Глава III. Основные характеристики звезд

Звезды - это, по-видимому, наиболее распространенные во Вселенной космические тела, имеющие вместе с тем относительно простую структуру. Со времени первых астрофизических наблюдений наши знания о звездах постоянно увеличиваются, причем открытия последних лет все время приносят неожиданности; достаточно вспомнить радиопульсары и рентгеновские источники в двойных системах. Однако все же принято считать, что главные законы, описывающие звездную физику, известны достаточно надежно, хотя неопределенный результат эксперимента с солнечными нейтрино вносит некоторые сомнения. В этой главе мы покажем, что основные соотношения, связывающие между собой параметры звезд, могут быть выведены с помощью простых соображений размерности. Более строгое рассмотрение звездных моделей с точки зрения их подобия будет дано в гл. 4

§ 3.1 Соотношение масса — светимость

В первую очередь займемся поиском зависимостей между характеристиками звезды. Основных параметров три: это масса М, радиус R и светимость L. В уравнение состояния вещества звезды входят универсальная газовая постоянная ℜ и безразмерный молекулярный вес μ. Как правило, структура звезды, в первую очередь ее термодинамические характеристики, определяется переносом энергии, генерируемой в ее центральных частях, через всю ее толщу. Наибольшую роль играет перенос энергии излучением, который можно характеризовать двумя определяющими параметрами - универсальной константой σ (постоянной закона Стефана-Больцмана) и коэффициентом поглощения ϰ , характеризующим "просачивание" излучения сквозь вещество. Будем относить ϰ к единице плотности.

Размерности определяющих параметров таковы:

$\begin{array}{l} \quad [M] = \mbox{г}, \quad [R] = \mbox{см}, \quad [L] = \frac{\mbox{г} \cdot \mbox{см}^2}{\mbox{сек}^3}, \quad [G] = \frac{\mbox{см}^3}{\mbox{г} \cdot \mbox{см}^2}, \\ \\ \quad [\frac{\mathfrak {R}}{\mu}] = \frac{\mbox{см}^2}{\mbox{сек}^2 \cdot \mbox{град}}, \quad [\sigma] = \frac{\mbox{эрг}}{\mbox{сек} \cdot \mbox{см}^2 \cdot \mbox{град}^4} = \frac{\mbox{г}}{\mbox{сек}^3 \cdot \mbox{град}^4}, \\ \\ \quad [\varkappa] = \frac{1}{\mbox{см}} \cdot \frac{\mbox{см}^3}{\mbox{г}} = \frac{\mbox{см}^2}{\mbox{г}}. \end{array}$ (3.1)

Эту систему можно упростить. Размерность температуры (градус) входит только в два параметра - ℜ/μ и σ . Очевидно, что во все безразмерные комплексы может входить только такая комбинация этих двух параметров, в которой размерность градуса сокращается, а именно:

$[\frac{\sigma \mu^4}{\mathfrak {R}^4}] = \frac{\mbox{г} \cdot \mbox{сек}^5}{\mbox{см}^8}.$ (3.2)

Теперь остается шесть определяющих параметров с тремя независимыми размерностями. Составим матрицу размерности:

$\begin{matrix} \, & [M] & [L] & [R] & [G] & [\varkappa] & [\frac{\sigma \mu^4}{\mathfrak {R}^4}] \\ \mbox{г}&1&1&0&-1&-1&1 \\ \mbox{см}&0&2&1&3&2&8 \\ \mbox{сек}&0&-3&0&-2&0&5 \\ \end{matrix}$ (3.3)

Ранг матрицы равен трем. Определяя безразмерный комплекс произведением

$\Pi = M^{k_1}L^{k_2}R^{k_3}G^{k_4}\varkappa^{k_5}\left(\frac{\sigma \mu^4}{\mathfrak {R}^4}\right)^{k_6},$ (3.4)

получаем систему уравнений для показателей k_i:

$\begin{array}{l} 1k_1 + 1k_2 - 0k_3 - 1k_4 - 1k_5 + 1k_6 = 0\\ 0k_1 + 2k_2 + 1k_3 + 1k_4 + 2k_5 - 8k_6 = 0 \\ 0k_1 - 3k_2 + 0k_3 - 2k_4 + 0k_5 + 5k_6 = 0 \end{array}$ (3.5)

имеющую три линейно независимых решения. Выберем их так, чтобы каждый безразмерный комплекс не включал бы в себя по очереди основные параметры R, L и ϰ . Кроме того, при этом будем учитывать некоторые физические соображения, которые станут ясными ниже.

