Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.test.physchem.msu.ru/doc/1semestr2010.pdf Дата изменения: Tue Aug 24 13:10:07 2010 Дата индексирования: Sun Apr 10 22:53:24 2016 Кодировка: Windows-1251

УДК 517.958:530.1,517.958:532.5

1


Лекционный курс: Методы математической физики(первый семестр)
В. В. Палин, Е. В. Радкевич 8 мая 2010 г.

Содержание
I Введение. Предмет исследования теории уравнений математической физики. 5 II Качественные свойства решений ОДУ. 9
9 14 16

2.1Дифференцируемость решения ОДУ по параметру и ее применение. 2.2Периодические решения системы ОДУ, близкой к линейной. 2.3Первые интегралы для ОДУ.

III Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. 19
3.1Линейные уравнения в частных производных первого порядка. 3.2Квазилинейные УрЧП первого порядка. 3.3Задача Коши для квазилинейных УрЧП. 19 21 23

IV Алгоритмы интегрирования задачи Коши для линейного и квазилинейного УрЧП. 24
4.1 Алгоритм интегрирования задачи Коши (А1) 4.2 Алгоритм интегрирования задачи Коши(А2) 25 25

4.3Обобщение алгоритма А2 на случай произвольной размерности. Интегрирование уравнений неразрывности и переноса. 26
2


V Введение в теорию нелинейных УрЧП первого порядка.
5.1Полные интегралы и огибающие. 5.2Вывод характеристических уравнений. Задача Коши. 5.3Локальная теорема существования.

29
29 32 34

5.4Характеристики для законов сохранения. Пересекающиеся характеристики. 36

VI Уравнение Гамильтона-Якоби и его классическое решение. 36
6.1Нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби. 6.2Стационарное уравнение Гамильтона-Якоби. 6.3Вариационное исчисление. Связь с ОДУ Гамильтона. 36 38 39

6.4Преобразование Лежандра. Выпуклая двойственность гамильтониана и лагранжиана. 41 6.5Геометрическая интерпретация уравнения Гамильтона-Якоби. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. 42 6.6Геометрическая оптика. 44

VII

Коротковолновые асимптотики для УрЧП.

45
46 46 47

7.1Постановка задачи и общая идея метода. 7.2Коротковолновая асимптотика для уравнения Шредингера. 7.3Коротковолновая асимптотика для волнового уравнения.

VIII Законы сохранения. Введение в теорию.
8.1Ударные волны. 8.2Условие энтропии.

48
48 51

IX Элементы теории обобщенных функций.
9.1Общие понятия 9.2Свертка и преобразование Фурье обобщенных функций
3

53
53 62


X Энтропийное решение. XI Дополнительные темы I семестра.
11.1Единственность энтропийного решения. 11.2Инварианты Римана. 11.3Законы сохранения и римановы инварианты. 11.4Несуществование гладкого решения. 11.5Энтропийные критерии.

66 69
69 72 73 77 79

XII

Темы упражнений I семестра. Задачник.

81
81 81 82 83 86 86 86

12.1Свертка и преобразование Фурье (Лапласа) обобщенных функций 12.2Задача Штурма-Лиувилля. 12.3Коротковолновая асимптотика. 12.4Метод Галеркина. Смешанная задача 12.5Обобщенные функции 12.6Свертка тестовых и обобщенных функций 12.7Законы сохранения. Энтропийные решения

XIII Задачи для курсовой работы первого семестра
13.1Задачи на построение коротковолновых асимптотик. 13.2Задачи на преобразования Фурье и Лапласа.

86
86 89

4


Предисловие
Лекции составлены из расчета трех академических часов в неделю лекций и одного академического часа в неделю практаки к лекциям, плюс два академического часа в неделю упражнения (всего 6 академических часов в неделю). В зависимости от уровня курса часть тем отнесена к дополнительным главам, которые либо используются в курсе в полной мере, либо только в виде формулировок, оставив доказательства для любознательных студентов или как задачи для продвинутых. В курсах общей и теоретической физики формируется, как известно, физическое представление о том, что классическая (геометрическая) оптика, классическая механика и классическая термодинамика являются предельными случаями соответственно волновой оптики, квантовой механики и статистической механики. Математическое обоснование соответствующего предельного перехода отнюдь не тривиально и связано в первую очередь с построением приближенных (асимптотических) решений (псевдо)дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих всевозможные волновые процессы (стационарные и нестационарные) в непрерывных средах. При определенных условиях на параметры волнового процесса и параметры среды (например, когда длина волны мала по сравнению с размерами рассматриваемых тел системы или по сравнению с параметром неоднородности среды) в первом приближении, которое называют коротковолновым, фаза асимптотики волнового поля удовлетворяет нелинейному PDE уравнению ГамильтонаЯкоби для волновых фронтов. Следующее приближение приводит к линейному уравнению первого порядка для определения амплитуды колебаний уравнению переноса. Одно из важных достижений математического анализа XIX века состоит в том, что решение PDE сводится к интегрированию соответствующей характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. С физической точки зрения этот факт есть проявление двойственности в описании волновых процессов: при помощи волновых фронтов или при помощи лучей, или траекторий, частиц в конфигурационном пространстве классической системы, задаваемой характеристической системой ОДУ. Цель первой части курса (осеннего семестра): во-первых, дать в виде алгоритмов методы решения задачи Коши для PDE <в малом>, т. е. при отсутствии катастроф в ее решении; во-вторых, дать геометрическую интерпретацию как самих уравнений, так и их решений, являющуюся необходимым условием решения PDE <в целом>, в том числе, в окрестности возникающих каустик. И, наконец, на примерах решения конкретных уравнений (нестационарного уравнения ГамильтонаЯкоби в классической механике, стационарного уравнения эйконала в геометрической оптике и уравнений неразрывности и ЭйлераХопфа) продемонстрировать основные понятия и идеи математической теории катастроф. Второя часть курса (весенний семестр)более классическая, посвящена качественным свойствам трех основных уравнений: волнового, параболического и эллиптического и вариационным принципам.

5


Часть I

Введение. Предмет исследования теории уравнений математической физики.
Тему лекций годового курса можно сформулировать так:

Язык математики как язык естественных наук (физики, химиии, биологии).

Наша задача понять связь этих слов: 1. как моделирование процессов облачается в одежду уравнений (связей основных параметров процесса в их динамике) позволяющих реконструировать процес, 2. как из этих задача возникает необходимость математического языка-языка описания и формализации реальных процессов на языке формул 3. задача согласования математического языка с языком зкспериментальной и технической физики или химии (как обратной задачи адаптации математических результатов (сегодня повсеместно результатов численного счета на ЭВМ) с результатами экcперимента. Одно из важных достижений математического анализа XIX века состоит в том, что решение PDE сводится к интегрированию соответствующей характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. С физической точки зрения этот факт есть проявление двойственности в описании волновых процессов: при помощи волновых фронтов или при помощи лучей, или траекторий, частиц в конфигурационном пространстве классической системы, задаваемой характеристической системой ОДУ. Лучи и траектории частиц могут пересекаться, касаться друг друга, собираться в одну точку, образуя множества в конфигурационном пространстве, которые, следуя терминологии геометрической оптики, называют каустиками или фокальными точками (точками поворота в квантовой механике). Возникновение этих особенностей приводит в свою очередь к <катастрофам> в решении PDE для фазы и амплитуды асимптотических решений: ветвлению решения, потере его гладкости: возникновению разрывов функций и их производных. Такие задачи и связанные с ними катастрофы решений соответствующих PDE возникают при анализе распространения разрывов и ударных волн в механике сплошной среды, в частности в моделях газовой динамики и магнитной гидродинамики, при распространении и фокусировке видео- и радиоимпульсов в диспергирующих средах, коротких радиоволн в ионосфере Земли, при дифракции на проводящих телах, а также при распространении лазерного электромагнитного излучения в лабораторной плазме. В первом части курса (осеннего семестра) наша цель дать в виде алгоритмов методы решения задачи Коши для PDE <в малом>, т. е. при отсутствии катастроф в ее решении; во-вторых, дать геометрическую интерпретацию как самих уравнений, так и их решений, являющуюся необходимым условием решения PDE <в целом>, в том числе, в окрестности возникающих каустик. И, наконец, на примерах решения конкретных уравнений (нестационарного уравнения ГамильтонаЯкоби в классической механике, 6


стационарного уравнения эйконала в геометрической оптике и уравнений неразрывности и ЭйлераХопфа) Начнем с простого примера: одномерных частиц, движущихся без столкновений (сильно разреженный газ) по прямой R1 в отсутствии внешних сил. В силу уравнения Ньютона в отсутствии внешних сил ускорение


x (t; x0 ) = 0,

вдоль траектории отдельной частицы x(t; x0 ), стартоващий в нвчальный момент времени t = 0 из точки x = x0 . Если гладкая функция v (x, t), x R1 , t 0, - распределение скоростей частиц в момент времени t т.е. траектория частицы подчиняется уравнению

x (t; x0 ) = v (x(t; x0 ), t), t > 0,
Тогда в силу уравнения Ньютона




x|

t=0

= x0 R 1 ,

(1.1)

x (t; x0 ) = t v (x(t; x0 ), t)+ x (t; x0 ) x v (x(t; x0 ), t) = 0, t > 0.



Тогда в силу (1.1) получим уравнение с частными производными первого порядка для скорости (порядок производных не выше 1):
2 t v (x, t) + v (x, t) x v (x, t) = 0, (x, t) R+ = {(x, t), x R1 , t > 0} v (x, t)|t=0 = v (x0 , 0) = v0 (x),

(1.2)

с заданным начальным распределение скорости v0 (x). По аналогии с обыкновенными уравнениями (см. (1.1)) такая задача называется задачей Коши для уравнения (1.2) (уравнения Хопфа). Теперь посмотрим, всегда ли эта задача имеет гладкое (классическое) решение v 2 2 C 1 (R+ ) в замыкании области R+ . Рассмотрим два начальных распределения v0 = arctg(x) и v0 = - arctg(x). Для построения решения применим так называемый метод характеристик, с которым вы уже встречались в курсе обыкновенных уравнений. В чем он состоит? 1. Из уравнения (1.2) следует, что скорость v (x, t) постоянна вдоль траектории (характеристики) частицы:

v (x(t; x0 ), t) = v0 (x0 ) x(t; x0 )|

t=0

= x0 ,

(1.3)

(характеристики уравнения (1.2)). Тогда из (1.1) следует что

x(t; x0 ) = x0 + v0 (x0 ) t.

(1.4)

2 2. Теперь рассмотрим любую точку (x, t) R+ . Если через эту точку проходит какая то траектория, т.е. для некоторого x0 имеем x = x(t, x0 ), то в этой точке v (x, t) = v0 (x0 ). Таким образом, во всех достижимых точках (x, t) мы однозначно определяем значение скорости v (x, t), если в эту точку приходит только одна траекторя, т.е. когда x0 = x0 (x, t) однозначно определяется по точке (x, t). Множество таких точек будем называть

7


областью определения гладкого решение Os (v0 ) с заданным начальным условием v0 . Очевидно, что в этой области уравнение

x - x0 + v0 (x0 ) t = 0

(1.5)

определяет диффеоморфизм x0 (x, t) : Os (v0 ) R1 . Очевидно это отображение диффеоморфизм, если выполнено условие

x = x0
(поскольку
x0

x0

x0 + v0 (x0 ) t = 1 + t x0 v0 (x0 ) > 0,

(1.6)

x0 +v0 (x0 ) t |t=0 = 1 > 0), тогда по теореме о неявной функции однозначно опредекляется решение x0 (x, t) уравнения (1.5). Отсюда следует, что гладкое решение v (x, t) = v0 (x0 (x, t)), (x, t) Os (v0 )

Для первого начального распределения v0 = arctg(x) имеем x v0 = 1/(1 + x2 ) > 0, x 2 R1 , следовательно характеристики не пересекаются во всей верхней полуплоскости R+ , тогда решение + 2 v (x, t) = arctg(x0 (x, t)) (x, t) Os = R+ . Для второго начального распределения v0 = - arctg(x) справедливо неравенство (1.6) - если t < 1 + x2 , т.е. в этом случае Os = {(x, t); t < 1 + x2 } и решение
- v (x, t) = - arctg(x0 (x, t)) (x, t) Os . 2 Таким образом, задача Коши имеет единственное классическое решение в полосе R1 = 1 2 1 {(x, t), x R , t (0, 1)}. В полосе же RT = {(x, t), x R , t (0, T )}, T > 2, классического решения не существует. Теперь отметим, что слева и справа точки покое x = 0 скорость возрастает и убывает вверх и вниз по профилю скорости y = v (x, t) соответственно. Тем самым точки убыстряютя в направление точки покоя справа и слева от нее. Со временем профиль скорости становится круче, стремясь к вертикали x = 0, т.е. решение стремится к профилю разрывной функции y = -signx.

Какие выводы можно сделать из этого простейшего примера? Базовая задача для моделей математической физикизадача Коши может не иметь классического решения! Но для физики важнейшим свойством модели, описывающей исследуемый процесс, является ее корректность: 1. существование решения; 2. единственность решения; 3. непрерывная зависимость от начальных даных (малое возмущение начальных данных приводит к малым возмущениям решения). Это приводит к необходимости рассматривать неклассические слабые (менее гладкие) решения. Таким образом, исследуемая задача требет своих классов разрешимости Ev ( банаховых пространств) , соответствующих классов начальных данных Ev0 так что: 1. для любого v0 Ev0 существует решение v Ev ; 8


2. это решение единственное; 3. для решений v , v1 , V |t=0 = v0 , v |

t=0

1 = v0 , справедлива априорная оценка

1 1 ||v - v1 ; Ev || < C ||v0 - v0 ; Ev0 || v0 , v0 Ev0 , 1 с постоянной C независящей от v0 , v0 Ev0 (откуда следует непрерывная зависимость от начальных данных). В дальнейшем условия 1.-3. будем называть условиями корректности задачи Коши (1.2) для пары (Ev , Ev0 ). Мы выделили только часть из универсальных проблем теории уравнений с частными производными, предметом исследования которой, в общем случае, являются физические модели описываемые системами нелинейных уравнений (одним нелинейным уравнением) Lj (u1 , . . . , uN ) Fj (x u1 , || m1 , . . . , x uN , || mN , x, t) = 0,

(1.7)

где j = 1, . . . , N , x Rn . Для линейных по u функций F
N

j

Lj (u1 , . . . , uN )
k=1 ||mk

a,k (x)x uk = 0, j

j = 1, . . . , N , x R n .

(1.8)

Здесь mk называется порядком системы относительно компоненты uk решения, x = n x11 . . . xn .

Для однородных распределений u-однородных решений u = u(t), независящих от пространственных переменых x, системы (1.7), (1.8) становятся системами обыкновенных уравнений(ОДУ)

Lj (u1 , . . . , uN ) Fj (

d u1 , || m1 , . . . , x uN , || mN , x, t) = 0. dt

На самом деле связь между уравнениями в частных производных физики (уравнениями с распределенными параметрами) и ОДУ не столь формальная, а намного более содержательная. Как мы покажем в дальнейшем, ОДУ описывают главную часть решений уравнений с распределенными параметрами. Впервые с этим утверждением мы столкнулись при исследовании гладких решений уравнения Хопфа, когда по хараетеристикамрешениям ОДУ (1.3) мы востанавливали решение уравнения (1.2). Поэтому для нас будет существенна теория ОДУ и в первых лекциях мы коснемся некоторых тем этой теории.

Часть II

Качественные свойства решений ОДУ.
2.1 Дифференцируемость решения ОДУ по параметру и ее применение.
Непрерывная зависимость решения от параметра.
9


Теорема 2.1.1 Пусть решение x = (t) задачи x = f (t, x), x(t0 ) = x0 существует на

gi что для любой другой задачи y = g (t, y ), y (t0 ) = y0 в которой g и xj непрерывны и |g - f | < в V , |y0 - x0 | < , решение y (t) может быть продолжено на I и |y (t) - (t)| < на I .

интервале I = [t , t1 ] t0 , и в окрестности V = {t I , |x - (t)| < } его графика fi вектор-функция f (t, x) и xj (i, j = 1, . . . , n) непрерывны. Тогда > 0 > 0 такое,

Доказательство. V замкнутое ограниченное множество; f и
fi xj

fi xj

непрерывны на V .

Значит, найдутся константы m, l такие, что |f (t, x)| m, | | l. Тогда если (t, x) V , (t, y ) V , то n fi ћ (xj - yj )| nl|x - y |. |f (t, x) - f (t, y )| | xj i,j =1 Отсюда, т.к. |f (t, y ) - g (t, y )| , то для x = (t) и y (t) на отрезке I1 I , пока график y (t) проходит в V , имеем

|x - y | = |f (t, x) - g (t, y )| nl|x - y | + .
Пусть z (t) = (t) - y (t). Тогда |z (t0 )| , |z | nl|z | + на I1 . Отсюда

|(t) - y (t)| = |z (t)| e

nls

+

(e nl

nls

- 1), s = max{t1 - t0 , t1 - t }

(2.1)

Возьмем произвольное > 0, 1 = min{ , }, и выберем > 0 так, чтобы правая часть (2.1) была меньше 1 . Тогда решение y (t), т.ч. |y0 - x0 | проходит внутри трубки T = {t I1 , |x - (t)| 1 }, T V . По теореме о продолжении, решение y (t) может быть продолжено до выхода на границу трубки T . Если бы оно вышло на боковую границу трубки, то нашлось бы такое I1 , что |y ( ) - ( )| = 1 , что противоречит выбору . Таким образом, решение y (t) выходит из трубки T только на ее концах, а значит, оно может быть продолжено на трубку T = {t I , |x - (t)| 1 }, что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь задачу с параметром ч M , M Rd :

x = f (t, x, ч), x(t0 ) = a(ч).
Если f ,
fi xj

(2.2)

непрерывны по t, x, то ч M существует решение x = (t, ч) задачи (2.2).

окрестности V = {t I , |x - (t, ч0 )| } его графика при ч M вектор-функция fi f (t, x, ч) и xj непрерывны по t, x, ч, функция a(ч) непрерывна по ч. Тогда найдется > 0 такое, что функция (t, ч) непрерывна по t, ч при t I , |ч - ч0 | < .

Теорема 2.1.2 Пусть при ч = ч0 существует решение (2.2) на I = [t , t1 ], и в

Доказательство. А) Непрерывность по ч. При фиксированном ч = ч0 задача (2.2)

удовлетворяет условиям теоремы 2.1.1. Значит, для любого > 0 найдется > 0 такое, что если |f (t, x, ч) - f (t, x, ч0 )| для (t, x) V , |a(ч) - a(ч0 )| , то решение (t, ч) существует при t I и |(t, ч) - (t, ч0 )| < . Пусть M0 замкнутая окрестность ч0 , 10


M0 M . Так как f (t, x, ч) и a(ч) непрерывны при (t, x) V , ч M0 , то они равномерно непрерывны. Отсюда найдется > 0 такое, что при |ч - ч0 | < имеем ч M0 и из равномерной непрерывности |f (t, x, ч) - f (t, x, ч0 )| , |a(ч) - a(ч0 )| . Отсюда по теореме 2.1.1 функция (t, ч) определена на интервале I и удовлетворяет неравенству |(t, ч) - (t, ч0 )| < , что и означает непрерывность по ч в точке ч = ч0 . Б) Непрерывность по x при ч = ч0 . При (t, x) V , |ч - ч0 | функция f непрерывна. Следовательно, она ограничена на указанном множестве, т.е. найдется q такое, что |f | < q . Отсюда | | = |f | q и t, I при |t - | q имеем |(t, ч) - ( , ч)| q | - t| . t Отсюда и из неравенства |(tmч) - (t, ч0 )| < при |ч - ч0 | , |t - | q следует |( , ч) - (t, ч0 )| < 2. Следовательно, решение (t, ч) непрерывно по совокупности переменных при ч = ч0 , t I . В) Распространение на ч = ч0 . Пусть (0, ). Тогда найдется 1 (0, ) такое, что при любом ч1 , удовлетворяющем неравенству |ч1 - ч0 | 1 по доказанному, решение (t, ч1 ) определено на I и удовлетворяет неравенству |(t, ч1 ) - (t, ч0 )| < . Тогда его окрестность V1 = {t I , |x - (t, ч1 )| - } содержится в V . Значит, в окрестности V1 выполнены условия пунктов А,Б доказательства с ч1 вместо ч0 . Таким образом, решение (t, ч) непрерывно по t, ч при ч = ч1 . Теорема доказана.

M интервал в R.

