Устойчивость и стабилизация движения

Обязательный годовой курс для студентов IV курса

Курс читает д.ф.-м.н., профессор А.В.Карапетян

Излагаются основы теории устойчивости и стабилизации движения: прямой метод Ляпунова. Устойчивость по первому приближению и введение в теорию критических случаев для автономных систем. Устойчивость положений равновесия и стационарных движений консервативных механических систем, влияние гироскопических и диссипативных сил. Введение в теорию устойчивости неавтономных (в частности) систем. Введение в теорию оптимальной стабилизации управляемых систем.

1. Общие представления о задачах устойчивости и стабилизации движения. Постановка вопроса. Определения Ляпунова устойчивости и условной устойчивости. Уравнения возмущенных движений. Перефразировка определений устойчивости в переменных. Два метода Ляпунова исследования устойчивости.
2. Общие теоремы прямого метода Ляпунова. Некоторые определения. Признаки знакоопределенности и знакопеременности функций. Геометрическая интерпретация знакоопределенных функций. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм. Теорема Ляпунова об устойчивости; следствие из теоремы Ляпунова. Теорема Рауса. Теорема Рауса-Ляпунова. Метод Четаева построения функций Ляпунова. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева об асимптотической устойчивости. Теоремы об устойчивости и об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных. Теорема Четаева о неустойчивости движения. Две теоремы Ляпунова о неустойчивости. Понятие об обратимости общих теорем прямого метода. Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости и теорема Красовского о неустойчивости для автономных систем.
3. Устойчивость равновесий при потенциальных силах. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Две теоремы Ляпунова и две теоремы Четаева о неустойчивости равновесия. Коэффициенты устойчивости Пуанкаре. Бифуркация равновесий и стационарных движений.
4. О линейных дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами. Частные решения. Элементарные делители. Канонический вид уравнений первого приближения. Выводы об устойчивости в первом приближении. Теорема Гурвица. Случай, когда коэффициенты уравнений являются непрерывными, ограниченными функциями парамет-ра. Теорема Ляпунова о целых однородных функциях, удовлетворяющих линейным уравнениям с частными производными. Критерии, равносильные критерию Гурвица.
5. Действие возмущающих сил на равновесие. Нормальные координаты. Теорема Вейерштрасса. Влияние новой связи. Теоремы Кельвина о влиянии диссипативных и гироскопических сил. Устойчивость временная и вековая. Некоторые вынужденные движения.
6. Устойчивость по первому приближению. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Понятие о критических случаях. Структурные ограничения. Теорема Четаева об устойчивости при возмущающих силах, неопределен-ных в малых членах. Определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях (п. д. в.). Теорема Малкина об устойчивости при п. д. в.
7. Критический случай одного нулевого корня. Вспомогательное преобразование. Анализ различных случаев. Особенный случай. Критический случай пары чисто мнимых корней. Преобразование уравнений. Критерий устойчивости и неустойчивости. Особенный случай.
8. Проблемы стабилизации управляемых движений. Постановка задачи о стабилизации и об оптимальной стабилизации по всем и по части переменных. Теорема Красовского об оптимальной стабилизации. Теорема об оптимальной стабилизации по части переменных. Об одном способе построения оптимальной функции Ляпунова. Решение задач о стабили-зации для уравнений первого приближения.
9. Неустановившиеся движения. Характеристичные числа функций. Леммы о характеристичных числах. Характеристичные числа решений линейной системы уравнений. Нормальная система решений. Формула Лиувилля. Условия устойчивости или неустойчивости. Теорема Четаева о наинизшем характеристичном числе для систем, коэффициенты которых рsr > сsr при t >?. Случай коэффициентов с ограниченными вариациями. Правильные системы. Свойства уравнений в вариациях Пуанкаре. Теорема Ляпунова об ус-тойчивости по первому приближению для правильных систем. Теорема Четаева о неус-тойчивости по первому приближению для правильных систем. Теорема Четаева об устойчивости и неустойчивости по первому приближению для неправильных систем. Другая группа критериев: теоремы Малкина, Персидского и Перрона.
10. Периодические движения. Инвариантная подстановка и структура частных решений. Фундаментальная система независимых решений системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами есть нормальная, а система является правильной и приводимой. Теорема об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Приближенные методы определения характеристичного уравнения. Метод усреднения. Способ Ляпунова, приложение к одному дифференциальному уравнению второго порядка.
11. Устойчивость движения твердого тела с полостью, наполненной жидкостью, по отношению к части переменных. Постановка задачи об устойчивости движения твердого тела с жидкостью. Интегральные характеристики движения жидкости. О применении прямого метода Ляпунова. Устойчивость вращения около неподвижной точки твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью. Устойчивость равновесия маятника с жидкостью.