Первый безразмерный комплекс выберем так, чтобы туда не входил радиус звезды (принимая k₃ = 0). Для светимости примем показатель k₂ = 1. Остается еще один произвольный параметр, который выберем так: k₆ = - 1. Тогда имеем первый комплекс:

$\Pi_1 = LM^{-3}G^{-4} \frac{\mathfrak {R}^4}{\sigma \mu^4},$ (3.6)

Во втором безразмерном комплексе опустим светимость (k₂ = 0), а заодно и член, описывающий поток излучения (k₆ = 0). Положим также k₁ = - 1. Тогда имеем

$\Pi_2 = R^2 M^{-1}\varkappa^{-1} = \frac{3}{4\pi}(\varkappa\bar\rho R)^{-1}.$ (3.7)

где $\bar\rho = \frac{3M}{4\pi R^3}$ .

В третьем безразмерном комплексе опустим коэффициент непрозрачности (k₅). Здесь можно также опустить термодинамические параметры (k₆ = 0) и положить k₂=1. Имеем

$\Pi_3 = LR^{5/2} G^{-3/2} M^{-5/2}.$ (3.8)

Итак, мы получили три безразмерных комплекса, и искомое соотношение, теперь имеющее вид ƒ(П₁, П₂, П₃) = 0, по-прежнему остается неопределенным до тех пор, пока мы не оценим порядки величин П₁, П₂, П₃. Параметр П₂ имеет очевидный смысл - это есть величина, обратная оптической толще звезды, отнесенной к ее средней плотности. Для всех реальных звезд величина этого комплекса на много порядков меньше единицы. Поэтому в дальнейшем всегда П₂ можно пренебречь.

Физический смысл третьего безразмерного комплекса также несложен. Перепишем (3.8) в виде

$\Pi_3 = L \left[\frac{GM^2}{R} \cdot \sqrt{\frac{GM}{R^3}}\right]^{-1}.$ (3.9)

Согласно (2.28) GM²/R есть по порядку величины полная энергия звезды, а согласно (2.9) или (2.13) параметр (R³/GM)^1/2 характеризует период колебания звезды или время ее сжатия в случае неустойчивости. Таким образом, безразмерный комплекс П₃ был бы порядка единицы лишь в том случае, если бы звезда излучала свою полную энергию за время порядка периода колебаний или полного сжатия. Для некоторых быстрых этапов образования и эволюции звезд это условие действительно имеет место, но для стационарных звезд безразмерный комплекс П₃ также на много порядков меньше единицы.

Остается комплекс П₁ (3.6). Чтобы судить о нем, оценим прежде всего его величину для Солнца. Получим

$\Pi_1 \approx 0,03\mu^{-4}\{\varkappa\},$ (3.10)

где, напоминаем, {ϰ} означает численное значение величины коэффициента непрозрачности.

Среднее значение коэффициента непрозрачности, рассчитанное для современных моделей Солнца, порядка или несколько больше единицы см² ⋅ г^-1, а величина молекулярного веса близка к 0,6, поэтому численное значение множителя П₁ порядка 2-3. Итак, комплекс П₁ действительно по порядку величины близок к единице.

Его физический смысл заключается в следующем. Стационарные звезды существуют только благодаря тому, что гравитационное притяжение компенсируется газовым давлением, для которого необходима высокая температура газа. В свою очередь температура вещества звезды определяется не только условиями генерации энергии, но и условием "просачивания" этой энергии через толщу звезды. Здесь должно иметь место некоторое самосогласование - в звезде данной массы должно генерироваться столько энергии, сколько ее может "просочиться" к поверхности. Отсюда и однозначная связь между светимостью, массой и коэффициентом непрозрачности. Эта связь, обнаруженная впервые и теоретически, и по данным наблюдений А. Эддингтоном еще в 1921 г., называется соотношением масса - светимость и является одной из важнейших астрофизических закономерностей. Приведенный выше элементарный вывод на основе соображений анализа размерностей позволяет соотношение масса - светимость записать в виде

$\frac{L}{L_{\odot}} \approx \frac{30\mu^4}{\{\varkappa\}}\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^3.$ (3.11)

Формула (3.11) удовлетворительно описывает светимость Солнца и дает, по крайней мере качественное, согласие с наблюдаемой зависимостью масса - светимость. Количественные расхождения с наблюдаемой зависимостью, однако, достаточно заметны. Причин для этого несколько. При выводе этой формулы предполагается, что коэффициент непрозрачности постоянен по всей звезде и одинаков у звезд разных масс. На самом деле это выполняется только в том случае, если непрозрачность объясняется томсоновским рассеянием. Тогда, действительно, L ∼ M³. Другие механизмы поглощения света приводят к существенной зависимости ϰ от плотности и особенно от температуры. Это приводит к более сложной зависимости светимости от массы, которая будет получена в следующей главе.

Кроме того, соотношение масса - светимость зависит, хотя и слабее, от закона выделения энергии. Тем не менее формула (3.11) сохраняет свое методическое значение прежде всего в силу своей элементарности. Ее обсуждение позволяет просто объяснить многие явления физики звезд (см. изложение в [1]).

<< § 2.3 Характерные параметры твердых планет | Оглавление | § 3.2 Равсновесие и устойчивость звезд >>

Мнение читателя [1]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце