЕЛС СПЮБМЕМХИ
    
13. дНЙЮГЮРЭ, ВРН ДКЪ МЕНРПХЖЮРЕКЭМШУ ВХЯЕК a, b Х c ХЛЕЕР ЛЕЯРН МЕПЮБЕМЯРБН
    
14. мЮХАНКЭЬЕИ ЯРНПНМЕ BC = a РПЕСЦНКЭМХЙЮ ABC ОПХМЮДКЕФХР РНВЙЮ л. мЮИРХ МЮХЛЕМЭЬЕЕ ПЮЯЯРНЪМХЕ ЛЕФДС ЖЕМРПЮЛХ НЙПСФМНЯРЕИ, НОХЯЮММШУ НЙНКН РПЕСЦНКЭМХЙНБ ABM Х ACM.
15. б ПЮБМНАЕДПЕММНИ РПЮОЕЖХХ ЯПЕДМЪЪ КХМХЪ ПЮБМЮ a, Ю ДХЮЦНМЮКХ БГЮХЛМН ОЕПОЕМДХЙСКЪПМШ. мЮИРХ ОКНЫЮДЭ РПЮОЕЖХХ.
16. б РПЕСЦНКЭМХЙЕ ДЮМШ ДБЕ ЯРНПНМШ a Х b (a > b). мЮИРХ РПЕРЭЧ ЯРНПНМС, ЕЯКХ ХГБЕЯРМН, ВРН a + h_a ≤ b + h_b, ЦДЕ h_a Х h_b - БШЯНРШ, НОСЫЕММШЕ МЮ ЯРНПНМШ a Х b ЯННРБЕРЯРБЕММН.
17. оСЯРЭ R, r Х S ЯННРБЕРЯРБЕММН ПЮДХСЯШ НОХЯЮММНИ, БОХЯЮММНИ НЙПСФМНЯРЕИ Х ОКНЫЮДЭ ОПЪЛНСЦНКЭМНЦН РПЕСЦНКЭМХЙЮ. хГБЕЯРМН, ВРН R + r = . мЮИРХ НЯРПШЕ СЦКШ ЩРНЦН РПЕСЦНКЭМХЙЮ.
18. б НЙПСФМНЯРЭ ПЮДХСЯЮ 1 БОХЯЮМ ОПЮБХКЭМШИ ВЕРШПМЮДЖЮРХСЦНКЭМХЙ. мЮИРХ ЯСЛЛС ЙБЮДПЮРНБ ПЮЯЯРНЪМХИ НР ОПНХГБНКЭМНИ РНВЙХ НЙПСФМНЯРХ ДН БЯЕУ БЕПЬХМ ЩРНЦН ВЕРШПМЮДЖЮРХСЦНКЭМХЙЮ.
19. дЮМ ОЮПЮККЕКЕОХОЕД ABCDA₁B₁C₁D₁ (AA₁ || BB₁ || CC₁ || DD₁). мЮИРХ, Б ЙЮЙНЛ НРМНЬЕМХХ ДБЕ ОКНЯЙНЯРХ, ОПНУНДЪЫХЕ ЯННРБЕРЯРБЕММН ВЕПЕГ РНВЙХ A₁, B, D Х B₁, C, D₁, ДЕКЪР ДХЮЦНМЮКЭ AC₁.