Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.test.physchem.msu.ru/doc/z_ess.doc Дата изменения: Mon Aug 23 16:51:31 2010 Дата индексирования: Sun Apr 10 22:46:04 2016 Кодировка: koi8-r

Задачи к зачету и экзамену по электродинамике сплошных сред.

Задача 1.
Определить поле вокруг незаряженного проводящего шара радиуса [pic],
находящегося во внешнем однородном электрическом поле [pic] .
Решение. Решение ищем в виде [pic], где [pic] - должна удовлетворять
уравнению Лапласа и обращаться в нуль на бесконечности. Этим условиям
удовлетворяет функция
[pic]. Далее из гранусловия на поверхности шара имеем
[pic]

Задача 2.
Определить поле вокруг незаряженного проводящего цилиндра радиуса [pic],
находящегося во внешнем однородном электрическом поле [pic],
перпендикулярном оси цилиндра.
Решение. Решение ищем в виде [pic], где [pic] - должна удовлетворять
двумерному уравнению Лапласа и обращаться в нуль на бесконечности. Этим
условиям удовлетворяет функция [pic]. Далее из гранусловия на поверхности
шара имеем
[pic]

Задача 3.
Определить поле, создаваемое точечным зарядом [pic]находящемся на
расстоянии [pic] от плоской границы раздела двух диэлектриков с
диэлектрическими проницаемостями [pic] в среде [pic].
Решение.
[pic]
Потенциал в среде 1 ищем в виде [pic] (удовлетворяет уравнению Пуассона в
среде 1)[pic]. А потенциал в среде 2 ищем как потенциал фиктивного заряда
[pic], помещенного в точку [pic]:[pic]. На границе должны быть выполнены
условия
[pic]


Задача 4.
При выводе уравнений Максвелла в сплошной среде были введены два
вспомогательных вектора[pic] соотношениями:

[pic]
Выяснить физический смысл этих векторов.
Решение. Для выяснения их физического смысла рассмотрим сначала интеграл
(компоненту дипольного момента) для электронейтрального тела

[pic]

Интеграл по поверхности равен нулю (поверхность можно взять вне тела).
Тогда интеграл справа равен компоненте дипольного момента. Следовательно,
[pic] можно интерпретировать как плотность дипольного момента. Плотность
определена неоднозначно (с точностью до выражения, которое при
интегрировании по объему обращается в нуль). Сложнее со вторым вектором.
Рассмотрим полный магнитный момент (для постоянных (или медленно меняющихся
полей)
[pic]
Далее используем обощенную теорему Гаусса (снова поверхность берем вне
тела)
[pic]
Далее имеем

[pic]
В результате вычисляемый интеграл равен [pic], что означает: вектор
[pic]можно интерпретировать как плотность магнитного момента.

Задача 5.
Вывести соотношения Крамерса-Кронига для изотропной среды без
пространственной дисперсии.
Решение. Исходим из определения "фурье-образа диэлектрической
проницаемости"
[pic]

[pic]
где функция [pic]описывает поляризуемость среды
[pic]

Поляризуемость, по сравнению с диэлектрической проницаемостью, обладает тем
преимуществом, что она конечна и непрерывна (это следует из физических
соображений) для любых [pic]. Тогда как [pic] содержит особый вклад [pic].
Для функции [pic] имеем
[pic]

Еще одно важное свойство [pic]состоит в том, что [pic] при [pic].
Действительно, значение поляризации в данный момент не должно зависеть от
того, что происходило бесконечно "давно", так как время релаксации среды
конечно. Выразим перечисленные свойства [pic]через свойства фурье-образа
[pic]:
[pic]
[pic]

[pic]

Теперь рассмотрим функцию [pic]как функцию комплексной переменной [pic].
Из свойства причинности следует, что эта функция аналитическая в верхней
полуплоскости [pic] . Представим ее в виде суммы действительной и мнимой
частей
[pic]
[pic]
Проверьте условия Коши -Римана (интегрировать можно сходящиеся интегралы, а
это следствие причинности). Поэтому и аналитичность есть следствие
причинности. Итак, [pic] аналитична, и кроме того [pic] при [pic] .
Вычислим интеграл (далее действуем как при выводе интегральной формулы Коши
в ТФКП):
[pic]

[pic]
[pic]
Буквы перед интегралом [pic]означают , что этого интеграл в смысле главного
значения. Отсюда имеем соотношения Крамерса-Кронига

[pic]
Проверить выполняются ли они для модели Дебая
[pic]
Задача 6.
Вывести дисперсионное уравнение из уравнений Максвелла.
Решение. Исходим из уравнений Максвелла
[pic]
Подстановка гармонической зависимости всех функций дает ([pic]):

[pic]
[pic]
Это система линейных однородных уравнений относительно амплитуд. Условием
существования ненулевого решения является равенство нулю детерминанта этой
системы. Часто электромагнитная поляризация задается амплитудой
электрического поля [pic]. Поэтому в вышеупомянутой системе принято
исключать все другие переменные, кроме [pic]. После такого исключения
(выкладки обязательно проделать самостоятельно) получаем систему уравнений
[pic]
Привести какой-либо пример использования дисперсионного уравнения.

Задача 7.
Вывести выражение для диэлектрической проницаемости в модели неполярного
диэлектрика. Найти частоты, соответствующие экстремумам действительной и
мнимой части поляризуемости. Выделите и постройте графики действительной и
мнимой частей диэлектрической проницаемости (один вид осцилляторов).
Найдите комплексный показатель преломления [pic].
Решение. Исходим из уравнения для упругого диполя с затуханием
[pic]

Решение этого уравнения для гармонической зависимости от времени имеет вид
[pic]

Отсюда имеем
[pic]
[pic]
Последнее выражение можно несколько обобщить, учитывая тот факт, что
каждой молекуле можно поставить несколько осцилляторов с своими частотами и
затуханиями
[pic]
Дорешать задачу самостоятельно.





Задача 8.
Ввести в модель Друде-Лоренца магнитное поле
[pic]
Найти стационарное решение (скорость постоянна) для длинного (вдоль оси
[pic]) проводника.
На основе этой модели описать эффект Холла.

Задача 9.
Используя результаты задачи 8 дать описание эффекта Холла в модели с двумя
типами носителей.

Задача 10.
Исследовать магнетосопротивление в модели Друде-Лоренца с идним и двумя
типами носителей.

Задача 11.
Найти законы дисперсии продольных и поперечных электромагнитных волн в
диэлектрике с диэлектрической проницаемостью вида
[pic]
Почему в ионных кристаллах высокочастотная ветвь поляритонов имеет более
низкую частоту, чем в неполярных диэлектриках.

Задача 12.
В модели Друде-Лоренца найти комплексный показатель преломления для
областей частот
[pic] . Каким физическим эффектам соответствую эти три предельных случая?

Задача 13.
Рассмотрите гидродинамическую модель плазмы с затуханием
[pic]
Выведете формулы для поперечной и продольной диэлектрической проницаемости
[pic]
Найдите частоты поперчных и продольных волн в такой модели плазмы.

Задача 14.
Магнетизм.
Задача 15.
Магнетизм.
Задача 16.
Сверхпроводники.
Задача 17.