Дифференцируемость решения по параметру. Обозначим D область в Rn+1 ,
fi xj

Теорема 2.1.3 Пусть при (t, x) D, ч M все функции f ,

, fi , a (ч) непрерывны. ч Пусть также для любого ч M на [t1 , t2 ] t0 решение задачи (2.2) существует, и его график проходит в области D. Тогда это решение имеет производные xi , непрерывные ч по t, ч. Функции ui = xi удовлетворяют системе уравнений в вариациях ч

dui = dt

n

j =1

fi fi uj + , ui (t0 ) = ai (ч) xj ч

(2.3)

Доказательство. Зафиксируем ч M . По определению производной,
x x-x ~ = lim , ~ ч чч ч - ч ~
x ~ где x = x(t, ч). Обозначим v (t, ч) = ч-x . Идея доказательства теоремы заключается в ~ ~ ~ ~ -ч том, чтобы составить дифференциальное уравнение для v (t, ч) при ч = ч и воспользоваться ~ ~ теоремой о непрерывности по параметру. Реализуем эту идею:

f (t, x, ч) - f (t, x, ч) ~~ a(ч) - a(ч) ~ dv (t, ч) ~ = , v (t0 , ч) = . dt ч-ч ~ ч-ч ~
Положим F (s) = f (t, x + s(x - x), ч + s(ч - ч)). Тогда f (t, x, ч) - f (t, x, ч) = F (1) - F (0) = ~ ~ ~~ 1 f f F (s)ds, F (s) = x (x - x) + ч (ч - ч). Отсюда ~ ~ 0

1 dv = dt ч-ч ~

1

1

F (s)ds =
0 0

f (t, x + s(x - x), ч + s(ч - ч)) ~ ~ x-x ~ ds ћ + (x + s(x - x)) ~ ч-ч ~
11


1

+
0 f x f ч

f (t, x + s(x - x), ч + s(ч - ч)) ~ ~ ds. (ч + s(ч - ч)) ~

Так как , непрерывны по совокупности переменных, то подынтегральные функции непрерывны по t, x, x, ч, ч, s, а интегралы по t, x, x, ч, ч. Кроме того, по теореме 2.1.2 ~ ~ ~ ~ функция x непрерывна по t, ч. Следовательно, последние два интеграла непрерывные ~ ~ 1 ~ ) +s ~ функции от t, ч, в том числе, в точке ч = ч. Обозначая H (t, ч) = 0 f (t,x+s(x-xx,чx))(ч-ч)) ds, ~ ~ ~ (x+s( ~-

h(t, ч) = ~

1 f (t,x+s(x-x),ч+s(ч-ч)) ~ ~ (ч+s(ч-ч)) ~ 0

ds, получаем dv = H (t, ч)v + h(t, ч). ~ ~ dt
(2.4)

Доопределим v (t, ч) при ч = ч как решение (2.4) с начальным условием v (t0 , ч) = ~ ~ a (ч). По теореме 2.1.2 функция v (t, ч) непрерывна по ч, включая ч = ч. При ч = ч ~ ~ ~ ~ подынтегральные выражения в формулах для H (t, ч) и h(t, ч) не зависят от s и равны ~ ~ f H (t, ч) = f , h(t, ч) = ч . Таким образом, для функции v (t, ч) уравнение и начальное x условие совпадают с (2.3). Пусть теперь ч меняется на интервале M . Тогда правые части системы (2.3) и частные производные по uj от них непрерывны по t, ч. По теореме 2.1.2 решение системы (2.3) будет также непрерывно по t, ч. Теорема доказана.

Следствие 2.1.1 Пусть выполнены условия теоремы 2.1.3 и, кроме того, функции

fi , ai (ч) имеют непрерывные производные по x, ч до порядка m 2 включительно, в том числе смешанные производные. Тогда решение x(t, ч) имеет непрерывные по t, ч производные по ч до порядка m включительно.

Следствие 2.1.2 Пусть выполнены условия предыдущего следствия, и пусть (t, x)
D, |ч| < ч1 и при ч = 0, t [t1 , t2 ] график решения задачи (2.2) проходит в D, t0 [t1 , t2 ]. Тогда решение x(t, ч) задачи (2.2) при t [t1 , t2 ] разлагается по формуле Тейлора по степеням параметра ч вплоть до чm : x(t, ч) = v0 (t) + чv1 (t) + ч2 v2 (t) + ћ ћ ћ + чm vm (t) + o(чm ). ?

Примеры и упражнения. А. Найти

x ч

ч=0

, если

dx = x2 + 4tч + ч2 , x(1) = 2ч - 1. dt
Решение. По теореме 2.1.3 для функции u =
x ч

имеем:

du = 2xu + 4t + 2ч, u(1) = 2. dt
При этом ч = 0, x решение уравнения x = x2 с начальным условием x(1) = -1, т.е. 1 x(t) = - t . Отсюда du u = -2 + 4t, u(1) = 2. dt t 12


Решая это линейное уравнение, получаем u = t2 + C t-2 , и из начального условия C = 1, x = t2 + t-2 . откуда ч Ответ: t2 + t-2 . 2 t Б. Найти разложение решения задачи x = x - 2чt2 , x(1) = 1 - ч + ч по степеням 2 8 ч вплоть до ч2 . Решение. Возьмем D = {t > 0, x > 0}. В этой области выполняются условия следствия 1.2 для любого ч. Положим
ч=0

x(t, ч) = v0 (t) + чv1 (t) + ч2 v2 (t) + o(ч2 ). ?
Подставляя это равенство в уравнение, имеем:

v0 + чv1 + ч2 v2 + o(ч2 ) = ?

ч ч2 t - 2чt2 , v0 (1) + чv1 (1) + ч2 v2 (1) = 1 - + v0 + чv1 + ч2 v2 + o(ч2 ) ? 2 8 (2.5)

Найдем v0 , для этого подставим ч = 0 в равенство (2.5):

v0 =

t , v0 (1) = 1, v0

откуда v0 (t) = t. Найдем v1 , для этого продифференцируем (2.5) по ч и подставим ч = 0:

v1 = -

1 tv1 - 2t2 , v1 (1) = - , 2 v0 2

откуда v1 (t) = - 1 t3 . Аналогично для v2 получаем 2

2v2 = t (-

v1 + 2чv2 + o(ч) ? ) 2 v + o(ч2 ))2 ч (v0 + чv1 + ч 2 ?
2 2 2v2 v0 - 2v0 v1 1 , v2 (1) = . 4 v0 8

,
ч=0

2v2 = -t
Отсюда v2 (t) = Ответ:
1 12t

+

t5 24

.

1 t5 ч3 t + ч2 ( + ) + o(ч2 ). ? 2 12t 24 Упражнения. 1. Обосновать переход к неравенству (2.1) в теореме 2.1.1. 2. Доказать следствие 1.1. Указание: применить метод математической индукции по m. 3. Проверить выкладки при решении ОДУ в примерах А,Б. 4. Обосновать возможность нахождения уравнений для vj в примере Б путем дифференцирования равенства (2.5) по ч и подстановки ч = 0. x(t, ч) = t -
А.Ф.Филиппов, ?Введение в теорию дифференциальных уравнений" , 7,23, 24

Литература:

13


2.2 Периодические решения системы ОДУ, близкой к линейной.
Отыскание периодических решений. Лемма 2.2.1 Пусть при t [0, p] функция x(t) решение задачи x = f (t, x), где f и
непрерывны и f (t + p, x) = f (t, x). Если x(p) = x(0), то решение x(t) продолжается на (-, +) с периодом p.
fi xj

с периодом p функция x(t) C 1 (R). Она всюду удовлетворяет уравнению, так как для любого k Z имеет место равенство

Доказательство. Так как x(p - 0) = f (p, x(p)) = f (0, x(0)) = x(0 + 0), то продолженная

x(t + k p) = x(t) = f (t, x(t)) = f (t + k p, x(t + k p)).
Лемма доказана.

верно

Лемма 2.2.2 Пусть A квадратная матрица. Если для любого ее собственного значения
=
то система

2 ik , kZ p

(2.6)

x = Ax + f (t)

(2.7)

для каждой непрерывной функции f (t) с периодом p имеет единственное решение с периодом p.

Доказательство. Пусть v (t) решение (2.7), v (0) = 0. Тогда общее решение (2.7) имеет

вид x(t) = eAt b + v (t), b Rn . Для того, чтобы это решение имело период p, необходимо, чтобы x(p) = x(0), т.е. eAp b + v (p) = b + v (0), откуда, т.к. v (0) = 0, получаем

(e

Ap

- E )b = -v (p).

(2.8)

Из условия отсутствия резонанса (2.6) имеем det(eAp - E ) = 0, так как собственные значения матрицы eAp это числа ej p = 1. Таким образом, система (2.8) имеет единственное решение, которому, согласно лемме 2.1, соответствует единственное периодическое решение x(t) системы (2.7). Лемма доказана.

имеют период p по t. Пусть также функция g является m раз непрерывно дифференцируемой по x, ч, m > 1. Пусть, кроме того, выполнено условие отсутствия резонанса (2.6) и
14

Теорема 2.2.4 Пусть f (t), g (t, x, ч) непрерывны при x Rn , (t, x) D, |ч| < ч1 ,


решение x0 (t) с периодом p уравнения (2.7) содержится в D. Тогда при всех достаточно малых |ч| система

x = Ax + f (t) + чg (t, x, ч)

(2.9)

имеет решение периода p по t, стремящееся к x0 (t) при ч 0. Это решение единственно и принадлежит классу C m по ч.

По лемме 2.1 оно имеет период p, если

Доказательство. Пусть x(t, b, ч) решение (2.9) с начальным условием x(0, b, ч) = b.
x(p, b, ч) - b = 0.
(2.10)

Докажем, что при малых ч найдется b Rn такое, что (2.10) выполнено. Действительно, функция x(p, b, ч) C m по b, ч в силу следствия 1.1. При ч = 0 уравнение (2.9) линейное, совпадает с (2.7), и уравнение (2.10) имеет вид (2.8). Далее, уравнение (2.8) в силу условия (2.6) имеет единственное решение b . Якобиан левой части (2.10) по координатам вектора b при ч = 0 совпадает с det(eAp - E ) = 0. Отсюда по теореме о неявных функциях уравнение (2.10) имеет решение b = b(ч), стремящееся к b при ч 0, оно единственно и b(ч) C m . Тогда решение x(t, b(ч), ч) C m по ч и в силу (2.10) и леммы 2.1 имеет период p. Теорема доказана.

решение имеет разложение по степеням ч:

Следствие 2.2.1 Пусть выполнены условия теоремы 2.2.4. Тогда указанное периодическое
x(t, ч) = v0 (t) + чv1 (t) + ћ ћ ћ + чm vm (t) + o(чm ), ?
(2.11)

причем функции vi (t) имеют период p.

Доказательство. По теореме 2.2.4 функция x(t, b(ч), ч) C

по ч. Значит, имеет место (2.11). Так как x(t, ч) периодическая функция по t с периодом p, то

m

0 = x(t + p, b, ч) - x(t, b, ч) = d0 + d1 ч + ћ ћ ћ + dm чm + o(чm ), ?
откуда di = 0. Осталось заметить, что di = vi (t + p) - vi (t). Следствие доказано.

Вынужденные колебания автономной системы. Рассмотрим систему ОДУ
x = F (x) + чf (t), f (t + p) = f (t).
(2.12)

Пусть x0 положение равновесия при ч = 0, т.е. F (x0 ) = 0; ч мало, f (t) C (R), F (x) C m+1 в окрестности x0 . Замена x = x0 +чy приводит (2.12) к виду чy = F (x0 +чy )+чf (t). Так как F (x0 ) = 0, то по формуле Тейлора F (x0 +чy ) = чAy +r(ч, y ), где A =
m+1 2 Fi xj

rC по y , r(ч, y ) = ч g (y , ч) и задача (2.12) имеет вид y = Ay + f (t) + чg (y , mu), g m C . Если собственные значения матрицы A удовлетворяют условию (2.6), то по теореме 2.2.4 эта система при достаточно малых ч имеет единственное решение с периодом p.
15

x=x

0

,


Пример. Рассмотрим уравнение x + 2x + x2 - 1 = ч sin t, x R. При ч = 0 есть два Е положения равновесия: x0 = 1, x0 = -1. Найдем периодическое решение, близкое к x0 . 1 2 1 Замена x = 1 + чy дает y + 2y + 2y = sin t - чy 2 . Е Здесь p = 2 , = -1 + i = 2ik . Значит, условие (2.6) выполнено, и согласно следствию p 2.1 при малых ч имеем y (t, ч) = v0 (t) + чv1 (t) + . . . , vi (t) имеют период 2 . Подставляя, получаем v0 + 2v0 + 2v0 = sin t, Е
2 v1 + 2v1 + 2v1 = -v0 , Е

v2 + 2v2 + 2v2 = -2v0 v1 , Е
и так далее. Для каждого из этих уравнений надо найти только частное решение, т.к. по 2 теореме 2.2.4 решение с периодом 2 единственно. Отсюда v0 = a cos t + b sin t, a = - 5 , 1 2 1 1 3 2 1 1 2 b = 5 , т.е. v0 = - 5 cos t + 5 sin t. Далее, v0 = 10 + 50 cos 2t - 25 sin 2t, v1 = - 20 - 100 cos 2t - 1 sin 2t и так далее. Таким образом, 50

2 1 1 1 1 x(t, ч) = 1 + ч(- cos t + sin t) + ч2 (- - cos 2t - sin 2t) + o(ч2 ). ? 5 5 20 100 50
Упражнения. 1. Найти следующий член в разложении x(t, ч). 2. Найти периодическое решение, близкое к x0 = -1. 2 А.Ф.Филиппов, ?Введение в теорию дифференциальных уравнений" , 24

Литература:

2.3 Первые интегралы для ОДУ.
Первые интегралы и интегральные кривые. Рассмотрим систему ОДУ
x = f (t, x), x : R Rn , f : R Ч Rn Rn , f C 1 .
(2.13)

Определение 2.3.1 Интегральной кривой системы (2.13) называется график (t, x(t))
функции x(t) решения (2.13).

Определение 2.3.2 Первым интегралом системы (2.13) в области D называется
функция v (t, x) C 1 , сохраняющая постоянное значение вдоль каждой проходящей в D интегральной кривой системы (2.13), то есть для любой кривой {(t, x(t))} D найдется C такое, что v (t, x(t)) = C .
Геометрический смысл первого интеграла описывается следующим утверждением.

= 0, c любое из значений, принимаемых в D функцией v . Тогда равенство v (t, x) = c определяет n-мерную поверхность в Rn+1 , целиком состоящую из интегральных кривых системы (2.13).
16

Утверждение 2.3.1 Пусть v (t, x) первый интеграл системы (2.13), i такое, что
v xi


Доказательство. Пусть P точка на поверхности v (t, x) = c. Тогда v (P ) = c. Проведем

через P интегральную кривую {(t, x(t))}. По определению первого интеграла v (t, x(t)) = v (P ) = c, т.е. вся эта кривая лежит на той же поверхности. Утверждение доказано. Требование v (t, x(t)) = c можно переписать в виде уравнения в частных производных: dv (t,x(t)) = 0, откуда dt n v dxj v + = 0, t j =1 xj dt

и, использовав уравнение (2.13), получаем

v + t

n

fj (t, x)
j =1

v = 0. xj

(2.14)

v Заметим также, что знание первого интеграла v (t, x), у которого xi = 0, позволяет свести систему (2.13) к системе с меньшим числом неизвестных функций: для этого нужно разрешить равенство v (t, x) = 0 относительно xi и подставить полученное xi (t, x1 , . . . , x в (2.13).

i-1

,x

i+1

,

Множество первых интегралов и его свойства. Пусть v1 , . . . , vk первые интегралы
системы (2.13). Возьмем произвольную функцию : Rk R, C 1 (Rk ). Нетрудно видеть, что функция (v1 (t, x), . . . , vk (t, x)) также является первым интегралом системы (2.13). Таким образом, множество первых интегралов бесконечно. Опишем структуру этого множества.

Определение 2.3.3 Первые интегралы v1 , . . . , vk называются функционально независимыми vi в D, если в каждой точке D ранг матрицы ( xj ) равен k .
неверно: функции v1 = t - x и v2 = (t - x)2 линейно независимы, но функционально зависимы.

Замечание 2.3.1 Из линейной зависимости следует функциональная, однако, обратное

Теорема 2.3.5 В окрестности любой точки M = (t0 , x0 , . . . , x0 ) области D существует 1 n
n функционально независимых первых интегралов системы (2.13).

Доказательство. Для любой точки (t0 , c1 , . . . , cn ) существует единственное решение системы (2.13), проходящее через эту точку: x = (t, c), причем C 1 по c в силу теоремы 2.1.3. Так как i (t0 , c) = ci , то при t = t0 матрица ( ji ) единичная. Значит, c якобиан системы xi = i (t, c) при t = t0 отличен от нуля. Отсюда по теореме о неявных функциях эту систему можно разрешить относительно c в некоторой окрестности M : c = v (t, x). Покажем, что vi (t, x) функционально независимые первые интегралы системы (2.13). Действительно, для каждой интегральной кривой {(t, x(t))} во всех точках этой кривой числа c1 , . . . , cn постоянны. Значит, vi постоянны вдоль интегральных интегральных кривых и являются первыми интегралами. Далее, при фиксированном t близком к t0 системы функций (t, c) и v (t, x) взаимно обратны. Значит, произведение vi их якобианов равно единице, откуда следует, что det( xj ) = 0. Значит, ранг матрицы
vi ( xj ) равен n, что и означает, что функции vi (t, x) функционально независимы. Теорема доказана.

17


Теорема 2.3.6 Пусть v1 , . . . , vn независимые первые интегралы системы (2.13) в области D, точка M = (t0 , x0 ) D, ci = vi (M ). Тогда решение системы (2.13) с начальными условиями x(t0 ) = x0 определяется как неявная функция системой уравнений
vi (t, x) = ci .
(2.15)

vi det( xj ) = 0, т.к. vi функционально независимы. По теореме о неявных функциях систему (2.15) можно разрешить относительно x:

Доказательство. Система (2.15) для xi (t0 ) = x0 верна в точке M , и в этой точке i

xi = i (t, c)

(2.16)

Функции i удовлетворяют системе (2.15). С другой стороны, решение (2.13) удовлетворяет (2.15) при t = t0 в силу выбора постоянных c1 , . . . , cn . Оно удовлетворяет (2.15) и при других t, так как первые интегралы постоянны вдоль решения. В силу единственности неявной функции это решение имеет координаты xi , совпадающие с (2.16). Теорема доказана.

Теорема 2.3.7 Пусть v1 , . . . , vn функционально независимые первые интегралы системы
(2.13) в окрестности U точки M = (t0 , x ). Тогда любой первый интеграл w системы (2.13) в некоторой окрестности точки M является функцией от vj , т.е. найдется F C 1 такая, что w = F (v ).

теореме, система (2.15) определяет решение (2.16) системы (2.13). Такие решения заполняют окрестность U1 U точки M . Вдоль каждого из них w = const, то есть w(t, (t, c)) = w(t0 , (t0 , c)). Обозначим F (c) = w(t0 , (t0 , c)). Тогда F C 1 . Переходя от c к x в силу (2.16), а затем от x к v в силу (2.15), получаем w(t, x) = F (v (t, x)). Теорема доказана.

Доказательство. Пусть M = (t0 , x0 ) U , ci = vi (M ). Тогда, как и в предыдущей

Первые интегралы автономной системы. Система
x = f (x),
(2.17)

где f C 1 , удовлетворяет условиям теоремы 2.3.5 и потому в окрестности любой точки имеет n функционально независимых первых интегралов вида v (t, x). Оказывается, что в силу специального вида системы имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3.8 В окрестности любой неособой точки система (2.17) имеет n - 1
функционально независимый первый интеграл вида v (x), т.е. не зависящий от t.

Без ограничения общности можно считать fn (B ) = 0. Тогда в силу непрерывности f

Доказательство. Пусть B = x0 неособая точка. Тогда найдется i такое, что fi (B ) = 0.

18


существует окрестность U точки B такая, что fn (x) = 0 в U . Поделив все уравнения системы (2.17) на n-ное, в области U имеем:

dxi fi (x) = . dxn fn (x)

(2.18)

По теореме 2.3.5 эта система в некоторой окрестности точки B имеет n-1 функционально независимых первых интегралов vi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , n - 1. Эти первые интегралы постоянны вдоль решений системы (2.18), т.е. вдоль траекторий системы (2.17). Значит, они являются первыми интегралами системы (2.17). Независимость vi для системы vi (2.18) означает, что ранг матрицы ( xj )i,j =1,...,n-1 равен n - 1. Отсюда следует, что vi (x) функционально независимы и для системы (2.17). Теорема доказана. Упражнения. 1. Доказать, что если функции v1 , . . . , vn линейно зависимы, то они функционально зависимы. 2. Найти не зависящий от t первый интеграл системы, эквивалентной уравнению x + x = Е 0. Каков его физический смысл? А.Ф.Филиппов, ?Введение в теорию дифференциальных уравнений" , 25

Литература:

Часть III

Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.
3.1 Линейные уравнения в частных производных первого порядка.
Определение 3.1.1 Линейным однородным уравнением в частных производных (УрЧП)
первого порядка называется
n

aj (x)
j =1

z = 0, xj

(3.1)

где z = z (x) искомая функция, aj (x) C 1 (D) известные функции, для которых выполнено условие
n

a2 (x) = 0 x D. j
j =1

(3.2)

19


Теорема 3.1.1 Функция z (x) C 1 (D) является решением (3.1) тогда и только тогда,
когда z (x) не содержащий t первый интеграл системы ОДУ

dxi = ai (x). dt

(3.3)

Доказательство. Пусть z (x) первый интеграл (3.3), тогда для любого решения x(t)
системы (3.3) найдется константа c такая, что z (x(t)) = c. Переписывая это равенство x в виде dz(dt(t)) = 0, получаем, что для z (x) выполнено равенство

z + t

n

j =1

dxj z = 0, dt xj

(3.4)

откуда и из того, что z = 0, x(t) решение (3.3) получаем, что для z (x) имеет место t (3.1). Обратно, пусть z (x) решение (3.1), x(t) решение (3.3). Тогда в силу (3.1) для функции x z (x(t)) выполнено (3.4). Отсюда dz(dt(t)) = 0, т.е. найдется константа c такая, что z (x(t)) = c. Значит, функция z (x) не зависящий от t первый интеграл (3.3). Теорема доказана.

Лемма 3.1.1 Пусть a1 (x) = 0, первые интегралы v1 (x), . . . , vn-1 (x) системы (3.3) функционально независимы в области D. Тогда система (3.3) сводится к
dxi ai (x) = , i = 2, . . . , n dx1 a1 (x)
с теми же первыми интегралами.
(3.5)

Доказательство. В точности совпадает с частью доказательства теоремы 2.3.8. Теорема 3.1.2 Если v1 (x), . . . , v
(x) независимые первые интегралы системы (3.3) в области D, то для любого решения z (x) задачи (3.1) в окрестности любой точки M D найдется функция F C 1 такая, что
n-1

z (x) = F (v1 (x), . . . , v

n-1

(x))

(3.6)

и наоборот: для любой функции F C 1 формула (3.6) задает решение задачи (3.1).

интеграл системы (3.3), не зависящий от t. Следовательно, по теореме 3.1.1 функция z (x) решение (3.1). Обратно, если z (x) решение (3.1), то при a1 (M ) = 0 по теореме 3.1.1 и лемме 4.1 функция z (x) первый интеграл системы (3.5). Значит, по теореме 2.3.7 в некоторой окрестности M найдется F C 1 такая, что имеет место равенство (3.6). Если же a1 (M ) = 0, то в силу (3.2) найдется k такое, что ak (M ) = 0, и перенумеровав переменные, можно свести задачу к ситуации a1 (M ) = 0. Теорема доказана. 20

Доказательство. Если F C 1 , то функция z (x), заданная формулой (3.6) первый


3.2 Квазилинейные УрЧП первого порядка.
Определение 3.2.2 Квазилинейным называется уравнение вида
n

aj (x, z )
j =1

z = b(x, z ), xj

(3.7)

где aj (x, z ) C 1 (D), b(x, z ) C 1 (D) известные функции, и имеет место аналог соотношения (3.2) соотношение
n j =1

a2 (x, z ) = 0 (x, z ) D. j

Определение 3.2.3 Системой характеристик для уравнения (3.7) называется система
ОДУ

dxi dz = ai (x, z ), = b(x, z ). dt dt

(3.8)

Траектории системы (3.8) в пространстве x1 , . . . , xn , z называются характеристиками уравнения (3.7).
Очевидно, что линейное однородное УрЧП первого порядка является частным случаем квазилинейного УрЧП. Таким образом, систему (3.3) можно назвать системой характеристик для линейного однородного УрЧП (3.1). Кроме того, теоремы 3.1.1 и 3.1.2 описывают связь между решением УрЧП (3.1) и соответствующей системой характеристик. Получим аналогичную связь для квазилинейного УрЧП (3.7).

Теорема 3.2.3 Поверхность z = f (x1 , . . . , xn ) решение (3.7) тогда и только тогда,
когда эта поверхность состоит из характеристик уравнения (3.7).

Доказательство. Пусть характеристика {(x(t), z (t))} лежит на поверхности z = f (x).

Так как характеристика траектория (3.8), то координаты касательного вектора к ней имеют вид (a1 (x, z ), . . . , an (x, z ), b(x, z )). Так как эта характеристика лежит на поверхности, f то вектор нормали к поверхности ( x1 , . . . , xfn , -1) ортогонален касательному вектору к характеристике, то есть, имеет место равенство
n

aj (x, f (x))
j =1

f (x) - b(x, f (x)) = 0. xj

Если через каждую точку поверхности проходит характеристика, то это уравнение выполнено на всей поверхности, а значит, z = f (x) удовлетворяет (3.7). Обратно, пусть поверхность P = {(x, z ) : z = f (x)} удовлетворяет (3.7), точка M P . Покажем, что через M проходит характеристика, лежащая на P . В области G проекции P на x1 , . . . , xn рассмотрим систему ОДУ

xi = ai (x, f (x)).

(3.9)

Через точку x0 проекцию M на G проходит единственное решение этой системы x(t). Линия L = {(x(t), f (x(t)))} лежит на поверхности P и проходит через M . Покажем, что 21


L характеристика. Первым уравнениям системы (3.8) она удовлетворяет в силу (3.9) и равенства z = f (x) на P . Далее, dz = dt
n

j =1

f dxj = xj dt

n

aj (x, f (x))
j =1

f = b(x, f (x)) xj

в силу того, что z = f (x) решение (3.7). Значит, L удовлетворяет и последнему уравнению (3.8). Следовательно, L характеристика. Теорема доказана.

Теорема 3.2.4 Если v (x, z ) первый интеграл (3.8) в D, в точке M выполнены равенства v (M ) = c, v (M ) = 0, то равенство v (x, z ) = c определяет в окрестности точки M z неявную функцию z = f (x), удовлетворяющую уравнению (3.7). Доказательство. Так как v первый интеграл, то
v + t
n

aj (x, z )
j =1

v v + b(x, z ) =0 xj z

(3.10)

Для неявной функции z (x) в окрестности точки M имеем

z =- xi
откуда, разделив (3.10) на - уравнению (3.7). Теорема доказана.
v z

v xi v z

,
v t

, получаем, так как

= 0, что функция z (x) удовлетворяет

Теорема 3.2.5 Пусть v1 (x, z ), . . . , vn (x, z ) функционально независимые первые интегралы системы (3.8). Функция z (x) решение уравнения (3.7) в окрестности точки M своего графика тогда и только тогда, когда она удовлетворяет равенству
F (v1 (x, z ), . . . , vn (x, z )) = 0
для некоторой функции F C 1 такой, что F (M ) = 0,
F z

(3.11)

(M ) = 0.

Доказательство. Функция F (v1 , . . . , vn ) является первым интегралом системы (3.8). При F (M ) = 0 равенство (3.11) определяет вблизи точки M неявную функцию z (x), z удовлетворяющую (3.7) по теореме 3.2.4. Покажем, что для любой функции z (x) решения (3.7) найдется F C 1 такая, что выполнено (3.11). Без ограничения общности можно считать, что a1 (M ) = 0, тогда вблизи точки M характеристики уравнения (3.7) удовлетворяют системе
ai (x, z ) dz b(x, z ) dxi = , = . dx1 a1 (x, z ) dx1 a1 (x, z )
22 (3.12)


Пусть z = f (x) C 1 решение (3.7), проходящее через точку M = (x0 , z0 ). Тогда решение (3.12) с начальными условиями xi (x0 ) = ci , z (x0 ) = f (x0 , c) + q обозначим 1 1 1

xi = i (x1 , c, q ), z = n+1 (x1 , c, q ).
При x1 = x0 , ci = x0 , q = 0 получаем точку M . В этой точке якобиан 1 i

(3.13)

det

i (c, q )

=1

в силу начальных условий. Значит, по теореме о неявной функции систему (3.13) можно разрешить относительно c, q : ci = wi (x, z ), q = wn+1 (x, z ). Аналогично доказательству теоремы 2.3.5 можно доказать, что wi (x, z ) первые интегралы системы (3.12). При этом поверхность z = f (x) совпадает с поверхностью wn+1 (x, z ) = 0, так как обе они состоят из характеристик решений системы (3.12) с начальными условиями c; q = 0. По теореме 2.3.7 найдется функция F C 1 такая, что wn+1 = F (v1 , . . . , vn ), где vi функционально независимые первые интегралы системы (3.12) (они совпадают с первыми интегралами системы (3.8) согласно лемме 4.1). Покажем, что
wn+1 z

0. В этой точке, в силу начальных условий, имеем wn+1 (x0 , z ) = q = z - f (x0 ), откуда wn+1 = 1 = 0. z
Теорема доказана.
(x,z )=M

(x,z )=M

=

Замечание 3.2.1 Если z входит только в один из первых интегралов системы (3.8),
то вместо (3.11) для нахождения z (x) можно использовать уравнение

vn (x, z ) = H (v1 (x), . . . , v
где h C 1 произвольная функция.

n-1

(x)),

Упражнения. 1. Провести подробное доказательство леммы 4.1. 2. Доказать, что функции wi (x, z ) из доказательства теоремы 3.2.5 первые интегралы системы (3.12). А.Ф.Филиппов, ?Введение в теорию дифференциальных уравнений" , 26 Доброхотов, 1

Литература:

3.3 Задача Коши для квазилинейных УрЧП.
Теорема существования и единственности решения. Для простоты формулировок
будем рассматривать случай двух независимых переменных.

Определение 3.3.4 Задачей Коши называется задача о нахождении поверхности
z = f (x, y ), удовлетворяющей уравнению a1 (x, y , z ) z z + a2 (x, y , z ) = b(x, y , z ) x y
23 (3.14)


и проходящей через линию L, заданную параметрически:

x = 1 (s), y = 2 (s), z = 3 (s).

(3.15)

При этом предполагается, что aj C 1 , b C 1 , j C 1 , для функций aj выполнено условие (3.2).
Идея построения решения задачи Коши (3.14)-(3.15) заключается в том, чтобы провести характеристику через каждую из точек кривой L. Если из этих характеристик удастся составить поверхность z = f (x, y ) C 1 , то согласно теореме 3.2.3 эта поверхность искомая.

Теорема 3.3.6 Пусть на дуге L1 линии L, заданной двойным неравенством s1 s
s2 , выполнено условие нехарактеристичности det a1 (1 (s), 2 (s), 3 (s)) 1 (s) a2 (1 (s), 2 (s), 3 (s)) 2 (s) = 0.
(3.16)

Тогда в некоторой окрестности любой точки дуги L1 существует единственное решение задачи Коши (3.14)-(3.15).

Доказательство. Так как ai C 1 , b C 1 , a2 + a2 = 0, то через любую точку 1 2
x = 1 (t, s), y = 2 (t, s), z = 3 (t, s).

(1 (s), 2 (s), 3 (s)) дуги L1 проходит единственная характеристика, задаваемая уравнениями
(3.17)

Функции (3.17) удовлетворяют системе (3.8) с начальными условиями j (0, s) = j (s). Тем самым, формулы (3.17) задают искомую поверхность z = f (x, y ) параметрически. Далее, функции j C 1 по теореме о дифференцируемости решения по параметру (теорема 2.1.3). Кроме того, уравнения (3.17) имеют место в каждой из точек дуги L1 , причем x = a1 , y = a2 , и из начальных условий sj = j (s). Поэтому якобиан t t

det

1 t 2 t

1 s 2 s

= det
L
1

a a

1 2

1 2

=0
L
1

в силу (3.16). Значит, в окрестности любой точки дуги L1 первые два уравнения системы (3.17) можно разрешить относительно t, s и получить t = t(x, y ), s = s(x, y ) C 1 . Подставляя эти выражения в третье уравнение (3.17), получаем z = 3 (t(x, y ), s(x, y )) C 1 . Существование доказано. Единственность следует из того, что по теореме 3.2.3 любое решение поверхность, составленная из характеристик, т.е. в параметрическом виде удовлетворяет системе (3.17); вблизи дуги L1 функции t(x, y ) и s(x, y ) определяются из этой системы единственным образом, а значит, z (x, y ) тоже. Теорема доказана.

24


Часть IV

Алгоритмы интегрирования задачи Коши для линейного и квазилинейного УрЧП.
Важным является тот факт, что доказательство теоремы 3.3.6 является конструктивным, т.е. позволяет построить решение задачи Коши (3.14)-(3.15). Тем самым, мы получили следующий алгоритм.

4.1
:

Алгоритм интегрирования задачи Коши (А1)

1. Выписать систему характеристик и начальные данные для нее:
x = a1 (x, y , u), x|t=0 = 1 (s), y = a2 (x, y , u), y |t=0 = 2 (s), u = b(x, y , u), u|t=0 = 3 (s),
При этом параметры s1 и s2 пока произвольны. 2. Решить систему (4.1), т.е. найти

s [s1 , s2 ]

(4.1)

x = 1 (t, s), y = 2 (t, s), u = 3 (t, s).

3. Проверить условие разрешимости (3.16), получив тем самым область разрешимости
[s1 , s2 ]. 4. Выразить (t, s) через (x, y ):

t = T (x, y ), s = S (x, y ).

5. Подставить u(x, y ) = 3 (T (x, y ), S (x, y )).

Рассмотрим теперь линейное УрЧП с двумя переменными:

a1 (x, y )ux + a2 (x, y )uy + b(x, y )u = f (x, y ).

(4.2)

Это уравнение является частным случаем квазилинейного УрЧП (3.14), и, модифицируя алгоритм А1 для того, чтобы решить задачу Коши (4.2),(3.15), получаем следующий алгоритм.

4.2
:

Алгоритм интегрирования задачи Коши(А2)
25


1. Выписать систему характеристик и начальные данные для нее:
x = a1 (x, y ), x|t=0 = 1 (s), y = a2 (x, y ), y |t=0 = 2 (s), s [s1 , s2 ]

Эта система является автономной системой первого порядка из двух уравнений, она допускает понижение порядка (переход к y (x)). Найти решение этой системы x = 1 (t, s), y = 2 (t, s). При этом параметры s1 и s2 пока не определены. 2. Записать уравнение характеристик для u:

u = f (1 (t, s), 2 (t, s)) - b(1 (t, s), 2 (t, s))u, u|

t=0

= 3 (s),

и решить его, получив u = 3 (t, s). 3. Проверить условие разрешимости (3.16), получив тем самым область разрешимости [s1 , s2 ]. 4. Выразить (t, s) через (x, y ):

t = T (x, y ), s = S (x, y ).

5. Подставить u(x, y ) = 3 (T (x, y ), S (x, y )).

4.3 Обобщение алгоритма А2 на случай произвольной размерности. Интегрирование уравнений неразрывности и переноса.
Теорема 4.3.1 Пусть гладкая гиперповерхность в Rn , u0 (x) гладкая функция на
, aj (x), b(x), f (x) C 1 (D), D Rn , векторное поле a(x) = 0 во всех точках x D. Пусть также задана параметрически в виде = {X 0 ( ), Rn-1 }, и выполнено условие нехарактеристичности det
Тогда решение задачи

X 0 ; a(X 0 ( )) j

= 0.

< a(x),

x

u > +b(x)u = f (x), u| = u0 (x)

существует, единственно в некоторой окрестности гиперповерхности и находится по алгоритму А2, в котором первый шаг надо заменить на: 1. Выписать x = a(x), x(0) = X 0 ( ) и решить эту систему, получив X = (t, ).

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 3.3.6.

Применим обобщенный алгоритм А2 к задаче Коши для уравнения неразрывности. Уравнение неразрывности уравнение на плотность (x, t) идеальной сжимаемой жидкости, текущей с заданным полем скоростей v (x, t) C 1 (R4 ). Оно имеет вид

+ divx ( v ) = 0. t
26

(4.3)


Зададим также начальное распределение плотности

|

t=0

=

0

(x) C

1

(4.4)

Проинтегрируем задачу Коши (4.3)-(4.4). Преобразуя (4.3), имеем

+ t

3

v
j =1

j

+ divx v = 0. xj

Значит, задачу Коши (4.3)-(4.4) можно интегрировать по обобщенному алгоритму А2. Для этого заметим сначала, что гиперповерхность может быть параметризована естественным образом: = {( , 0), R3 }. Применяя обобщенный алгоритм А2, получим:

xj = vj (x, ), x| =0 = j , t = 1, t| =0 = 0,

(4.5)

откуда t = . Пусть x = ( , t) решение этой системы, тогда для ( , ) уравнение характеристики имеет вид

( ( , ), ) + ( ( , ), )(divx v )|
и его решение

x= ( , ),t=

= 0, |

=0

=

0

( ),



( ( , ), ) =

0

( ) exp(-
0

(divx v )|

x= ( , ),t=

d )

(4.6)

Далее, разрешая x = ( , ) относительно , с учетом того, что t = , имеем = S (x, ). Подставив это в (4.6), имеем

(x, t) = 0 ( ) exp(-
0

(divx v )|

x= ( , ),t=

d )
=S (x,t)

(4.7)

Попробуем упростить эту формулу. Для этого докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 4.3.1 (Формула Лиувилля) Якобиан Jx ( , t) = det(
dJx = Jx ћ (divx v )| dt
x= ( , )

i j

) удовлетворяет уравнению

Доказательство. Система (4.5) удовлетворяет всем условиям теоремы 2.1.3, отсюда
d dt i j
3

=
k=1

vi k , x k j

27


и, обозначив Y =

i j

, имеем

Y=

vi xk

Y.
i,k=1,...,3

Далее, Y (0) = E , значит, матрица Y невырожденная при малых t, т.е. Jx = 0 и по правилу дифференцирования невырожденной матрицы получаем

dJx = det Y ћ tr(Y Y dt откуда следует утверждение леммы.
переписать в виде

-1

),

Теорема 4.3.2 Пусть при t [0, T ], R3 верно Jx = 0. Тогда формулу (4.7) можно
(x, t) = ( ) Jx ( , t)
0

.
=S (x,t)

Доказательство. В силу леммы Лиувилля имеем
(divx v )|
x= ( ,t)

=

Jx , Jx

откуда экспонента в формуле (4.7) имеет вид
t

exp -
0

Jx d Jx

= exp(- ln Jx ( , t) + ln Jx ( , 0)) =

1 , Jx ( , t)

так как Jx ( , 0) = 1. Отсюда следует утверждение теоремы. Уравнение переноса имеет вид
3

vj (x, t)
j =1

+ + f (x, t) = 0, xj t

(4.8)

где v (x, t) потенциальное поле с потенциалом S (x, t): v (x, t) = f (x, t) = 1 S (x, t). Зададим начальные условия 2

S (x, t), а функция
(4.9)

|

t=0

= 0 (x) C0 (R3 )

Пусть X (x0 , t) решение системы характеристик

x = v (x, t), x|
и якобиан Jx = det
xi x0 j

t=0

= x0 ,

= 0 при t [0, T ], x0 (x, t) решение системы x = X (x0 , t).

Теорема 4.3.3 Решение задачи Коши (4.8)-(4.9) на отрезке [0, T ] задается формулой
(x, t) = 0 (x0 ) Jx (x0 , t)
28
x0 =x0 (x,t)

.


Доказательство. Пусть (x, t) = 2 (x, t), тогда (x, t) удовлетворяет уравнению
+< t
Так как v (x, t) =
x x

, v (x, t) > + S = 0.

S (x, t), то это уравнение имеет вид + divx ( ћ g radx S ) = 0. t

Последнее уравнение уравнение неразрывности. Отсюда и из теоремы 4.3.2 следует доказываемое. Упражнения. 1. Провести подробное доказательство теоремы 4.3.1. 2. Провести подробное доказательство теоремы 4.3.3. А.Ф.Филиппов, ?Введение в теорию дифференциальных уравнений" , 26 Доброхотов, 1

Литература:

Часть V

Введение в теорию нелинейных УрЧП первого порядка.
5.1 Полные интегралы и огибающие.
Пусть F (p, z , x) C 1 (Rn Ч R Ч Rn ). Рассмотрим нелинейное УрЧП первого порядка

F(

x

u, u, x) = 0.

(5.1)

Пусть A Rn открытое множество, и a (5.1) такое, что u(x, a) C 2 . Обозначим (D ua 1 ua 2 2 (Da u, Dxa u) = ... ua n

A существует функция u(x, a) решение 2 a u, Dxa u) матрицу ux 1 a 1 . . . u x n a 1 ux 1 a 2 . . . u x n a 2 . ... ... ... ux1 an . . . uxn an

Определение 5.1.1 Функция u(x, a) называется полным интегралом уравнения (5.1)
в U Ч A, если 1) u(x, a) решение (5.1) для всех a A. 2 2) rank(Da u, Dxa u) = n для всех x U , a A.

параметров a1 , . . . , an , т.е. не существует множества B Rn-1 такого, что каждому a A соответствует b B по закону u(x, a) = (x, b) x U .
29

Замечание 5.1.1 Условие 2) в определении означает, что u(x, a) зависит от всех


Доказательство. Предположим противное. Тогда существует отображение : A B , заданное соотношением u(x, a) = (x, (a)). Будем считать, что C 1 . Тогда uxi aj =
n-1 k=1 k xi bk (x, (a))aj (a). Отсюда видно, что n-1

det(D u) =
k1,k2 ,...,kn =1

2 xa



x1 b

k1



x2 bk2

...

xn bkn

det = 0,

где матрица имеет вид

k1 a1 . . . = ... ... kn a1 . . .

k1 an ... , kn an

так как при любом выборе kj в матрице есть минимум два одинаковых столбца. 2 Аналогично доказывается, что для всех подматриц матрицы (Da u, Dxa u) размера n Ч n 2 их определители равны нулю, откуда следует, что rank(Da u, Dxa u) < n.

Определение 5.1.2 Пусть u = u(x, a) C 1 , x U Rn , a A Rm . Рассмотрим
систему алгебраических уравнений на a:

u(x, a) = 0. ai

(5.2)

Пусть функция a = (x) C 1 решение (5.2). Тогда функция v (x) = u(x, (x)) называется огибающей семейства функций {u(x, a), a A}.

Теорема 5.1.1 Пусть для всех a A функция u(x, a) решение (5.1), существует v (x) огибающая, v (x) C 1 . Тогда v (x) решение (5.1) и называется особым интегралом (5.1). Доказательство. Положим v (x) = u(x, (x)), где (x) решение системы алгебраических
уравнений (5.2). Тогда в силу (5.2) имеем
m

vxi = uxi (x, (x)) +
j =1

j uaj (x, (x)) = uxi (x, (x)). xi

Отсюда для любого x U получаем

F(

x

v (x), v (x), x) = F (

x

u(x, (x)), u(x, (x)), x) = 0,

так как u(x, a) решение (5.1) для всех a A. Теорема доказана. Увеличим число решений, которые можно получить из полного интеграла, следующим образом: пусть A Rn-1 , h C 1 , h : A R, график h лежит в A.

Определение 5.1.3 Общим интегралом (зависящим от h) уравнения (5.1) называется
огибающая v (x) семейства функций u (x, a ) = u(x, a , h(a )) при условии, что она существует и принадлежит классу C 1 .
30


Замечание 5.1.2 Исходя из полного интеграла, можно построить решение, зависящее
от произвольной функции h C 1 (R линейная функция.
n-1

).

Замечание 5.1.3 Общий интеграл для (5.1) дает не все решения (5.1), если F не Доказательство. Рассмотрим F (p, z , x) = F1 (p, z , x) ћ F2 (p, z , x). Если u1 (x, a) полный

интеграл уравнения F1 ( x u, u, x) = 0, то соответствующий ему общий интеграл является общим интегралом и для F ; однако, при этом ?потеряны" все решения уравнения F2 ( x u, u, x) = 0.

Примеры и упражнения. Уравнение Клеро. Рассмотрим уравнение
< x, u > +f ( u) = u,
где f заданная функция. Полный интеграл для этого уравнения имеет вид u(x, a) =< x, a > +f (a). Действительно, x u(x, a) = a, откуда следует, что u(x, a) решение a 2 2 Rn ; Da u(x, a) = x + f (a), Dxa u = E , а значит, rank(Da u, Dxa u) = n. Пусть f (a) =< a, a >. Построим соответствующий указанному полному интегралу особый интеграл. Система (5.2) в этом случае имеет вид xi + 2ai = 0, откуда a = - x , и функция v (x) = 2 |x|2 - 4 особый интеграл. Уравнение эйконала. Рассмотрим уравнение

| u| = 1 .
Соответствующий полный интеграл имеет вид u(x, a, b) =< a, x > +b, a B (0, 1), b R. (Здесь B (0, 1) = {a Rn , |a| 1} шар радиуса 1 с центром в нуле). Пусть n = 2. Построим соответствующий указанному полному интегралу особый интеграл. Так как a B (0, 1), то a = (cos , sin ), u(x, a, b) = x1 cos + x2 sin + b. Положим для простоты b = h(a) = 0. Тогда система (5.2) имеет вид

-x1 sin + x2 cos = 0,
x2 откуда tg = x2 , а значит, функция v (x) = x1 cos(arctg x1 ) + x2 sin(arctg x1 решение уравнения эйконала при x = 0. Уравнение Гамильтона-Якоби. Рассмотрим уравнение x x
2 1

) = +|x|

ut + H ( u) = 0 .
Полный интеграл для этого уравнения имеет вид

u(t, x, a, b) =< a, x > +b - tH (a), x Rn , t 0.
Пусть для простоты H (p) = |p|2 , h = 0, тогда u (t, x, a) =< a, x > x находится из системы (5.2): x - 2at = 0, откуда a = 2t , и огибающая 2 |x| . 4 Упражнения. 1. Показать, что u(x, a, b) =< a, x > +b, a B (0, интеграл для уравнения эйконала. 2. Показать, что u(t, x, a, b) =< a, x > +b - tH (a), a Rn , b R, x интеграл для уравнения Гамильтона-Якоби. 31

-t|a|2 , огибающая имеет вид v (x, t) = 1), b R полный Rn , t 0 полный


5.2 Вывод характеристических уравнений. Задача Коши.
Попытаемся, как и в квазилинейном случае, свести задачу (5.1) к системе ОДУ. Для этого рассмотрим задачу Коши, соответствующую (5.1):

F ( u, u, x) = 0, x U, u| = g (x),

(5.3)

где U , g : R гладкая функция, F C 1 . План решения задачи (5.3) следующий: зафиксируем x U и попробуем найти кривую, лежащую в U и соединяющую точку x с точкой x0 , вдоль которой можно было бы вычислить значения функции u(x). Эта кривая и будет характеристикой уравнения (5.1). Кривую будем искать в виде x(s) = (x1 (s), . . . , xn (s)), s I R. Пусть u(x) C 2 (U ) решение (5.1). Положим z (s) = u(x(s)), p(s) = x u(x(s)). Продифференцировав по s равенства pi (s) = uxi (x(s)), имеем
n

pi (s) =
j =1

2 u(x(s)) ћ xj (s). xi xj

(5.4)

С другой стороны, продифференцировав (5.1) по xi , получим
n

j =1

F 2u F u F ( u, u, x) + ( u, u, x) + ( u, u, x) = 0. pj xi xj z xi xi

(5.5)

Пусть также

xj (s) =

F (p(s), z (s), x(s)). pj

(5.6)

Воспользуемся этим и равенством (5.5) для того, чтобы избавиться от вторых производных функции u(x) в (5.4). Получим на кривой x(s):
n

j =1

F 2u F F (p(s), z (s), x(s)) + (p(s), z (s), x(s))pi (s) + (p(s), z (s), x(s)) = 0, pj xi xj z xi

откуда

pi (s) = -

F F (p(s), z (s), x(s))pi (s) + (p(s), z (s), x(s)) . z xi

(5.7)

Далее, продифференцировав по s равенство z (s) = u(x(s)), имеем
n

z (s) =
j =1

u (x(s))xj (s), xj F (p(s), z (s), x(s)). pj
32

n

z (s) =
j =1

pj (s) ћ

(5.8)


Переписывая (5.6)-(5.8) в векторной форме, получаем p(s) = - x F (p, z , x) - z F (p, z , x)p(s) z (s) =< p F (p, z , x), p > . x(s) = p F (p, z , x)

(5.9)

Эта система называется системой характеристических уравнений для уравнения (5.1), а кривая (x(s), z (s), p(s)) характеристикой. Таким образом, доказана следующая теорема

Теорема 5.2.2 Пусть функция u(x) C 2 (U ) решение уравнения (5.1) в области U ,
x(s) решение уравнения ћx(s) = p F (p, z , x), где z (s) = u(x(s)), p(s) = x u(x(s)). Тогда p(s) и z (s) решения соответствующих уравнений системы (5.9) для s таких, что x(s) U .

Вспомогательные утверждения. Для простоты будем считать, что {xn = 0}.

Выясним, какой вид должны иметь начальные данные p(0) = p0 , z (0) = z 0 , x(0) = x0 для системы (5.9). Очевидно, что x0 , z 0 = g (x0 ). Для p0 в силу (5.3) имеем p0 = gxi (x0 ), i i = 1, . . . , n - 1; F (p0 , z 0 , x0 ) = 0.

Определение 5.2.4 Набор (p0 , z 0 , x0 ) допустимый, если выполнены условия согласования
z 0 = g (x0 ), p0 = gxi (x0 ), i = 1, . . . , n - 1, F (p0 , z 0 , x0 ) = 0. i
(5.10) Попытаемся найти функцию q (y ) такую, что для всех точек y , близких к x0 , тройка (q (y ), g (y ), y ) допустима.

Лемма 5.2.1 (Нехарактеристические граничные условия.) Пусть тройка (p0 , z 0 , x0 )
допустима и выполнено условие нехарактеристичности

F 0 0 0 (p , z , x ) = 0. pn

(5.11)

Тогда существует единственное решение q (y ) задачи qi (y ) = gxi (y ), F (q (y ), g (y ), y ) = 0 для всех y , достаточно близких к x0 .

Доказательство. Применим теорему о неявной функции к системе уравнений
pi - gxi (y ) = 0, i = 1, . . . , n - 1; F (p, g (y ), y ) = 0.
Эта система выполнена при pi = p0 i 1 0 0 1 ... ... det 0 0 00 0 00 Fp1 (p , z , x ) Fp2 (p , z , x0 ) , y = x0 . Кроме того, ее якобиан по p равен ... 0 0 ... 0 0 = Fpn (p0 , z 0 , x0 ) = 0. ... ... ... ... 1 0 00 0 00 0 . . . Fpn-1 (p , z , x ) Fpn (p , z , x )

Значит, эта система однозначно разрешима относительно p = q (y ) в некоторой окрестности точки x0 . Лемма доказана. 33


Замечание 5.2.4 Если не плоская вблизи x0 , то условие (5.11) принимает вид
<
p

F (p0 , z 0 , x0 ), (x0 ) >= 0,

где (x0 ) внешняя единичная нормаль к в точке x0 .
Обозначим x(y , s) решение последнего из уравнений системы (5.9) с начальными условиями x|s=0 = y , z |s=0 = g (y ), p|s=0 = q (y ).

Лемма 5.2.2 (Локальная обратимость.) Пусть выполнены все условия леммы 6.1. Тогда найдутся такие содержащий ноль промежуток I R, окрестность W точки x0 в и окрестность V точки x0 в Rn , что x V существуют единственные s I , y W такие, что x = x(y , s). Доказательство. Имеем x(x0 , 0) = x0 . По теореме о неявной функции достаточно
проверить, что det(Dy,s x)| in-1
y =x0 ,s=0

= 0. Из равенства x(y , 0) = y , т.к. y , имеем при xj 0 (x , 0) = ij . yi = Fpn (p0 , z 0 , x0 ) = 0

Кроме того, из (5.9) следует, что s xj (x0 , 0) = Fpj (p0 , z 0 , x0 ). Отсюда

det(Dy,s x)|
в силу условия (5.11). Лемма доказана.

y =x0 ,s=0

5.3 Локальная теорема существования.
(5.11). Положим x(y , s), z (y , s), p(y , s) решение задачи (5.9) с начальными условиями x|s=0 = y , z |s=0 = g (y ), p|s=0 = q (y ). В силу леммы о локальной обратимости положим x V : s = s(x), y = y (x), u(x) = z (y (x), s(x)), p(x) = p(y (x), s(x)). Тогда u(x) C 2 и является решением задачи Коши (5.3).

Теорема 5.3.3 Пусть тройка (p0 , z 0 , x0 ) допустима и выполнено условие нехарактеристичности

Доказательство. 1. Решение системы (5.9) с указанными в условии начальными данными
локально существует и единственно. В от y , s; в силу леммы 6.2 функции s(x) 2. Покажем, что f (y , s) = F (p(y , s), z (y , 0 в силу условий согласования (5.10) и

силу леммы 6.1 это решение гладкая функция и y (x) гладкие. Значит, p(x) C 1 . s), x(y , s)) = 0. Действительно, f (y , 0) = F (q (y ), g (y ), y ) = леммы 6.1. Далее,

f = s

n

j =1

F F pj + z+ pj z

n

j =1

F xj = xj

n

j =1

F pj

F F F - - pj + xj z z

n

j =1

F pj + pj

n

j =1

F F =0 xj pj

в силу (5.9). Отсюда и из f (y , 0) = 0 следует f (y , s) = 0 s I . 3. В силу леммы 6.2 и равенства f (y , s) = 0 имеем F (p(x), u(x), x) = 0. Осталось 34


показать, что p(x) = x u(x). 4. Покажем сначала, что для любых s I , y W :

z = s z = yi

n

pj (y , s)
j =1 n

xj , s xj . yi

(5.12)

pj (y , s)
j =1

(5.13)

Равенство (5.12) следует напрямую из второго и третьего уравнений системы (5.9). Для доказательства равенства (5.13) положим

z ri (s) = - yi

n

pj (y , s)
j =1

xj , i = 1, . . . , n - 1. yi

Заметим, что ri (0) = gxi (y ) - qi (y ) = 0 в силу условий согласования. Кроме того,

ri (s) =

2z - yi s
n

n

j =1

pj x j 2 xj + pj s yi yi s

.

Продифференцировав (5.12) по yi , имеем

2z = yi s
n

j =1

pj x j 2 xj + pj yi s yi s
n

.

Из двух последних равенств следует, что

ri =
j =1

pj x j pj x j - yi s s yi
n

=
j =1

pj F F F -- - pj y i pj xj z
n

xj yi

.

Далее, продифференцировав равенство F (p, z , x) = 0 по yi , имеем

j =1

F pj F z + + pj y i z yi F z
n

j =1

F xj = 0. xj y i F ri (s). z

Отсюда

ri =

pj
j =1

xj z - yi yi

=-

Поэтому ri (s) решение линейного однородного ОДУ с начальным условием ri (0) = 0. Значит, ri (s) = 0 и равенство (5.13) доказано. 5. Для j = 1, . . . , n с помощью (5.12) и (5.13) имеем

z s u = + xj s xj
n

n-1

i=1

z yi = y i xj
n-1

n

k=1

xk pk s =

s + xj
n

n-1

n

p
i=1 k=1 n

k

xk yi
jk

yi = xj

=
k=1

pk

xk s + s xj

j =1

xk yi yi x j

k=1

xk pk = xj

pk
k=1

= pj ,

откуда p(x) = x u(x). Теорема доказана. 35


5.4 Характеристики для законов сохранения. Пересекающиеся характеристики.
Рассмотрим задачу Коши для скалярного закона сохранения

ut + divx ((u)) = 0, u|

t=0

= g (x)

(5.14)

в U = Rn Ч (0, +). Положим y = (x, t), t = xn+1 , тогда закон сохранения принимает n вид (5.1), где F (p, z , x) = pn+1 + n=1 j (z )pj . Тогда x F = 0, z F = j j =1 F "j pj , F = ( (z ), 1). Очевидно, что условие нехарактеристичности выполнено для всех p точек y 0 , = Rn Ч {t = 0}. Кроме того, из системы характеристик (5.9) имеем

xi (s) = i (z (s)), t = 1,
и можно считать, что t = s. Далее,
n

z (s) =
j =1

j (z (s))pj + pn

+1

=0

в силу (5.14). Таким образом, z (s) = z 0 = g (x0 ), откуда xi (s) = i (g (x0 ))s + x0 . Значит, спроектированная характеристика y (s) = (x(s), s) прямая, вдоль которой функция u(x) постоянна. Пусть теперь h0 другая точка, причем g (h0 ) = g (x0 ). Тогда характеристики, выходящие из точек h0 и x0 , могут пересечься в некоторый момент времени t0 > 0. Но тогда в точке пересечения мы придем к противоречию, т.к. u(x) должна быть постоянной и различной вдоль этих характеристик. Значит, задача (5.14) в общем случае не имеет гладкого решения, существующего при всех t > 0. Л.К.Эванс, ?Уравнения с частными производными" , 3.1-3.2.4.

Литература:

Часть VI

Уравнение Гамильтона-Якоби и его классическое решение.
6.1 Нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби.
Определение 6.1.1 Нелинейное УрЧП первого порядка вида
ut + H (
x

u, x) = 0

(6.1)

называется нестационарным уравнением Гамильтона-Якоби, а функция H (p, x) C 1 Гамильтонианом. В этом случае в классической механике принято обозначать неизвестную функцию u(t, x) через S (t, x) и называть функцией действия.
36


Данные Коши для уравнения (6.1) имеют вид u| задачу Коши

t=0

= S0 (x), x 0 Rn . Проинтегрируем

ut + H ( x u, x) = 0, u|t=0 = S0 (x)

(6.2)

с помощью метода характеристик, рассмотренного в предыдущей теме. Используя принятые ранее обозначения, имеем F (p, z , x) = pn+1 + H (p, x), откуда, так как p F = p H и xF = x H , следует, что система характеристик имеет вид x = p H, t = 1, (6.3) p = - x H, z =< p, p H > +pn+1 , и начальные условия для нее

t(0) = 0, x(0) = x0 0 , p(0) =

x S0

(x0 ), z (0) = S0 (x0 )

(6.4)

Нетрудно видеть, что такие начальные условия допустимые, а поверхность = 0 Ч {t = 0} удовлетворяет условию нехарактеристичности. Кроме того, можно отождествить время t и параметр характеристики s. Отсюда следует, что уравнения на x и p системы (6.3) с начальными условиями из (6.4) можно переписать в виде

x = p H, x(0) = x0 , p = - x H, p(0) = x S0 (x0 ),

(6.5)

Эта система называется системой ОДУ Гамильтона. Пусть x = X (x0 , t), p = P (x0 , t) ее решение. В силу леммы о локальной обратимости, при малых t существуют функции x0 (x, t) обратные к x = X (x0 , t). Далее, в силу равенства pn+1 + H (p, x) = 0 последнее из уравнений системы характеристик (6.3) можно переписать в виде z =< p, p H > -H (p, x), откуда

z (x0 , t) =
0

t

n

Pj (x0 , )Hpj (P (x0 , ), X (x0 , )) - H (P (x0 , ), X (x0 , )) d + S0 (x0 ),
j =1

(6.6) и, подставляя в (6.6) равенство x0 = x0 (x, t), решение задачи Коши (6.2). Пример (Движение частицы равномерно и Рассмотрим задачу Коши ut + 21 u2 mx u|t=0 = x 2 получаем ответ: u(t, x) = z (x0 (x, t), t) прямолинейно).
2

= 0, .

В этом случае система ОДУ Гамильтона (6.5) имеет вид
p x = m , x(0) = x0 , p = 0, p(0) = x0 ,

37


и ее решение P (x0 , t) = x0 , X (x0 , t) =

x0 m

t + x0 , откуда d + (x0 )2 2 =( + t)(x0 )2 . 2 2 2m

z (x0 , t) =
0

t

x0 ћ

x0 2 (x0 )2 - m 2m

Далее, выражая x0 через x и t, имеем

x0 =
откуда получаем ответ:

x 1+

t m

=

mx , m + t

u(t, x) =

t ћ 1+ 2 m

m 2 x2 mx2 = . (m + t)2 2(m + t)

Физический смысл: система ОДУ Гамильтона эквивалентна уравнению mx = 0 (нет Е p2 внешних сил), функция Гамильтона равна H (p) = 2m кинетическая энергия в силу p x = m. Упражнения. 1. Каков физический смысл функции u(t, x)? 2. Проверить, что начальные условия (6.4) являются допустимыми, а поверхность удовлетворяет условию нехарактеристичности.

6.2 Стационарное уравнение Гамильтона-Якоби.
УрЧП

Определение 6.2.2 Стационарным уравнением Гамильтона-Якоби называется
H(
x

u, x) = 0,

где функция H (p, x) C 1 .
Пусть = {x( ), D Rn-1 } гладкая гиперповерхность. Поставим задачу Коши для стационарного уравнения Гамильтона-Якоби следующим образом:

H ( x u, x) = 0, u| = S0 ( ).

(6.7)

Предположим, что существует функция P0 ( ) такая, что тройка (P0 ( ), S0 ( ), x( )) допустимая. Тогда система характеристик для задачи (6.7) имеет вид

x = p H, x|s=0 = x( ), p = - x H, p|s=0 = P0 ( ).

(6.8)

При этом, очевидно, z =< p, p H >, z |s=0 = S0 ( ). Пусть x = X (s, ), p = P (s, ) решение (6.8). Пусть также выполнено условие нехарактеристичности

<

p

H (P0 ( ), x( )), ( ) >= 0,

38


где ( ) единичная внешняя нормаль к в точке x( ). Тогда по лемме о локальной обратимости существуют обратные функции s = S (x), = K (x) к x = X (s, ). Отсюда
s

z (s, ) =
0

< P ( , ),

p

H (P ( , ), X ( , ) > d + S0 ( ),

и решение задачи (6.7) имеет вид

u(x) = z (S (x), K (x)).
Пример (Уравнение эйконала в случае размерности 2). Рассмотрим задачу Коши | u| = 1 , u|x2 +x2 =1 = 0. 1 2 В этом случае естественная параметризация начальной гиперповерхности имеет вид = {(cos , sin ), [0, 2 )}. Найдем P0 ( ) так, чтобы тройка (P0 ( ), 0, x( )) была допустимой. Для этого запишем условия согласования (5.10):

|P0 ( )| = 1, dS0 ( ) = 0 =< P0 ( ), dx( ) > .
Отсюда в силу первого уравнения имеем P0 ( ) = (cos ( ), sin ( )), и в силу второго уравнения получаем - cos sin + sin cos = 0, т.е. sin(( ) - ) = 0, откуда ( ) = или ( ) = + . Тем самым, можно выбрать два различных допустимых вектора P0 ( ), т.е. решение исходной задачи Коши не единственно. Пусть ( ) = , тогда P0 ( ) = (cos , sin ), и система (6.8) имеет вид

x1 = 2p1 , x2 = 2p2 , p1 = 0, p2 = 0,
откуда x1 = (1 + 2s) cos , x2 = (1 + 2s) sin , p1 ( ) = cos , p2 ( ) = sin ,
s

z (s, ) =
0

(p1 ( ) ћ 2p1 ( ) + p2 ( ) ћ 2p2 ( )) d + 0 = 2s.

Далее, так как (1 + x2 + x2 - 1. 1 2 откуда получаем Упражнение.

+ 2s)2 = x2 + x2 , то решение исходной задачи обязано иметь вид u(x) = 1 2 Очевидно, что знак ?минус" не удовлетворяет начальному условию, ответ: u(x) = x2 + x2 - 1. 1 2 Проинтегрировать уравнение эйконала для случая ( ) = + .

6.3 Вариационное исчисление. Связь с ОДУ Гамильтона.
Определение 6.3.3 Лагранжианом назовем функцию L : Rn ЧRn R, L = L(q , x) C 1 . Зафиксируем точки w1 , w2 Rn , t > 0. Функционалом действия называется
t

I (w(ћ)) =
0

L(w(s), w(s))ds.
39


При этом считается, что функция w(s) принадлежит допустимому классу

A = {w(ћ) C 2 ([0, t]), w : [0, t] Rn , w(0) = w1 , w(t) = w2 }.
что

Задача вариационного исчисления состоит в нахождении кривой x(s) A такой,
I (x(ћ)) = min I (w(ћ))
w(ћ)A

(6.9)

Теорема 6.3.1 (уравнения Эйлера-Лагранжа) Пусть x(s) решение (6.9) существует.
Тогда x(s) решение системы уравнений Эйлера-Лагранжа

-

d ( ds

q

L(x(s), x(s))) +

x

L(x(s), x(s)) = 0.

(6.10)

v I

Доказательство. Выберем функцию v C 2 ([0, t]) такую, что v : [0, t] Rn , v (0) =
(t) = 0. Пусть , откуда I (x(ћ)) (w(ћ, )). Тогда = 0. Значит, f

R. Положим w(s, ) = x(s) + v (s). Тогда w(ћ, ) A для всех I (w(ћ, )) в силу того, что x(s) решение (6.9). Обозначим f ( ) = из вышесказанного следует, что функция f ( ) имеет минимум в точке (0) = 0. Вычисляя эту производную явно, имеем
t n

f ( ) =
0 j =1

L L (x + v , x + v )vj + (x + v , x + v )v qj xj

j

ds.

Используя равенство v (0) = v (t) = 0 и интегрируя по частям первое слагаемое, в силу равенства f (0) = 0 имеем
n 0 t

-
j =1

d L L ( (x, x)) + (x, x) vj ds = 0. ds qj xj

Так как это равенство выполнено для всех гладких функций v (s), удовлетворяющих граничным условиям, то отсюда следует, что

-

d L L ( (x, x)) + (x, x) = 0 j = 1, . . . , n, ds qj xj

и, переписывая это в векторной форме, получаем (6.10). Теорема доказана. Покажем, что система ОДУ второго порядка (6.10) преобразуется к системе ОДУ Гамильтона. Пусть x(s) решение (6.10). Положим p(s) = q L(x(s), x(s)) обобщенный момент, соответствующий координате x(s) и скорости x(s). Потребуем, чтобы было выполнено следующее условие.

однозначно разрешимо относительно q как гладкой функции p, x. функция H (p, x) =< p, q (p, x) > -L(q (p, x), x).
40

Условие 6.3.1 (Условие разрешимости.) Пусть x, p Rn уравнение p =

q

L(q , x)

Определение 6.3.4 Гамильтониан H , ассоциированный с лагранжианом L это


Теорема 6.3.2 Функции x(s) и p(s) удовлетворяют системе ОДУ Гамильтона (6.5).
Кроме того, функция H (p, x) первый интеграл этой системы.
то x(s) = q (p(s), x(s)). Далее,
q

Доказательство. Так как p(s) =
H = xi
n

L(x(s), x(s)) и выполнено условие разрешимости,

pk
k=1

qk L qk L - (p, x) - (q , x). xi qk xi xi

L В силу условия разрешимости имеем pk = qk (q (p, x), x). Значит, сумма в предыдущем L H равенстве состоит из нулевых слагаемых. Следовательно, xi = - xi (q , x). Аналогично,

H = qi (p, x) + pi
Таким образом,
H pi

n

p
k=1

k

qk L qk - pi q k pi

= qi (p, x).

(p(s), x(s)) = qi (p(s), x(s)) = xi (s); L (x(s), x(s)) qi = -pi (s).

H L L d (p(s), x(s)) = - (q (p(s), x(s)), x(s)) = - (x(s), x(s)) = - xi xi xi ds
n n i

Таким образом, функции p(s), x(s) удовлетворяют (6.5). Кроме того,

d H (p(s), x(s)) = ds

i=1

H H pi + x pi xi

=
i=1

H H H H (- )+ pi x i x i pi

= 0.

Таким образом, H (p, x) первый интеграл системы (6.5). Теорема доказана. Упражнение. Обосновать дифференцируемость функции f ( ), определенной в доказательстве теоремы 6.3.1.

6.4 Преобразование Лежандра. Выпуклая двойственность гамильтониана и лагранжиана.
Пусть f (x) выпуклая функция, f : Rn R, т.е. (0, 1) x, y Rn имеет место неравенство f ( x + (1 - )y ) f (x) + (1 - )f (y ).

g (p) = max F (p, x), где F (p, x) =< p, x > -f (x).
x

Определение 6.4.5 Преобразованием Лежандра выпуклой функции f (x) называется

Если функция f (x) дифференцируема, то F (p, x) дифференцируема по x. Положим x = x(p) аргумент, при котором F (p, x) максимальна. Тогда x F (p, x ) = 0, откуда p = x f (x ), и, если такое x существует, то выполнено условие разрешимости, а именно, уравнение p = x f (x) разрешимо относительно x. Поэтому g (p) = f (p) =< p, x(p) > -f (x(p)), и при этом p = x f (x(p)). Таким образом, гамильтониан H (p, x) является преобразованием Лежандра по q для лагранжиана L(q , x) в силу определений из предыдущего пункта. Для простоты изложения будем далее опускать зависимость от x в H и L, т.е. писать H = H (p), L = L(q ). 41


Теорема 6.4.3 (Выпуклая двойственность.) Пусть отображение L(q ) выпуклое.
Тогда H (p) = L (p) также выпуклое, и H (q ) = L(q ).

Доказательство. Пусть q фиксировано. Тогда функция < p, q > -L(q ) линейна, и

для p, p Rn , (0, 1) в силу определения преобразования Лежандра имеем H (p) = ^ L (p) =< p, q (p) > -L(q (p)),

H ( p + (1 - )p) = sup{< p + (1 - )p, q > -L(q )} ^ ^
q

sup{< p, q > -L(q )} + (1 - ) sup{< p, q > -L(q )} = H (p) + (1 - )H (p). ^ ^
q q

Значит, по определению, функция H (p) выпукла. Далее, в силу определения, H (p) = L (p) =< p, q (p) > -L(q (p)) < p, q > -L(q ) p, q Rn , откуда L(q ) sup {< p, q > -H (p)} = H (q ). С другой стороны,
p

Rn

H (q ) = sup {< p, q > - sup{< p, r > -L(r)}},
p

Rn

r

H (q ) = sup inf {< p, q - r > +L(r)}.
p r

(6.11)

Так как отображение L(q ) выпукло, то для любого q Rn найдется s Rn такое, что для любого r Rn имеет место неравенство

L(r) L(q )+ < s, r - q > .
r

(6.12)

Далее, полагая p = s в (6.11), получаем H (q ) inf {< s, q - r > +L(r)} = L(q ), откуда и из доказанного ранее неравенства H (q ) L(q ) следует, что H (q ) = L(q ). Теорема доказана. Функции f (x) и f (p) называются сопряженными по Юнгу. Упражнения. 1. Доказать неравенство Юнга: < p, x > f (x) + f (p). r s 2. Пусть f (x) = |xr| , r > 1. Доказать, что f (p) = |ps| , где 1 + 1 = 1. r s 3. Доказать, что если L(q ) выпуклое отображение, то q Rn найдется s Rn , такое, что r Rn имеет место неравенство (6.12).

6.5 Геометрическая интерпретация уравнения ГамильтонаЯкоби. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.
Рассмотрим фазовое пространство R2n = Rn Ч Rn и задачу Коши для нестационарного x,p уравнения Гамильтона-Якоби:

S + H( t

x

S , x ) = 0, S |

t=0

= S0 (x), x 0 .

(6.13)

42


Решению задачи (6.13) функции S (x, t) сопоставим в фазовом пространстве поверхность

t = {(x, p), x = X (x0 , t), p = P (x0 , t), x0 0 },
где X (x0 , t) и P (x0 , t) решения системы ОДУ Гамильтона с начальными условиями X |t=0 = x0 , P |t=0 = S (x0 ). Изучим сначала свойства поверхности 0 . Пусть a, b 0 , произвольный путь по 0 из a в b. Заметим, что
b

pdx =
(ab) (ab)

S0 (x)dx =
a

dS0 = S0 (b) - S0 (a),

т.е. этот интеграл не зависит от выбора пути . Заметим, что это свойство эквивалентно тому, что для любого замкнутого пути 0 верно равенство pdx = 0.


Определение 6.5.6 Гладкая поверхность размерности n в фазовом пространстве R2n называется лагранжевой поверхностью, если для любого замкнутого пути x,p
по этой поверхности, стягиваемого в точку, верно


pdx = 0.

Свойство лагранжевости поверхности можно переформулировать так: пусть = {(x(), p()), Rn }. Тогда лагранжева, если для любых i, j имеет место равенство

<

x p x p , >-< , >= 0. j i i j

(6.14)

Выражение в левой части (6.14) называется скобкой Лагранжа функций x(), p() по переменным i , j .

Утверждение 6.5.1 Если все скобки Лагранжа равны нулю во всех точках поверхности
, то поверхность лагранжева.

Доказательство. Пусть замкнутый путь, стягиваемый в точку. Тогда по
формуле Стокса имеем
n

pdx =
I nt

dp dx =
I nt k=1

dpk () dxk () = 0

в силу (6.14) и того, что

dpk dxk =
i,j

p k xk pk x k - i j j i

di dj .

Утверждение доказано. Если теперь рассмотреть поверхность t , то оказывается, что имеет место следующее утверждение. 43


Утверждение 6.5.2 Поверхность t лагранжева при малых t.
начальных условий уравнения x = X (x0 , t) локально разрешимы относительно x0 по лемме о локальной обратимости, т.е. x0 = (x, t). Значит, t при фиксированном t является графиком зависящей от x функции P ((x, t), t). В силу теоремы 5.3.3, P (x, t) = x S (x, t). Отсюда, как и для 0 , получаем лагранжевость поверхности t . Утверждение доказано. Рассмотрим теперь расширенное фазовое пространство R2n+2 с координатами (x, t, p, p Определим ?расширение" поверхности t следующим образом:

Доказательство. В силу нехарактеристичности поверхности = {t = 0} и допустимости

n+1

).

n+1] = {(x, t, p, p [0,T

n+1

), x = X (x0 , t), p = P (x0 , t), p
n+1 [0,T ]

n+1

= -H (x, t, p), x0 0 , t [0, T ]}.

Утверждение 6.5.3 Поверхность
путь из a в b по поверхности. Тогда

лагранжева.
n+1 [0,T ]

Доказательство. Пусть a, b две точки на поверхности
pdx + pn+1 dt =
l l

, l(a b) произвольный

pdx - H dt =
l b

<

S, dx > -H dt =

=
l

<

S S, dx > + dt = t

dx,t S = S (b) - S (a),
a

откуда следует доказываемое.

Следствие 6.5.1 Пусть 1 и 2 две кривые, охватывающие одну и ту же трубку
фазовых траекторий системы ОДУ Гамильтона. Тогда

pdx - H dt =

1

2

pdx - H dt.

Определение 6.5.7 Дифференциальная форма pdx - H dt называется интегральным
инвариантом Пуанкаре-Картана.

6.6 Геометрическая оптика.
Цель этого пункта построить аналогию между различными понятиями геометрической оптики и гамильтоновой механики. Известно, что в геометрической оптике имеет место принцип Ферма: свет распространяется из точки x0 в точку x1 за кратчайшее время. Будем считать, что скорость света при этом зависит как от точки x0 (неоднородная среда), так и от направления луча (неизотропная среда). Пусть x0 фиксированная точка, t > 0. Обозначим (x0 , t) множество точек, до которых свет из точки x0 может дойти за время, не превосходящее t. Граница множества (x0 , t) множество (x0 , t) называется волновым фронтом, соответствующим точке x0 и моменту времени t.

Теорема 6.6.4 (Принцип Гюйгенса.) Пусть x (x0 , t). Построим волновой фронт
(x, s) через время s > 0. Тогда (x0 , t + s) огибающая семейства фронтов (x, s), соответствующих всем точкам x (x0 , t).
44


t+s (x0 , t + s). Тогда существует путь l (x0 xt+s ), который свет проходит за время t + s, и нет более короткого пути. Рассмотрим точку xt l(x0 xt+s ), до которой свет из x0 доходит за время t. Более короткого пути из x0 в xt нет, иначе путь l(x0 xt+s ) не кратчайший. Следовательно, xt (x0 , t). Аналогично, xt+s (xt , s). Покажем, что (x0 , t + s) и (xt , s) касаются в точке xt+s . Действительно, иначе нашлась бы точка y (x0 , t + s) такая, что она лежит строго внутри (xt , s). Но тогда в точку y можно добраться за время меньшее, чем t + s, т.е. y (x0 , t + s). Противоречие. / Теорема доказана. Из принципа Гюйгенса следует, что распространение света можно описывать, описывая лучи (и их направление скорость x), а можно описывая волновые фронты.

Доказательство. Пусть x

Определение 6.6.8 Оптической длиной пути от точки x0 до x назовем S (x0 , x) наименьшее время распространения света от точки x0 до точки x. Тогда (x0 , t) = {x : S (x0 , x) = t}. Вектор нормали к фронту p = x S (x0 , x) назовем вектором нормальной медлительности фронта.
Из вышесказанного следует аналогия между геометрической оптикой и гамильтоновой механикой: принципу Ферма в оптике соответствует вариационный принцип Гамильтона Ldt min в механике; лучам соответствуют траектории материальных точек x(t); свойства среды в механике описываются лагранжианом L; вектору нормальной медлительности фронта соответствует обобщенный импульс; выражение нормальной медлительности фронта через скорость луча в оптике соответствует преобразованию Лежандра; интегральному инварианту < p, dx >= dS соответствует интегральный инвариант ПуанкареКартана; оптической длине пути из x0 в x соответствует функция действия S (x, t); принципу Гюйгенса, описывающему волновые фронты, соответствует уравнение ГамильтонаЯкоби на функцию действия. Литература. Л.К.Эванс, ?Уравнения с частными производными" , 3.3.1 Доброхотов, 4-6 В.И. Арнольд, ?Математические методы классической механики"

45


Часть VII

Коротковолновые асимптотики для УрЧП.
7.1 Постановка задачи и общая идея метода.
Рассмотрим уравнение математической физики

(u, x, t,

x

2 u, ut , Dx,t u, h) = 0,

(7.1)

описывающее какой-либо имеющий волновую природу процесс; h малый параметр. Решить такое уравнение точно даже при малых t задача весьма непростая. Идея метода коротковолновых асимптотик состоит в том, чтобы найти функцию u(x, t, h) ^ приближенное решение (7.1) при малых t такое, что

(u, x, t, ^

x

2 u, ut , Dx,t u, h) = O(h2 ), h 0. ^^ ^

При этом используется следующее предположение: так как уравнение (7.1) описывает волновой процесс, то локально в каждой точке в фиксированный момент времени t решение синусоидальная волна, однако, амплитуда этой волны и ее направление фронта зависят и от точки, и от момента времени. Тем самым, u(x, t, h) ищется в виде ^

i u(x, t, h) = (x, t) exp( S (x, t)). ^ h

(7.2)

При этом предполагается, что начальные данные для амплитуды (x, t) функцию 0 (x) и для фазы S (x, t) функцию S0 (x) можно найти из физических соображений. Далее приближенное решение вида (7.2) необходимо формально подставить в (7.1) и приравнять к нулю коэффициенты при двух наиболее медленно стремящихся к нулю степенях h (обычно h0 и h1 ). Полученные уравнения на амплитуду и фазу S будут УрЧП первого порядка, которые можно решить с помощью рассмотренных в предыдущих параграфах методов. Строгого обоснования метода коротковолновых асимптотик мы приводить не будем, но рассмотрим подробно несколько примеров. Метод позволяет стрить решения при малых t < T0 . При исследовании моментов времени t > T0 даже при сколь угодно гладких 0 (x) и S0 (x) у построенных решений u могут возникать ^ разрывы, т.е. построенная в предыдущих параграфах классическая теория становится неприменима.

7.2 Коротковолновая асимптотика для уравнения Шредингера.
Рассмотрим уравнение Шредингера с потенциалом U (x):

ih

h2 = - + U (x) . t 2
46

(7.3)


Для подстановки u(x, t, h) вида (7.2) в (7.3) сделаем сначала вспомогательное вычисление: ^

2 u= ^ 2 xk x 2 2 u= ^ e x2 x2 k k
i h

k

e xk

i h

S

+

i S ћ e h xk

i h

S

,

S

2i S + e h xk xk

i h

S

i 2S + ћ e h x2 k

i h

S

1 -2 h

S xk

2

e

i h

S

.

(7.4)

Подставляя u вида (7.2) в (7.3) и используя (7.4), получаем: ^ 0 при h :

S 1 +< t 2

x

S,

x

S > +U (x) = 0, S |

t=0

= S0 (x).

(7.5)

Задача (7.5) задача Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби с гамильтонианом H (p, x) = 1 < p, p > +U (x). Задачи такого типа мы подробно исследовали в параграфе 2 7. При h1 : 1 + < x , x S > + S ћ = 0, |t=0 = 0 (x). t 2 Это задача Коши для уравнения переноса, которая была подробно разобрана в качестве примера в параграфе 5. Вспоминая, как именно в явном виде интегрируется уравнение переноса, имеем 0 (x0 ) (x, t) = , Jx (X 0 , t) x0 =x0 (x,t) где Jx (x0 , t) = det( Xji )|(x0 ,t) , x = X ( , t) решение x = v , x(0) = , и функция v (x, t) = x S (x, t). Таким образом, проинтегрировав уравнение (7.5), по указанным формулам получаем коротковолновую асимптотику u(x, t, h). ^

7.3 Коротковолновая асимптотика для волнового уравнения.
Рассмотрим волновое уравнение

utt = a2 (x, t)u, a(x, t) = 0.
Подставляя u(x, t, h) вида (7.2) и используя (7.4), получаем: ^ при h-2 :

S -( )2 = a2 (x, t) t

n

-(
k=1

S 2 ) , S| xk

t=0

= S0 (x).

(7.6)

Задача (7.6) задача Коши для стационарного уравнения Гамильтона-Якоби с гамильтонианом H (p, pn+1 , x, t) = a2 (x, t) < p, p > -p2 +1 . Задачи такого типа подробно изучались в n 47


параграфе 7. При h-1 :

S 2S 2 + 2 = a2 (x, t) t t t

n

2
k=1

S 2S + 2 xk xk xk

, |

t=0

= 0 (x).

Это задача Коши для линейного УрЧП первого порядка, которую можно проинтегрировать с помощью обобщенного алгоритма А2.

Замечание 7.3.1 Система ОДУ Гамильтона для (7.6) имеет вид
x = 2a2 (x, t)p, t = -2pn+1 , p = -2a(x, t) < p, p > x a, pn+1 = -2a(x, t) < p, p > at .
При этом нетрудно видеть, что поверхности {t = 0} соответствует две допустимых тройки, удовлетворяющие условию нехарактеристичности, если | x S0 (x0 )| = 0. Этим двум допустимым тройкам соответствуют два решения S+ (x, t) задачи (7.6). Если же условие | x S0 (x0 )| = 0 не выполнено для некоторого x0 , то построение решения в окрестности точки x0 методом характеристик достаточно нетривиально. Кроме того, если at = 0 t, то система ОДУ Гамильтона сводится к

x = 2a2 (x)p, p = -2a(x) < p, p >

x

a,

t = -2p0 +1 s, и два решения S (x, t) задачи (7.6) будут удовлетворять соотношению n S+ (x, -t) = -S- (x, t).
Литература. В.И. Арнольд, ?Математические методы классической механики"

Часть VIII

Законы сохранения. Введение в теорию.
8.1 Ударные волны.
В этом параграфе рассмотрим задачу Коши для скалярного закона сохранения в случае одной пространственной переменной

t u + x (F (u)) = 0, (x, t) R Ч (0, )
48

(8.1)


u|

t=0

=g xR

Здесь F : R R, g : R R заданы, а u(x, t) неизвестна. Это уравнение входит в класс нелинейных уравнений первого порядка, исследованных нами выше. Согласно методу характеристик не существует, вообще говоря, гладкого решения задачи Коши при всех t > 0. Теперь ослабим условия гладкости решений и будем искать слабое или обобщенное решение, определив его в каком либо подходящем смысле

вообще говоря, найти гладкое решение уравнения (8.1), резонно постараться разработать подход, при котором функция u меньшей гладкости "решала"бы эту задачу Коши в каком-либо смысле. Однако, как видно из записи этого уравнения, без определения производной в каком-то слабом смысле к нему не подступиться. Тем не менее, временно допустим что функция u и перепишем задачу так, чтобы полученное выражение не содержало производных функции u. Умножим уравнение на гладкую финитную пробную функцию v (x, t) C i nf ty0 (R2 ), затем перебросим производную на v , интегрируя по частям. Тогда получим интегральное тождество


Обобщенные решения. Условия Рэнкина-Гюгонио. Поскольку мы не можем,

0=
0 R

(t u + x (F (u))v dx = -
0 R

(ut v + F (u)x v )dx -
R

uv dx|

t=0

Учитывая начальное условие u = g на R Ч {t = 0}, получим


(ut v + F (u)x v )dx +
0 R R

g v|

t=0

dx = 0.

(8.2)

Это тождество имеет смысл даже тогда, когда u всего лишь локально интегрируема.

Определение 8.1.1 Будем говорить, что функция u L (R Ч (0, )) является
слабым решением задачи Коши (8.1), если тождество (8.2) имеет место для любой пробной функции v (x, t) C i nf ty0 (R2 ).

Допустим существует обобщенное решение. Какую информацию можно получить об этом решении? Частичный ответ на этот вопрос можно получить рассмотрев кусочно гладкое обобщенное решение, считая что в некоторой области R Ч (0, ), решение u является гладкой функцией с каждой стороны от некоторой гладкой кривой и в целом оно не непрерывно. Часть области слева от обозначим через l , часть справа от обозначим r . Выберем пробную фкнкцию v финитную в . Тогда (8.2) примет вид


(ut v + F (u)x v )dx = -
0 R
l

(t ul + x (F (ul )))v dx)))v dx, (, (ul - ur , F (ul ) - F (ur ))v ds


(8.3)

-

r

(t ur + x (F (ur )))v dx +

где внешняя нормаль к относительно l и ul = u|l , ur = u|r . Рассмотрев пробные функции с носителями в r или l соответственно, получим, что

t ul + x (F (ul )), (x, t) l ,
49

(8.4)


t ur + x (F (ur )), (x, t) r .
т.е. u классическое решение уравнения (8.1) в областях l и r . Теперь выберем тестовые функции, носителькоторых пересекает . Тогда

(, (ul - ur , F (ul ) - F (ur ))v ds


Отсюда скалярное произведение

(, (ul - ur , F (ul ) - F (ur )) = 0, (x, t)

(8.5)

Теперь предположим, что кривая задана параметрически = {x = s(t), t [0, )}, s(t) гладкая функция. Тогда = (1 + (s)2 )-1/2 (1, - s) и (8.6) примет вид

F (ul ) - F (ur ) = s (ul - ur ).
Обозначим [[u]] = ur - ul , [[F (u)]] = F (ur ) - F (ul )(скачок u при переходе через и скачок F (u)), =s-скорость кривой . Предыдущее равенство перепишем в виде



[[F (u)] = [[u]]

(8.6)

тождества вдоль кривой разрыва, которое называется условием Рэнкина-Гюгонио. Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Хопфа

1 t u + x (u2 ) = 0, (x, t) R Ч (0, ), 2
с начальным условием

g (x) =

1, x0 1 - x, 0 x 1 0, x1
тех пор, пока не пересекаются спроектированные

КАк мы знаем, гладкое решение соществует до характеристики 1, 1-x , u(x, t) = 1-t 0,

x t, 0, t x, 0, x 1, 0.

Метод характеоистик не применим при tg e1, так как в этом случае спроектированные характеристики пересекаются. Как определить решение u при t 1? Положим s(t) = (1 + t)/2,

u(x, t) =

1, x < s(t), 0, s(t) < x,

при t 1. Тогда вдоль кривой = {x = s(t)} имеем: ul = 1, ur = 0, F (ul ) = 1/2, F (ur ) = 0 и выполнено условие Рэнкин-Гюгонио

1 1 = [[F (u)]] = [[u]] = 2 2
50


Пример 2. Рассмотрим еще одно начальное условие для уравнения Хопфа
g ( x) = 0, x < 0, 1, x > 0.

В этом случае метод характеристик не приводит к двусмысленности в определении u, однако он не может дать никакой информации о том, что делается на клине {0 < x < 1}. Для иллюстрации сказанного положим

u1 (t, x) =

0, x < t/2, 1, x > t/2.

Легко проверить, что условия Рэнкин-Гюгонио выполнены и u является обобщенным решением. Однако, можно построить другое решение, так называемую волну разряжения x < 0, 0, x , 0 < x < t, u2 (t, x) = t 1, x > t. Эта функция является непрерывным обобщенным решением задачи (8.1). Таким образом, обобщенное решение вообще говоря не единственно .

8.2 Условие энтропии.
Из общей теории нелинейных уравнений первого порядка следует, что для общего скалярного закона сохранения

t u + x (F (u)) = 0
решение u, если оно гладкое, имеет постоянные u = g (x0 ) значения вдоль лучей(спроектированных характеристик,

y (s) = (f (g (x0 )) s + x0 , s), s 0.

(8.7)

Теперь мы знаем, что типична ситуация, когда лучи пересекаются, что приводит к разрывным решениям при движении в прямом направлении. Однако можно надеяться, что при движении вдоль характеристики из какой-либо начальной точки Rn Ч (0, ) в обратном направлении времени пересечений с дугими лучами не будет. Иначе говоря, имеем смысл рассмотреть класс, скажем, кусочно гладких обощенных решений (8.1), обладающих таким свойством: при движении в обратном направлении времени t вдоль любого луча, никаких поверхностей разрыва функции u встречаться не будет. Предположим теперь, что в некоторой точке кривой разрыва функция u имеет различные пределы слева и справа ul и ur , и что характеристики лучи слева и справа сталкиваются на в этой точке. Тогда с учетом (8.7) получим

F (ul ) > F (ur )
51

(8.8)


которое называется условием энтропии.(по грубой аналогии с термодинамическим принципом, который утверждает, что энтропия в физическом смысле не может убывать по времени). Кривая разрыва функции u называется ударной волной, если на ней выполнено условие Рэнкин-Гюгонио (8.6) и условие энтропии (8.8). Рассмотрим условие энтропии при дополнительном условии

F (u)

равномерно выпукла

Это означает, что F (u) > 0 для некоторой постоянной . Тогда, в частности, F строго возрастает. Поэтому условие энтропии означает, что в этом случае

ul > u
вдоль любой ударной волны.

r

(8.9)

Пример 3. Рассмотрим для уравнения Хопфа, для которого выполнеено условие строгой
выпуклости F (u) 1 u2 , начальную функцию 2 x < 0, 0, 1, 0 < x < 1, g (x) = 0, x > 1. При 0 t 2, также как и выше, находим x< 0, x , 0 1

0, < t, 1 + 1 t, 2 + 1 t. 2

При t 2 можно ожидать, что ударная волна, параметризованная через x = s(t), продолжиться как u = x/t влево от x = s(t) и как u = 0 вправо. Это утверждение согласуется с условием энтропии. Исследуем поведение ударной кривой, применив условие скачка Рэнкин-Гюгонио. Имеем

[[u]] =

s(t) 1 s(t) 2 , [[F (u)]] = ( ) , =s (t), t 2t

вдоль ударной кривой при t 0. Из условия (8.6) следует

s (t) =



s(t) , t2 2t

Кроме того, s(2) = 2. Решая это обыкновенное уравнение находим

s(t) = (2t)1/2 , t 2.
Тогда

x < 0, 0, x , 0 < x < (2t)1/2 , u(x, t) = t 0, x > 1 + (2t)1/2 .
52


Часть IX

Элементы теории обобщенных функций.
9.1 Общие понятия
Как видно из предыдущей главы, модели математической физики треьуют для своего описания другого языка и прежде всего надо ослабить условия гладкости решений. Для этого сформулируем необходимые в дальнейшем понятия и утверждения.

1) E (), E (Rn )пространство бесконечно дифференцтруемых функций в област Rn или во всем пространстве Rn , что ограничены полунормы p () = supx |x | < для любых мультииндексов ; 2) D(), D(Rn ), (C0 (), C0 (Rn ))пространство бесконечно дифференцтруемых функций в област Rn или во всем пространстве Rn с компактным носителем, т.е. таких функция C , для которых существует компакт K , что (x) = 0, x \ K и ограничены полунормы p () = supxK |x | < для любых мультииндексов ; 3) S (Rn )-пространсто функций Шварца, состояшее из функций C (Rn ), что ограничены полунормы p, () = supxRn |x x | < для любых мультииндексов , .

Пространства тестовых функция Введем пространства тестовых функций:

Определение 9.1.1 Полунормой на линейном пространстве X называется отображение
p : X [0, ), обладающее следующими свойствами: 1. p(x + y ) p(x) + p(y ), x, y X ; 2. p(x) = ||p(x), x X, C.

При этом из условия p(x) = 0 не обязательно следует, что x = 0, что справедливо в случае нормы p(x) = x в банаховом пространстве X . Необходимо ввести топологию в пространствах тестовых функций с помощью системы полунорм. Пусть на X задана система полунорм {pj }j J , где J -некоторое множество индексов. Положим для любого > 0

U

j,

= {x : x X, pj (x) < }

и введем на X топологию(сходимость, понятие близости), в которой базис окрестностей нуля состоит из всех конечных пересечений множеств вида Uj, , а базис окрестностей любой другой точки x0 получается сдвигом на x0 , т.е. состоит из конечных пересечений множеств вида x0 + Uj, . Таким образом, множеств G X является открытым тогда и только тогда, когда вместе с каждой точкой x0 ему принадлежит некоторое конечное пересечение множеств вида x0 + Uj, . Ясно, что условие limj xj = x равносильно тому, что limj pk (xj - x) = 0 для любого k J . Чтобы избежать постоянного упоминания о

53


конечных пересечениях, можно считать, что для любых j1 , j2 J найдется такое j3 J, что pj1 () pj3 (), pj2 () pj3 (), X. Тогда Uj3 , Uj1 , Uj2 , . Если указанное свойство не выполнено, присоединим к системе полунорм полунормы вида

pj

1

,...,jk

() = max(pj1 (), . . . , pjk ()),

что не меняет топологию, определяемую полунормами на X . Будем считать, что это выполнено, т.е. будем считать, что базис окрестностей нуля в X состоит из всех множеств Uj, .

Обобощенные функции. Если f - линейный функционал над X , то условие его
непрерывности равносильно муществованию таких j Y и C , что

| < f , > | C pj (), X

(9.1)

где через < f , > обозначено значение функционала f на элементе . Действительно, непрерывность f равносильна существованию такого множества Uj, , что | < f , > | 1 при Uj, , а это равносильно выполнению (9.1) для C = 1/. Мы будем предполагать дальше выполнение следующего условия отделимости: если pj () = 0 при всех j J, то = 0. (9.2) Отсюда вытекает, что две различные точки x, y X имеют непересекающиеся окрестности (хаусдорфова топология). В самом деле, тогда существует такое j J , что

pj (x - y ) > 0.
Но тогда окрестности x + Uj, и y + U
j,

не пересекающиеся при

1 pj (x - y ), 2 поскольку, если бы z = x + s = j + t (x + Uj, ) (y + Uj, ) то < pj (x - y ) = pj (s - t) pj (s) + pj (t) 2 < pj (x - y )
что не верно. Рассмотрим теперь наиболее важный случай, когда множество J счетно. Тогда J можно считать множеством натуральных чисел и на X можно ввести метрику


(x, y ) =
k=1

pk (x - y ) 1 k 1 + p (x - y ) 2 k

Легко проверить симметричность и неравенство треугольника. Равенство x = y вытекает из условия (x, y ) = 0, благодаря требованию отделимости (9.2). Также легко показать, что топология определяемая метрикой совпадает с топологией, определенной выше с помощью полунорм. Поскольку метрика инвариантна относительно сдвига: (x + z , y + z ) = (x, y ), для доказательства последнего факта достаточно проверить, что каждое множество Uj, содержит шар B (0) = {x; (x, 0) < радиуса с центром в точке x = 0 и наоборотвсякий шар B (0) содержит множество вида Uj, . 54


Определение 9.1.2 Счетно-нормированным пространством назывется векторное пространство,
снабженное счетным числом полунорм, причем выполнено условие отделимости.
Итак, в счетно-нормированном пространстве E топология задается метрикой, поэтому в частности непрерывность функций на e и вообще любых отображений E в метрические пространства можно задавать на языке последовательностей. Например, линейный фукционал f на E непрерывен тогда и только тогда, когда из limj j = 0 сдедует, что limj < f , j >= 0. Пространство линейных непрерывных функционалов на E называется сопряженным пространством E . Покажем, что D(K ) = C0 (K ), E (), S (Rn )счетно-нормированные пространства(K компакт). 1. Полунормы в D(K )

pm () =
||m

sup | (x)|, D(K ).
xK

Ясно что сходимость j в топологии D(K ) означает, что для любого мультиндекса j (x) (x) равномерно на K . 2. В пространстве E ( ) пусть Kj , j = 1, . . . последовательность компактов Kj , K1 K2 . . . и для любой точки x найдется j = j (x) что x Kj вместе с некоторой окрестностью. Например можно взять

Kj = {x <

1 (x, ) }, j

где - граница , -обычное евклидово расстояние в Rn . Положим

pk () =
||l

sup | (x)|, E ().
xKl

Ясно, что сходимость j в топологии E () означает, что для любого любого мультиндекса j (x) (x) равномерно на любом Kl . 3. В пространстве S (Rn ) полунормы

pk () =
|+ |k

sup |x (x)|,
xR
n

а сходимость j в топологии S (Rn ) означает, что если A- любой дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами на Rn , то Aj A равномерно на Rn .

Пространства обобщенных функций Описанная выше процедура перехода от E

к сопряженному E дает воможность определить топологию в E () и S (). Мы не вводиоли топологию в D()(естественная топология в D() вводится нетривиально), но нам это и не понадобится: мы определим пространство D (), как пространство таких линейных функционалов f на D(), что ограничение f |D(K ) непрерывно на D(K ) для любого компакта K . 55


Определение 9.1.3 Элементы пространства D () называются обобщенными функциями
в . Элементы пространства E () называются обобщенными функциями с компактным носителем в . Элементы пространства S () называются обобщенными функциями умеренного роста в .

Примеры.

1. L1oc ()- обычные или регулярные обобщенные функции. Здесь действие l

< f , >=


f (x)(x)dx

(9.3)

для D().

Лемма 9.1.1 Пусть f L1oc () и l
f (x) = 0 для почти всех x.



f (x)(x)dx = 0 для любой D(). Тогда

Отсюда следует, что две функции f , f1 L1oc (), определяющие одну и туже обобщенную l функцию, совпадают п.в. Введем теперь важную для дальнейшего операцию усреднения, сопоставив функции f L1oc () свертку l

f (x) =

f (x - y ) (y )dy =

f (y ) (x - y )dy

определяемую для x = {x , (x, ) }. Здесь (x) = -n (x-1 ), C0 (Rn ), dx = 1. Из теоремы Лебега следует дифференцируемость f , причем

f (x) =

f (y )( )(x - y )dy ,

так что f C ( ). Отметим свойства операции усреднения: a) Если f (x) = 0 вне компакта K , то f (x) = 0 вне - окрестности компакта K . В частности f D() для достаточно малого . б) Если f (x) = 1 при x 2 , то f (x) = 1 при x 3 . в) Если f C ( ), то f (x) f (x) при 0 равномерно на любом компакте K . В самом деле, имеем

|f (x) - f (x)| = |

(f (y (-f (x)) (x - y )dy | sup |f (x - y ) - f (x)|.
|y |

Утверждение следует из равномерной непрерывности f (x) на - окрестности компакта K. г) Если f (x) Lpoc (), где p 1, тоf f при 0 по норме Lp (K ) для любого l компакта K . 2. Регулярные обобщенные функции в E (), S (). Если f L1 (), т.е. f comp 1 L (Rn ) и f (x) = 0 вне некоторого компакта K , то мы можем построить стандартным n образом (9.3) построить функционал на E () с компактным носителем. Если f Rloc и

|f (x)|(1 + |x|)-N dx <
56


при некотором N > 0, то формула (9.3) задает функционал на S (Rn ), являющийся обощенной фнкцией умеренного роста. В частности, если

|f (x)| C (1 + |x|)N

-n-1

3. - функция Дирака. Это функционал, определяемый формулой

< (x - x0 ), (x) >= (x0 )
Если x0 то (x - x0 ) D () и даже (x - x0 ) E ( ) 4. Нерегулярные обобщенные функции с компактным носителем. Пусть L- линейный дифференциальный оператор в Rn , - гладкая компактная поверхность в Rn , dS элемент площади поверхности . Тогда формула



(L)| dS

определяет нерегулярную обобщенную функцию с компактным носителем в Rn . В частности, если - точка, то мы получим функцию, определенную выше.

Топология и сходимость в пространстве обощенных функций. Пусть F одно

из пространств пробных функций D(), E (), S (Rn ) и F соответствующее пространство линейных непрерывных функционалов на F .Мы будем рассматривать F с так называемой слабой топологией, т.е. топологией, определяемой полунормами

p (f ) = | < f , > |, f F , F
В частности сходимость fk f в этой топологии означает

< fk , > < f , >
для любой F .

Примеры.

а) - образная последовательность. Рассмотрим функции (x) = C0 (Rn ), (y )dy = 1. Напомним, что они обладают свойствами: i) 0, x Rn ; ii) (x)dx = 1; iii) (x) = 0 при |x| . Докажем, что

1 n

( x ),



(x) (x)
в D (Rn ). В самом деле, это означает, что
0

(9.4)

lim

(x)(x)dx = (0), D(Rn ).

(9.5)

Учитывая свойство ii), мы можем переписать (9.5)
0

lim

(x)(x)dx = (0) + lim
57

0

(x)((x) - (0))dx,


где

|

(x)((x) - (0))dx| sup |(x) - (0)) 0, 0.
|x|

Отметим, что (9.4) верно не только в D (Rn ) но и в S (Rn ), E (Rn ) и даже в E (), если 0 . Задача. Показать, что - образной последовательностью в D ((- , )) является также последовательность ядер Дирихле

Dk (t) =
и последовательность ядер Фейера

1 sin((k + 1 )t) 2 2 sin 1 t 2

Fk (t) =

1 sin2 ( k t) 2 21 2 k sin 2 t

Поэтому если f D (2 ), то мы можем ограничить функционал на D(1 ) и получим обобщенную функцию, которую обозначим f |1 . Операция ограничения обладает следующими свойствами: а) Пусть дано покрытие открытое множество открытыми множествами j , j J , т.е. = j J j . Тогда если f D () и f |j = 0, j J , то f = 0. б) Пусть = j J j и дан набор обобщенных функций fj D (j ), причем fk |j k = fj |j k для любых k , j J . Тогда существует обобщенная функция f D () такая, что f |j = fj , j J Докажем, например б). Для этого положим

Носитель обобщенных функций. Имеем D(1 ) D(2 ), если 1 2 Rn .

< f , >=
j J

< f , j >,

где j , j J разбиение единицы

=
j J

j

Семейство функций j , j J , таково что 1) j C (), suppj j ; 2) семейство j , j J локально конечно, т.е. у любой точки x0 есть окрестность, в которой отлично от нул лишь некоторое конечное число j1 , . . . , jk функций из этого семейства; 3) j J j 1. Далее, если D(k ) при фиксированном k , то

< f , >=
j J

< f , j >=
j J

< f k , j >= < f k ,
j J

j >=< fk , >,

поскольку supp(j ) suppj supp j k . Мы проверили, тем самым, что f |k = fk , что доказывает свойство б). 58


Свойство а) позволяет корректно ввести для f D () наибольшее открытое подмножество , для которого f | = 0( равно объединению всех таких открытых множеств 1 , для которых f |1 = 0. Тогда замкнутое подмножество F = \ называется носителем обощенной функции f и обозначается suppf . Например, supp (x) = {0}. Носитель обобщенной функции из примера 4. лежит на . Определим теперь носитель обощенных функций из E (), S (Rn ).

Предложение 9.1.1 Пусть f D (). Тогда условие f E () равносильно тому,

что suppf является компактом в или, иными словами, f сосредоточена на некотором компакте в . (вложение E () D () очевидно, пскольку D() E ()).

Доказательство. Пусть f E (). Тогда функционал f непрерывен по некоторой
полунорме на E (), т.е.

| < f , > | C sup sup | (x)|,
||l xK

(9.6)

где компакт K , числа C, l не зависят от . Но отсюда следует, что < f , > зависит лишь от значений в сколь угодно малой окрестности K и, в частности, f |\K = 0, т.е. suppf K . Обратно, пусть f D () и suppf K1 . Покажем, что его можно продолжить на E (). Для этого функцию E () разложим в сумму = 1 + 2 , j = j , где 1 D(), а 2 = 0 в окрестности suppf , 2 C (), и 1 + 2 1 в . Затем положим < f , >=< f , 1 >. Осталось показать, что это не зависит от разбиения единицы. Пусть 1 , 2 другое разбиениеиединицы с такими же свойствами. Тогда 1 = 1 1 + 2 1 и < f , > =< f , 1 >=< f , 1 1 >, где < f , > определение продолжения через разбиение единицы 1 , 2 . Также 1 = 1 1 +2 1 , откуда < f , > =< f , 1 >=< f , 1 1 >. Следовательно < f , > =< f , 1 1 >=< f , > .

Предложение 9.1.2 Пусть f E (Rn ), suppf = {0}. Тогда f имеет вид
< f , >=
||l

c (0),

(9.7)

где число l и постоянные c не зависят от .

Доказательство. Поставим в соответствие каждой функции E (Rn ) ее l- струю в
точке 0, т.е. набор производных
l j0 () = { (0)}| |l

.

где компакт K - окрестность нуля, и выберем l так, что верна оценка (9.6), в силу непрерывности функционала f . Проверим, что < f , > зависит на самом деле лищь от l l струи j0 (). Тогда утверждение теоремы будет очевидным, поскольку дело сведется к описанию линейных функционалов на конечномерном векторном пространстве l струй в точек 0, а такие функционалы задаются так, как написано в правой счасти (9.7). l Итак, остается проверить, что < f , >= 0, если j0 () = 0. Пусть D(Rn ), (x) = 1 1 при |x| 2 , (x) = 0 при |x| 1. Положим (x) = ( x ), > 0. Ясно, что из условия 59


suppf = {0} вытекает, что < f , >=< f , > при любом > 0. Мы выведем из l условия j0 () = 0 тот факт, что при || l
xR

sup | [ (x)(x)]| 0, 0.
n

(9.8)

Отсюда будет следовать, что

< f , >=< f , >= lim < f , >= 0
0

в силу (9.6). Осталось доказать (9.8). По формуле Лейбница

[ (x)(x)] =
+ =

c
-| |

,

[ (x)] [ (x)] =

=
+ =

c

,

x [( )( )] [ (x)]

Но из формулы Тейлора следует, что

(x) = O(|x|

l+1-| |

)

при x 0. Заметим, что |x| на supp( x ). Поэтому при 0

x sup -| | |( )( )| | (x)| = O(-| xRn

|+l+1-| |

) = O(

l+1-||

).

Откуда следует (9.8), что завершает доказательство предложения.

Понятие слабой производной. Дифференцирование обощенных функций должно
быть естественным продолжением дифференцирования гладких функций.

в Rn с гладкой границей , w(x) C 1 (). Тогда

Теорема 9.1.1 (Формула Гаусса-Остраградского) Пусть ограниченная область
w = xi w cos(, xi )dSx .




Для того чтобы определить обобщенную производную заметим, что по теореме ОстраградскогоГаусса, примененной к функции w = uv , u, v C 1 ()

v


u dx = xi

v u cos(, xi )dSx -


u

v dx. xi

или

< xj u, >= - < u, xj >, D().
60

(9.9)


Естественно поэтому определить xj u для u D () по формуле (9.9). Рассмотрим класс тестовых функций, а именно бесконечно дифференцируемые финитные функции C0 (), где Rn . Определение. Говорят, что функция gj Lp (), p > 1 называется слабой (общенной) производной от u Lp (), если справедливо следующие интегральное тождество xj

u


dx = - xj



gj dx, C0 ().

(4.3)

Если функция гладкая, то интегральное тождество выполнено для gj равной производной, так как интегральное тождество представляет собой обычное интегрирование по частям. Пример 1. f = |x| не гладкая функция, но у нее существует слабая (общенная) производная функция Ховесайда.

Доказательство:

|x| dx = x
R
1

0

-x dx + x
0



x
0

dx = |интегрируем по частям = x

-



=
-

-dx +
0

dx =
R
1

(x)dx.

Обозначим D класс функций, у которых существует слабая (обощенная) производная. Пример 2. Рассмотрим функцию Хевисаида (x) и найдем ее обобщеннуэ производную:


< , >= - < , >== -
0

(x)dx = (0), D(R1 ).

Задача. Докажите единственность определения обобщенной производной.
Операторы высоких производных

: D () D ()
где =
1 x1 n ћ ћ ћ xn , определим пл формуле

< u, >= (-1)|| < u, >, D().

(9.10)

Это определение есть продолжение по непрерывности обычного дифференцирования на обощенные функции.

61


9.2 Свертка и преобразование Фурье обобщенных функций
Сверткой обычных функций f и g в Rn называется интеграл

(f g )(x) =
R
n

f (x - y )g (y )dy

Конечно, интеграл не всегда определен. Мы будем рассматривать его для f , g C (Rn ) и одна из функций f , g имеет компактный носиьель. Тогда f g C (Rn ). Очевидно, что свертка коммутативна (f g )(x) = (g f )(x) и ассоциативна

(h (f g ))(x) = ((h f ) g )(x)
если f , g , h C (Rn ) и две из этих функций имеют компактный носитель. Для гладких функций имеем (f g )(x) = ( f g )(x) Пусть теперь C0 (Rn ). Тогда заменой x на y + z получим

< f g , >=
R
n

f (x - y )g (y )(x)dy dx =
R
n

f (z )g (y )(z + y )dy dz

(9.11)

В силу теоремы Фубини

< f g , >=< f , g >
Для финитных f , g положим (x) = e
-i ћx

, Rn . Тогда получим

f g ( ) = f ( )g ( )
где волна означает преобразование Фурье

=

f (x)e-ћx dx.

Посмотрим, как устроен носитель свертки. Пусть A, B Rn . Положим

A + B = {x + y ; x A, y B }
(арифметическая сумма подмножеств A, B .) Имеем

supp(f g ) suppf + suppg
Доказать этот утверждение как задачу.

62


Прямое(тензорное) произведение обощенных функций. Функцию f g (x, y ) = f (x)g (y ) назовем ghzvsv(nензорным )произведение двух функций f (x) и g (y ). Пусть 1 Rn1 , 2 Rn2 , f1 D (1 ), f2 D (2 ). Определим их прямое произведение f1 f2 D (1 Ч 2 ). Пусть fj L1oc (j ), (x, y ) D(1 Ч 2 ) по теореме Фубини мы l бы имели
< f1 f2 , >=< f1 (x), < f2 (y ), (x, y ) >>=< f2 (y ), < f1 (x), (x, y ) >>
Эту же формулу надо принять за основу при определении f1 f2 для обобщенных функций, поскольку < f1 (x), (x, y ) > D(Rn1 ). Для обоснования этих формул нужна

Лемма 9.2.2 В D(1 Ч 2 ) плтны линейные комбинации функций вида 1 2 , j
D(j ). Точнее, если Kj - компакты в j , j -1, 2, и Kj -компакт, во множестве внутренних точках которого содержится Kj , то всякая функция D(K1 Ч K2 ) может быть приближена в D(K1 Ч K2 ) сколь угодно точно конечными линейными комбинациями функций вида 1 2 , j D(Kj ).

Проваести обоснование как упражнение.
Легко видеть, что

supp(f1 f2 ) suppf1 Ч suppf2 ,
Если fj S (Rnj ) то f1 f2 S (R
n1 +n
2

),

xj (f1 (x) f2 (y )) = (xj f1 (x) f2 (y )) ). Простым слоем с плотностью на n плоскости t = 0 называется обобщенная функция (t) (x) D (Rt,x . Обобщенную n функцию (t) (x) D (Rt,x называется двойным слоем с плотностью . на плоскости t = 0. ее физический смысл состоит в том, что она описывет распределение диполей, расположенных с плотностью на плоскости t = 0 и ориентированных по оси t. Легко видеть, что в D (Rn ) верно предельное соотношение (t) (x) = lim[
0

Пример 1. (x) (y ) = (x, y ). Пример 2. Пусть t R1 , x Rn , (x) C ( R

n-1

(t + ) (t - ) - ], 2 2

откуда следует интерпретация потенциала двойного слоя.

функций f , g D (Rn ) естественно определять с помощью формулы

Свертка обощенных фуекций. Из формулы (9.11) ясно, что свертка обобщенных
< f g , >=< f (x)g (x), (x + y ) >, D(Rn ).
(9.12)

Однако эта формула и сама свертка не всегда имеет смысл, поскольку (x + y ) = D(R2n ) при = 0. Тем не менее, иногда правая часть (9.12) имеет естественный сиысл. Пусть например f E (Rn ). Тогда

< f (x)g (x), (x + y ) >=< f (x), < g (y ), (x + y ) >>,
63


где < g (y ), (x + y ) > E (Rn ). Можно поступить и наоборот

< f (x)g (y ), (x + y ) >=< g (y ), < f (x), (x + y ) >>,
где < f (y ), (x + y ) > D(Rn ). Покажем, что два эти определения совпадают. Для этого возьмем функцию (x) D(Rn ), что (x) = 1 в окрестности suppf . Тогда f = f и мы имеем

< f (x), < g (y ), (x+y ) >>=< (x)f (x), < g (y ), (x+y ) >>=< f (x), < g (y ), (x)(x+y ) >>=< f (x)g (y
где (x)(x + y ) D(R2n ) и следовательно правая часть существует в силу свойств прямого произведения. Также имеем

< g (y ), < f (x), (x + y ) >>=< g (y ), < (x)f (x), (x + y ) >>=< g (y )f (x), (x)(x + y ) >>
Откуда следует, что они совпадают. Отсюда получаем

f g = g f , f E (Rn ), g D (Rn )
и справедлива ассоциативность свертки

(f g ) h = f (g h),
если две из обощены функций f , g , h имеют компактный носитель.

Пример 1. (x) f (x) = f (x), f D (Rn ).
F оператор преобразования Фурье, переводящий функцию f (x) в (F f )( ) = f ( ) = f (x)e
-i ћx

Преобразование Фурье обощеных функций уметенного роста. Обозначим через
dx.

Из курса анализа известно, что преобразование Фурье задает изоморфизм

F : S (Rn ) S (Rn ),
причем это непрерывный линейный оператор, имеющий обратный, задаваемый формулой

(F
Ясно, что если f S (Rn ), то

-1

g )(x) = (2 )-n

g ( )eiћx d .

(9.13)

< F f , >=< f , F >, S (Rn )

(9.14)

Иными словами сопряженный оператор t F = F . Поэтому можно, пользуясь формулой (9.14) продолжить F до непрерывного отображения

F : S (Rn ) S (Rn )
64


Ясно, что преобразование Фурье задает топологический изоморфизм S (Rn ) на S (Rn )б причем обратный F -1 также имеет вид t (F -1 ), т.е.


-1

f , >=< f , F

-1

>, f S (Rn ), S (Rn ).

Таким образом, мы умеем, например, определять преобразование Фурье любой функции f (x), для которой выполнена оценка

|f (x)| C (1 + |x|)N ,
при этом преобразование Фурье, вообще говоря будет обобщенной функцией из S (Rn ). Поскольку S (Rn ) плотно в S (Rn )(доказать используя осреднение), то F на S (Rn ) представляет собой продолжение по непрерывности преобразования Фурье, заданого на S (Rn ). Это замечание позволяет переносить ряд фактов по непрерывности с S (Rn ) на S (Rn ), не проверяя их специально.

Пример 1. Положим Dj = 1 xj . Тогда D f ( ) = f ( ) i Пример 2. Вычислим преобразование Фурье - функции. Имеем при S (Rn )
< ( ), ( ) >=< (x),
Отсюда

( )e-ћx d >=

( )d =< 1, ( ) > .

( ) = 1

Пример 2. Вычислим преобразование Фурье от единицы:
< F (1), ( ) >=< 1, F ()(x) >=
n ( )e-iћx d dx, ( ) S (R )

Интеграл существует в силу изоморфизма F : S (Rn ) S (Rn ) Покажем, что

F (1)( ) = (2 )n ( )
В силу формулы обращения (9.13)

(9.15)

(2 )n (0) =

F ()(x)dx =

( )e

-i ћx

d dx

Отсюда следует справедливость (9.15). Пример 3. Вычислим преобразование Фурье функции Хевисайда (x) Из того, что iD((x)) = (x) следует, что

- F ()( ) = 1.

(9.16)

Таким образом F ()( ) = 1 , = 0. Легко видеть, что весь произвол в решении уравнения (9.16) сводится к добавлению C ( ), поскольку ( ) = 0. Как найти постоянную 65


C и в каком смысле понимать обобщенную функцию 1 ? Определим ее в смысле главного значения, т.е. 1 1 < , ( ) >=< v .p. , ( ) >= lim [ 0
тогда этот функционал существует, поскольку


( ) d +

- -

( ) d ]

( ) d +
-1

- -

( ) d =

1

( ) d +

1 1

( ) - (0) d + d +
- -1

+
где
-

d +

- -1 1

- (0)( ) d + (0)[
- -1

d ],

d +

d = - ln + ln = 0

и предел от выбора точки разбиения 1 не зависит. Итак

1 F ()( ) = v .p. + C ( )
Фиксируем ( ) = e
-
2

. Тогда < v .p. 1 , e

-

> +C =< 1, F ( ) >= C=

2

e-x dx =

2



и

поскольку < v .p. 1 , e

-

2

>= 0. Окончательно 1 F ()( ) = v .p. + ( )

Часть X

Энтропийное решение.
Формула Лакса-Олейник. Теперь попытаемся получить обобщенное энтропийное
решение для любой равномерно выпуклой F (u)

t u + x (F (u)) = 0, (x, t) R Ч (0, ), u|t=0 = g (x), x R
Напомним, что для выпуклой функции F (u) с условием роста
|u|

(10.1)

lim

F (u) = + |u|

(10.2)

преобразованием Лежандра F (v ) называется функция(сопряженная функция)

F (v ) = sup {v ћ u - F (u)}, v Rn .
uR
n

66


Предложение 10.0.1 Пусть выпуклая функция F (u) удовлетворяет (??) и H (v )сопряженная функция. Тогда отображение v H (v ) выпукло,

|v |

lim

H (v ) = + |v |

и

H (u) = F (u)
Без потери общности можно считать, что

(10.3)

F (0) = 0.
Предположим, что g L (R). Положим
x

h(x) =
0

g (y )dy , x R. x-y + h(y ) , x R, t > 0. t

Определим

w(x, t) = min tF (
y R

Таким образом, w(x, t) является единственным слабым решением задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби

t w + F (x w) = 0, (x, t) R Ч (0, ), w|t=0 = h, x R.

(10.4)

(см. главу о слабых решениях уравнения Гамильтон-Якоби). Допустим, что это решениегладкое. Дифференцируя уравнения и начальные данные, получим

t (wx ) + x (F (wx )) = 0, (x, t) R Ч (0, ), wx |t=0 = g , x R.

(10.5)

Заключааем, что u = wx - решение (10.1). Проведенные рассуждения формальны, так как мы не знаем, что функция w, определенная формулой Хопфа-Лакса, вообще говоря дифференцируема. Однако, как было показано выше(глава о слабых решениях уравнения Гамильтон-Якоби) функция w дифференцируема почти всюду. Следовательно, функция

u(x, t) =

x

min tF (
y R

x-y + h(y ) t

(10.6)

определена для п.в. (x, t) и, по-видимому, является главным претендентом на роль обобщенного решения задачи (10.1). Наша цельподтвердить это предположение. Поскольку F равномерно выпукла, F -строго возрастает и является отображением "на". введем обозначение для обратной функции G = (F )-1 .

67


Теорема 10.0.1 (формула Лакса-Олейник.) Пусть функция F : R R равномерно выпукла и гладкая, и пусть g L (R). (i) Для каждого t > 0 существует для всех, но не более, чем счетного числа значений x R, единственная точка y (x, t) такая, что
tF ( x - y (x, t) x-y + h(y (x, t)) = min tF ( + h(y ) y R t t

(ii) отображение x y (x, t) неубываюшее. (iii) Для каждого t > 0 функция u, определяемая формулой (10.6), представима в виде

u(x, t) = G

x - y (x, t) t

(10.7)

для п.в. x. В частности эта формула справедлива для п.в. (x, t) R Ч (0, ).
Формула (10.7) называется формулой Лакса-Олейник для решения задачи (10.1). Доказательство.

Теорема 10.0.2 (Формула Лакса-Олейник определяет обобщенное решение.) В условиях теоремы (??) функция u, определяемая формулой
u(x, t) = G x - y (x, t) t

является обобщенным решением задачи (10.1).

Единственность энтропийного решения. Как мы уже видели выше, обобщенное

решение вообще говоря не единственно. Поскольку мы принимаем формулу ЛаксаОлейник в качестве "правильного"решения этой задачи Коши, следует убедиться в том, что это решение удовлетворяет условию энтропии в какой-либо подходящей форме. Однако, это не так просто, поскольку функция u, определеная по формуле ЛаксаОлейник, не будет гладкой или даже кусочно гладкой.

постоянная C > 0 такая, что функция u, определяемая формулой Лакса-Олейник, удовлетворяет неравенству

Лемма 10.0.1 (односторонняя оценка скачка) В условиях теоремы (10.0.2) существует

u(x + z , t) - u(x, t)
для всех t > 0, и x, z R, z > 0.

C z t

(10.8)

Неравенство (11.1) называется условием энтропии. Из этого неравенства следует, что при t > 0 фунеция x u(x, t) - C x невозрастает и, следовательно, имеет левый t и правый пределы в каждой точке. Тогда u(x, t) также имеет левый и правый пределы в каждой точке, причем ul (x, t) ur (x, t). 68


В частности, условие энтропии в начальной форме (8.9) выполнено в каждой точке разрыва. Доказательство. Из рассмотрений главы об уравнении Гамильтона-Якоби мы знаем, что при вычислении минимума в (10.7) достатосно рассмотреть лишь такие y , что

C, где C - постоянная. Оставим читателю проверку этого утверждения. Соответственно, можно считать, переопределив при необходимости G на некотором ограниченном интервале, что G непрерывна по Липшицу. Так как G = (F )-1 и y (ћ, t) не убывает, имеем x - y (x, t) x - y (x + z , t) G [при z > 0] t t Lip(G)z Lip(G)z x + z - y (x + z , t) - G = u(x + z , t) - . t t t u(x, t) = G
Установим единственность слабого решения, удовлетворяющего условию энтропии.

x-y t

Определение 10.0.1 Будем говорить, что функция u L (R Ч (0, ) является
энтропийным решением задачи

t u + x (F (u)) = 0, (x, t) R Ч (0, ), u|t=0 = g (x), x R
если
0

(10.9)

ut v + F (u)x v dxdt +
R R

g v ds|

t=0

=0

для всех пробных функций v : R Ч (0, ) с компактным носителем и

1 u(x + z , t) - u(x, t) C (1 + )z t для некоторой постоянной C 0 и п.в. x, z R, t > 0, z > 0.

Теорема 10.0.3 (единственность энтропийного решения.)

Пусть F выпуклая и гладкая. Тогда существует не более одного, с точность. до множества меры нуль, энтропийного решения задачи (10.1).

1

Часть XI 11.1
1

Дополнительные темы I семестра.
Единственность энтропийного решения.
Как мы уже видели выше, обобщенное решение вообще говоря не единственно. Поскольку мы принимаем формулу Лакса-Олейник в качестве "правильного"решения этой задачи
в зависимости от уровня курса можно либо привести только формулировку и некоторый комментарий, либо полное докзательство.

69


Коши, следует убедиться в том, что это решение удовлетворяет условию энтропии в какой-либо подходящей форме. Однако, это не так просто, поскольку функция u, определеная по формуле Лакса-Олейник, не будет гладкой или даже кусочно гладкой.

Лемма 11.1.1 (односторонняя оценка скачка) В условиях теоремы (10.0.2) существует
постоянная C > 0 такая, что функция u, определяемая формулой Лакса-Олейник, удовлетворяет неравенству

u(x + z , t) - u(x, t)
для всех t > 0, и x, z R, z > 0.

C z t

(11.1)

Неравенство (11.1) называется условием энтропии. Из этого неравенства следует, что при t > 0 фунеция x u(x, t) - C x невозрастает и, следовательно, имеет левый t и правый пределы в каждой точке. Тогда u(x, t) также имеет левый и правый пределы в каждой точке, причем ul (x, t) ur (x, t). В частности, условие энтропии в начальной форме (8.9) выполнено в каждой точке разрыва. Доказательство. Из рассмотрений главы об уравнении Гамильтона-Якоби мы знаем, что при вычислении минимума в (10.7) достатосно рассмотреть лишь такие y , что

C, где C - постоянная. Оставим читателю проверку этого утверждения. Соответственно, можно считать, переопределив при необходимости G на некотором ограниченном интервале, что G непрерывна по Липшицу. Так как G = (F )-1 и y (ћ, t) не убывает, имеем x - y (x + z , t) x - y (x, t) G [при z > 0] t t x + z - y (x + z , t) Lip(G)z Lip(G)z G - = u(x + z , t) - . t t t u(x, t) = G
Установим единственность слабого решения, удовлетворяющего условию энтропии.

x-y t

Определение 11.1.1 Будем говорить, что функция u L (R Ч (0, ) является
энтропийным решением задачи

t u + x (F (u)) = 0, (x, t) R Ч (0, ), u|t=0 = g (x), x R
если
0

(11.2)

ut v + F (u)x v dxdt +
R R

g v ds|

t=0

=0

для всех пробных функций v : R Ч (0, ) с компактным носителем и

1 u(x + z , t) - u(x, t) C (1 + )z t для некоторой постоянной C 0 и п.в. x, z R, t > 0, z > 0.
70


Теорема 11.1.1 (единственность энтропийного решения.)

Пусть F выпуклая и гладкая. Тогда существует не более одного, с точность. до множества нуль, энтропийного решения задачи (10.1).

2

Доказательство. 1. Пусть u и v два энтропийных решения задачи Коши (11.2). Положим w = u - v . Для любой точки (x, t)
1

F (u(x, t)) - F (v (x, t)) =
0 1

d F ( u(x, t) + (1 - )v (x, t))d = d

=
0

F ( u(x, t) + (1 - )v (x, t))d (u(x, t) - v (x, t)) = b(x, t)w(x, t)

Поэтому, если -пробная функция со свойствами указанными выше, то


0=
0 R

(u - v )t + [F (u) - F (v )] dxdt =
0 R

w(t + bx )dxdt.

(11.3)

2. Положим > 0 и определим u = u, v = v , гдк - стандартное усредняющее ядро по x и t. Очевидно

u



L





u

L



,

v



L





v

L



,

u u, v v
Кроме того, из условия энтропи (ii) следует

п.в. при 0.

u (x, t), v (ix, t) C (1 + 1/t)
для некоторой постоянной C > 0 и всех > 0, x R, t > 0. 3. Полагаем
1

(11.4)

b (x, t) =
0

F ( u (x, t) + (1 - )v (x, t))d

Тогда (11.3) принимает вид


0=
0 R

w(t + b x )dxdt +
0 R

w(b - b )x dxdt.

(11.5)

4. Теперь выберем T > 0 и гладкую финитную функцию : R Ч (0, T ). Пусть z решение следующей задачи для линейного уранения переноса

t z + b x z = , (x, t) R Ч (0, T ); z = 0 на R Ч {t + T }.
5. Покажем, что для любого s > 0 существует постоянная Cs , такая что

(11.6)

|x z | Cs (x, t) R Ч (s, T ).
2

(11.7)

в зависимости от уровня курса можно либо привести только формулировку и некоторый комментарий, либо полное докзательство.

71


для этого сначала заметим, что при 0 < s t T 6. Нам понадобится еще одно неравенство. Имеем
-

|x z (x, t)|dx D

(11.8)

для всех 0 t и некоторой константы D, где достаточно. 7. Завершаем доказательство, подставляя z = z в (11.5) и используя (11.6) Таким образом,


w dxdt = 0
0 R

для всех гладких функций и, следовательно, w = u - v = 0 п.в.

11.2

Инварианты Римана.
t u1 + x f 1 (u1 , u2 ) = 0, x R, t > 0, t u2 + x f 2 (u1 , u2 ) = 0 u1 |t=0 = g 1 , u2 |t=0 = g 2 , x R
(11.9)

Исследуем задачу Коши для системы двух законов сохранения:

Положим F(z) = (f 1 (z ), f 2 (z )), z = (u1 , u2 ), g = (g 1 , g 2 ) и

DF =

u1 f u1 f

1 2

u2 f u2 f

1 2

1

, B(z ) =
0

DF (z0 + t(z - z0 ))dt

Потребуем строгую гиперболичность матрицы DF(z0 ), z0 = (u1 |t=0 , u2 |t=0 ), когда характеристический полином det(I - B(z0 )) имеет два различных вещественных корней. Тогда этот полином также имеет два различных корня, если z близко к z0 и в окрестности точки z0 существуют гладкие функции 1 (z ) < 2 (z ) и единичные вектора {rk (z ), lk (z )}2 такие, 1 что B(z )rk (z ) = k (z ) rk (z ), k = 1, 2;

lk (z )B(z ) = k (z ) lk (z ).
Заметим, что {rk (z )}2 и lk (z )}2 образуют базис в R2 и, кроме того, 1 1

lk (z ) ћ rj (z ) = 0, k = j.

Определение 11.2.2 При фиксированном состоянии z0 R2 будем называть кривой k -го разряжения(и обозначать через Rk (z0 )) кривую в фазовом пространстве R2
решения обыкновенного дифференциального уравнения

d v(s) = rk (v(s)). ds
которая проходит через точку z0 .
72


11.3

Законы сохранения и римановы инварианты.

Наша цель найти условия преобразования задачи Коши (11.9) в гораздо более простую форму, выполнив соответствующую нелинейную замену функций. Для этого введем две функции w1 , w2 R2 R с хорошими свойствами вдоль кривых разряжения R1 , R2 .

Определение 11.3.3 Будем говорить, что
w i R2 R
является i- м римановым инвариантом, если

wi (z ) и lj (z ) паралллельны, z R2 , i = j.

(11.10)

Ниже мы увидем, как используются римановы инварианты, а сейчас найдем условия их существования. Поскольку lk (z ) ћ rj (z ) = k,j , условие (11.10) эквивалентно условию

wi (z ) ћ ri (z ) = 0, z R2 , i = 1, 2,
которое означает, что

(11.11)

w

i

постоянна вдоль кривой разряжения

Ri , i = 1, 2.

(11.12)

В частности, любая гладкая функция wi (z ), удовлетворяющая (11.12), удовлетворяет также (11.11) и (11.10) и, следовательно, будет i- м инвариантом. Замечание. Вообще говоря, для системы более двух законов сохранения инвариантов римана не существует. Теперь можно рассмотреть w = (w1 (z ), w2 (z )) как новые координаты в пространстрве состояний(фазовом пространстве) R2 , более точно, определив w : R2 R2 по формуле

w = w(z ), z = (z1 , z2 ),
с обратным отображением z = z (w) = (z 1 (w1 , w2 ), z 2 (w1 , w2 )). Для упрощения системы двух законов сохранения воспользуемся таким преобразованием. Для этого допустим, что u = (u1 , u2 ) гладкое решение (11.9). Сделав замену

v(x, t) = w(u(x, t)), x R, t > 0.
удовлетворяют системе

Теорема 11.3.2 (Законы сохранения и римановы инварианты.) Функции v 1 , v
t v 1 + 2 (u)x v 1 = 0, в R Ч (0, ), t v 2 + 1 (u)x v 2 = 0.

2

(11.13) (11.14)

Хотя эта система не допускает записи в дивергентной форме законов сохранения, но во многих отношениях она намного проще системы (11.9): уравнение для v 1 не содержит v 2 и соответственно уравнение для v 2 не содержит v 1
73


Доказательство. Имеем
t v i + j (u)x v i = = wi (u)ћ[-x F(u)+j (u)x u] = wi (u) ћ t u + j (u) wi (u) ћ x u = wi (u)ћ[(-DF(u)+j (u)I )x u = C lj ћ[(-DF(u)+j (u)I )x u = 0

поскольку согласно определению wi и lj параллельны и lj ћ [(-DF(u) + j (u)I ). Для интерпретации системы уравнений с частными производными (11.13) рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения

d xi (s) = j (ui (s), s), s 0, i = 1, 2, i = j ds
Из (11.13) следует, что т.е.

(11.15)

d vi = 0 , ds
(11.16)

v

i

поситоянна вдоль кривой (xi (s), s), s 0, i = 1, 2.

Определение 11.3.4 .
ћ Пара (k , Rk ) называется существенно нелинейной(genuinely nonlinear), если
z k

(z ) ћ rk = 0 z R

2

(11.17)

ћ Пара (k , Rk ) называется линейно вырожденной, если
z k

(z ) ћ rk 0 z R

2

Так как i может рассматриваться также как функция переменной w = (w1 , w2 ), то (11.17) можно переписать как

i = 0 , w R 2 , i = j . wj

(11.18)

Чтобы установить эквивалентность (11.17) и (11.18) заметим, что при нарушении (11.18)

0= i = wj
2

2

j =1

zk , i = j. zk w j

w i zk = ij = 0, i = j и из (11.18) следует, что i и wi параллельны. zk wj k=1 Однако wi и ri на самом деле перпендикулярны, т.е. мы пришли к противоречию с (11.17). Следовательно, (11.17) влечет (11.18). Обратное утверждение устанавливается аналогично.
Но тогда 74


Пример (уравнение газовой динамики для баратропного сжимаемого газа.
Общие уравнений Эйлера для потока сжимаемого газа в одномерном случае имеют следующий вид:

t + x ( v ) = 0, сохранение масы, t ( v ) + x ( v 2 + p) = 0, сохранение импульса, t ( E ) + x ( E v + pv ) = 0, сохранение энергии,

(11.19)

в R Ч (0, ). Здесь - плотность массы, v - скорость и E плотность энергии на единицу массы, p- давление. Предположим, что

1 E = e + v2, 2
где e- внутренная энергия на единицу массы, 1 v 2 - кинетическая энергия на единицу 2 массы, и

p = p( , e)

(11.20)

Соотношение (11.20) называется уравнением состояния. Положим u = (u2 , u2 , u3 ) = ( , v , E . Тогда (11.19) запишется в виде

t u + x F(u) = 0, x R, t > 0, (z2 )2 z3 1 z2 + p z1 , - ( )2 , z1 z1 2 z1 z2 z3 z3 1 z2 z2 F 3 (z ) = + p z1 , - ( )2 z1 z1 2 z1 z1 Рассмотрим уравнение Эйлера для баратропного сжимаемого газа, частный случай общих уравнений Эйлера , когда внутренняя энергия e = const постоянна. Соответствующие уравнения имеют вид F 1 (z ) = z2 , F 2 (z ) = t + x ( v ) = 0, t ( v ) + x ( v 2 + p) = 0,
где (11.21)

p = p( )

(11.22)

p : R R гладкая функция. Формулы (11.22) называются баротропным уравнением состояния. Предполагается выпоненым условие строгой гиперболичности p > 0.
Полагая u = (u1 , u2 ) = ( , v ), получим

t u + x F(u) = 0,
75


где F = (F 1 , F 2 ) = (z2 , (z2 )2 /z1 + p(z1 )), z = (z1 , z2 ), z1 > 0. Тогда

DF =
Следовательно

0 -( ) + p (z1 )
z z
2 1

1
2z2 z1

2

.

z2 z2 - (p (z1 ))1/2 , 2 = + (p (z1 ))1 z1 z1 В физических обозначениях 1 = 1 = v - , 2 = v + ,

/2

где (p (z1 ))1/2 - скорость звука. С учетом (11.15) рассмотрим ОДУ

d x1 (t) = v (x1 (t), t) + (x1 (t), t), ) dt d x2 (t) = v (x2 (t), t) - (x2 (t), t), dt

(11.23)

В силу (11.16) риманов инвариант v 1 = w1 () постоянен вдоль траекторий первого уравнения в (11.23), а инвариант v 1 = w1 () постоянен вдоль траекторий второго уравнения в (11.23). Для непосредственного вычисления w1 и w2 преобразуем систему (11.21). В недиввергентном виде (11.21)

t + x + v x = 0, v t + t v + v 2 x + 2 v x v + x p = 0 ,
Умножая первое уравнение (11.25) на 2 = p ( ), получим

(11.24)

t p + v x p + 2 x v = 0,
из второго уравнения в (11.25) следует

t v + v x v + x p = 0.
Теперь преобразуем эти уравнения так, чтобы были выражены направления 1 , 2 = v - (+ ): t p + (v + )x p + (t v + (v + )x v ) = 0,

t p + (v - )x p - (t v + (v - )x v ) = 0.
Отсюда следует

d d (p(x1 (t), t)) + (x1 (t), t) (x1 (t), t) (v (x1 (t), t)) = 0, dt dt d d (p(x2 (t), t)) - (x1 (t), t) (x1 (t), t) (v (x2 (t), t)) = 0. dt dt
76


Так как

d dt

p=

2d dt

, получаем что

dv d + = 0 вдоль траекторий (11.23) dt dt
если

(11.25)

> 0.

Рассмотрим теперь римановы инварианты как функции от , v . Так как v 1 = w1 ( , v ) постоянна вдоль кривой определяемой x1 (ћ), имеем

0=

d1 w1 d w1 d w ( (x1 (t), t), v (x1 (t), t) = [ (x1 (t), t)] + v [v (x1 (t), t)] dt ) dt ) dt

Это выражение совпадает с (11.25), если

w1 ( w1 = , = 1. v
Аналогично выводим

w2 =

1

(s) w2 ds + v , = s v

1

(s) ds - v . s

В качестве упражнения предлагаем слушателям убедиться в том, что w1 и w2 , рассматроиваемые как функции z (z1 , z2 ), удовлетворяют определению римановых инвариантов.

11.4

Несуществование гладкого решения.

Для илюстрации важной роли римановых инвариантов установим с их помощью критерий несуществования гладкого решения.

Теорема 11.4.3 (римановы инварианты и характеристический коллапс.) Пусть g = (g 1 , g 2 )- гладкая финитная функция. Предположим, что выполнено условие существенной нелинейности
i >0 wj
в

R2 , i = 1, 2; i = j.

(11.26)

Тогда задача Коши (11.9) не имеет ГЛАДКОГО решения u, которое существовало бы для всех моментов впемени t 0, если либо x v 1 < 0, либо x v 2 < 0, где нибудь в R Ч {t = 0}.
(11.27)

77


Доказательство. Допустим, что u- гладкое решение задачи Коши (11.9). Положим
a = x v 1 , b = x v 2 ,
где v = w(u), v = (v 1 , v 2 )-решение системы (11.13). Продифференцировав первое уравнение (11.13) по x, находим

t a + 2 x a +

2 2 2 a+ ab = 0. w1 w1

(11.28)

В силу второго уравнения (11.13), которое можно переписать в виде

t v 2 + 2 x v 2 = (2 - 1 )b.
Подставляя это выражение в (11.28), получим

t a + 2 x a +

1 2 2 2 a+ (t v 2 + 2 x v 2 ) a = 0. w1 2 - 1 w2

(11.29)

Для итерации (11.29) зафиксируем x0 R и положим
t

(t) = exp
0

2 1 (t v 2 + 2 x v 2 )(x( s), s) ds, 2 - 1 w 2

(11.30)

где

d x1 (s) = 2 (u(x1 (s), s), s 0 ds

(11.31)

Следующее важное наблюдение согласно (11.16) состоит в том, что v 1 постоянна вдоль кривой (x1 (s), s). Поэтому
1 v 1 (x1 (s), s) = v0 = v 1 (x0 , 0), s 0.

Таким образом, выражение

1 2 , 2 - 1 w 2
ч

рассматриваемое как функция v = w(u), зависчит лишь от v 2 . Положим

(ч) =
0

2 1 1 (v0 , v ) dv . 2 - 1 w2

Тогда из (11.30) и (11.31) получаем
t

(t) = exp
0

d [ (v 2 (x1 (s), s))]ds = exp( (v 2 (x1 (t), t))) - exp( (v 2 (x0 , 0))). (11.32) ds

Теперь преобразуем (11.29) к виду

d 1 d 2 -1 (( )-1 ) = - ( ) = , dt ( )2 dt w1
78


где (t) = a(x1 (t), t), и предположим, что alpha = 0. Тогда

(t)(t))

-1

= ((0))

-1

t

=
0

2 -1 9s)ds. w1

Это равенство, в свою очередь, преобразуется к виду

(t) = 90) (t) 1 + (0)
0

-1

t

2 -1 (s)ds w1

-1

(11.33)

Последнее, ввиду (11.13) функция v ограничена. Поэтому из (11.32) получаем, что 0 < (t) для всех t > 0 и соответствующих констант , . Из (11.26) и (11.33) следует, что ограничена для всех t > 0 тогда и только тогда, когда (0) 0, т.е. когда x v 1 (x0 , 0) 0. Аналогичные вычисления можно провести, заменив v 1 на v 2 . Таким образом, если либо z v 1 < 0, либо z v 2 < 0 где-нибудь на R Ч {t = 0}, то не может существовать гладкое решение задачи (11.9) для всех t 0.

11.5

Энтропийные критерии.

Исчезающая вязкость, бугущие волны. Рассмотрим вязкую регуляризацию системы
законов сохранения
2 t u + x F(u ) - x u , в R Ч (0, ),

1

(11.34)

Будем искать решение в виде бугущей волны

u (x, t) = v

x - t , x R , t 0.

(11.35)

требуется найти скорость и профиль v. Подставляя (11.35) в (11.34), получим что v является решением обыкновенного дифференциального уравнения

-

d d d2 v + DF (v) v = 2 v dt dt dt

(11.36)

Пусть заданы ul , ur Rm , и кроме того
s-

lim v = ul ,

s+

lim v = ur ,

s+

lim

d v=0 ds

(11.37)

Тогда
0

lim u =

ul , x < t, ur , x > t

Поэтому предел при 0 решения (11.35) задачи (11.34) дает ударную волну, соединяющую состояния ul , ur . 79


Первый и главный вопрос, который при этом возникаетсуществуют ли и v, которые будут решать задачу (11.36) с условиями на бесконечности (11.37). Интегрируя, получим

d v = F(v) - v + c, dt
постоянная c Rm . В силу (11.37)

F(ul ) - ul + c = F(ur ) - ur + c = 0
Отсюда

F(ur ) - F(ul ) = (ur - ul ) d v = F(v) - F(ul ) - (v - ul ) dt

(11.38)

Теперь допустим, что левое состояние ul задано, и попытаемся построить бегущую волну, которая соединяет ul с находящимся вблизи состоянием ur .

Определение 11.5.5 Для заданного состояния ul Rm ударной адиабатой называется
множество состояний

S (ul ) = {u Rm | F(u) - F(ul ) = (u - ul ),
для некоторой постоянной = (u, ul ).
Ввиду первого уравнения в (11.38) для существования бегущей волны необходимо, чтобы ur Sk (ul ) для некоторого k {1, . . . , m} и = (ur , ul ).

Предложение 11.5.1 (структура ударной адиабаты) Фиксируем u0 Rm . В некоторой
окрестности точки u0 множество S (u0 ) состоит из объединения m гладких кривых Sk (u0 ), k = 1, . . . , m, обладающих следующими свойствами:

ћ кривая Sk (u0 ) проходит через u0 , с касательной rk (u0 ) ћ limu
u0 , uSk (u0 )

(u, u0 ) = k (u0 ),

ћ (u, u0 ) = 1 (k (u) + k (u0 )) + O(|u - u0 |2 ), при u u0 , u Sk (u0 ). 2

Существование бугущих волн для существенно нелинейных систем. Теорема 11.5.4 Пусть пара k , rk существенно нелинейна при k = 1, . . . , m и u
расположено достаточно близко к ul (Лаксово условие не слишком больших разрывов). Тогда решение (11.34) типа бегущей волны, соединяющее состояния ul , ur , существует тогда и только тогда когда
- ur Sk (ul ) r

(11.39)

для некоторого k {1, . . . , m}.
80


Пример(бегущие волны для p- системы).
t u1 - x u2 = 0 уравнение неразрывности, t u2 - x (p(u1 )) = 0 закон Ньютона,
при обычном структурном условии гиперболичности (11.40)

p > 0.
Выясним условия существования решений типа бегущей волны для вязкой регуляризации

t u,1 - x u,2 = 0, 2 t u,2 - x (p(u,1 )) = x u

(11.41)
,2

Часть XII

Темы упражнений I семестра. Задачник.
В этой главе приведены темы упражнений и задачи. В качестве дополнительного материала использовать сборники задач [6], [11], [12] и пособие [10], [13], [?]. Теоретический материал упражнений дополняет лекции и вынесен отдельно как темы упражнений, в силу удобства использования его как коментарий к задачам.

12.1

Свертка и преобразование Фурье (Лапласа) обобщенных функций

****************** ********************

12.2

Задача Штурма-Лиувилля.
2 (x)t u = x (p(x)x u) - q (x)u

Рассмотрим уравнение (12.1)

колебание неоднородной струны. Упростим уравнение заменой u = z (x)v (x, t)(сведем к случаю 1). Имеем
2 2 2 2 t u = z t v , = z x v + v z , x u = z x v + v z + 2x v z

Отсюда

p2 2p z p 2 t v = x v + + x v + b(x)v z
81


чтобы получить (12.1) с

1 надо положить 2p z p p +, ( )= z

т.е.

z =- z 2

z (x) = (x)-1

/2

Мы всегда предполагаем, что уравнение

> 0, поэтому замена возможна. Итак, рассмотрим
2 t u = x (p(x)x u) - q (x)u

(12.2)

В случае закрепленных концов(u(0, t) = u(l, t) 0) разделением переменных получим общую задачу Штурма-Лиувилля

-(p(x)X (x)) + q (x)X (x) = X (x), X (0) = X (l) = 0
Для смешанного условия получим

(12.3)

X (0) + X (0) = 0, X (l) + X (l) = 0
где вещественные 2 + 2 = 0, 2 + 2 = 0. Обычно предполагается что

p C 1 ([0, l]), q C ([0, l]), p = 0 x [0, l](эллиптичность)
Для простоты будем считать, что p 1, q 0(это не ограничение, поскольку мы можем добиться этого, добавив постоянную к ).

из курса ОДУ-осцилляционную теорему Штурма.

Простейшие свойства собственных функций. Мы используем следующую теорему

Теорема 12.2.1 Пусть даны два уравнения
-y = q1 (x)y , -z = q2 (x)z , q1 (x) q2 (x).
Пусть y (x), z (x)-решения этих уравнений, определенные на [a, b], причем z (a) = z (b) = 0, z не тождественный нуль. Тогда на интервале (0, b) найдется такая точка x0 , что y (x0 ) = 0, либо q1 q2 на [a, b] и y (x) = C z (x), где C - постоянная.

Функция Грина и полнота собственных функций. ***************************

12.3

Коротковолновая асимптотика.

******************** 82


12.4

Метод Галеркина. Смешанная задача
2 t u - div(k (x) u) + a(x) u = f , (x, t) QT = Q Ч (0, T ),

u| u|
t=0

ST

= 0, ST = Q Ч (0, T ),
1 t=0

= H , t u|

= L2 (Q)
1

Пусть vj (x) C 2 (Q), vj | Q = 0, система линейно независимых функций, полная в H , . Рассмотрим конечномерные подпространства линейных оболочек Vm = L(v1 , . . . , vm ) L2 (Q). Метод Галеркина состоит в решении конечномерных аппроксимации смещанной задачи, получаемых ортогональной проекцией на Vm , т.е. ищется wm (x, t) H 2 (QT ), wm |ST = 0, так что wm Vm для t [0, T ] и
m m

wm |

t=0

= m =
j =1

j vj (x), t wm |

t=0

= m =
j =1

j vj (x)

где m , m -ортогональные проекции функций , на Vm . Далее, почти всюду выполнено уравнение 2 t wm - div(k (x) wm ) + a(x)wm = fm Апроксимирующее решение будем искать в виде wm = m cj (t) vj (x). Т.е. ищются j =1 функции cj (t), cj (0) = j , cj (0) = j , так что п.в. t (0, T ) (п.в. t, для которых определен след f (t, ћ)) выполнено интегральное тождество
Q 2 (t wm - div(k

wm ) + awm )vk dx = fk (t) =
Q

f vk dx

(12.4)

т.е.

2 (t wm - div(k

wm ) + awm ) V

m 1

1. существует и единственно wm ,

2. {wm } в некотором слабом смысле сходится к функции u H . Для простоты пусть = 0 m = m = 0.
m

(cj (t)(vm , vk )L
j =1

2

(Q)

+ cj (t)(vm , vk )

H

1

= fk (t) L2 ((0, T )), k = 1, . . . , m

(12.5)

cj (0) = cj (0) = 0, j = 1, . . . , m
Норма

(h, g )

H

1

=
Q

(k

h

g + ahg )dx

Доказательство для любой fm L2 ((0, T )) существования единственного решения (c1 , . . . , cm ) H 2 ((0, T )) системы линейных уравнеений (12.5) следует из классических результатов для ОДУ, поскольку в силу линейной независимости (v1 , . . . , vm ) для любого m 1 невырожденна матрица Грама

det (vk , vj )

L2 (Q)

=0

83


Для матрицы грама
m m

(vk , vj )L
j,k=1

2

(Q)

j k = ||
j =1

j vj ||2 > 0

Из теоремы вложения следует, что (c1 , . . . , cm ) C 1 ((0, T )) Умножая m уравнение на cm и суммируя получим
2 (t wm - div(k

wm ) + awm )t wm dxdt =
QT

f t wm dxdt

QT

Интегрируя по частям получим
2 (t wm - div(k

wm ) + awm )t wm dxdt =

QT

1 2

((t wm )2 + k (
Q

2 wm )2 + awm )dx|

t=T

Рассмотрим подпространство H 1 (QT ) H 1 (QT ), состоящее из функций, обращяющихся в нуль на ST D0 , D = Q Ч {t = }. Можно ввести эквивалентную норму

w
тогда
T

e H 1 (QT )

=
QT

((t wm )2 + k (

2 wm )2 + awm )dxdt

1/2

2
0

d
D


2 (t wm - div(k

wm ) + awm )t wm dx = w w

2 e H 1 (QT )

Следовательно

w

2 e H 1 (QT )

2f

L2 (QT )

e m H 1 (QT )

Отсюда следует слабая компактность множества {wm } в H 1 (QT ), т.е. существование подпоследовательности wmj u H 1 (QT ), j

u- есть обощенное решение смешанной задачи (k
QT 1

u

v + auv - t u t v )dxdt =
QT

f v dxdt

(12.6)

для любой тестовой функции v H (QT ), состоящего из функций из H 1 (QT ), равных нулю на ST DT . Достаточно установить справедливость (12.6) для нкоторого всюду плотного в H (QT ) множества M. В качестве M возьмем vk (x)(t), где (t) C 1 ([0, T ]), такая что (T ) = 0. Докажем справедливость (12.6) для любой v (x, t) = vk (x)(t), т.е. для любой v M. Потом докажем всюду плотность M в H (QT ). Фиксируем m. Для k m умножим (12.4) на (t) и проинтегрируем по (0, T ). Тогда
1 1

[(k
QT

wm

vk + awm vk ) - t wm vk ]dxdt =
QT

f vk dxdt

84


Из слабой сходимости следует, что

[(k
QT

u

vk + auvk ) - t u vk ]dxdt =
QT 1

f vk dxdt

Теперь докажем, что vk плотны в H (QT ). Для этого достаточно установить, что множество (x, t) C 2 (QT ), |ST DT = 0, плотное в H (QT ), можно аппроксимировать функциями из M. По неравенству Фридрихса интеграл Дирихле
1

(
QT

((t f )2 + |
1

f |2 )dxdt)1/2

определяет эквивалентную норму в H (QT ). M линейная комбинация vk , Vk ортонормированного

базиса в H (Q), где скалярное произведение (f , g )

1

ортонормированную систему методом Грама-Шмидта.

H (Q)

1

=

Q

f

g dx. Из vj получаем

e1 = h1 / h1 , e2 = (h2 - (h2 , e1 )e1 )/ h2 - (h2 , e1 )e1 , . . . , em = (hm - (hm , e1 )e1 ) - ћ ћ ћ - (hm , e1 )em-1 )/ hm - (hm , e1 )e1 ) - ћ ћ ћ - (hm , e1 )em-
Для любой функции (x, t)
1 1

C (QT ), |

2

ST

= 0, для любого t

[0, T ] имеем
1

, t H (Q) поэтому их можно разложить в сходящийся в метрике H (Q) ряд Фурье


(x, t) =
j =1

k (t) (x), t (x, t) =
j =1

vk

k (t)vk (x)

где k (t) =

Q

(x, t)


vk (x)dx, при этом

2 (k + (k )2 ) = j =1

(| (x, t)|2 + | t |2 )dx.
Q

Обозначим через N (x, t) =

t [0, T ] функции t - t N H (Dt ). Поэтому на основании неравенства Стеклова t - t N
L2 (Dt )

N j =1 1

k (t)vk (x). Отсюда для любого N

1 при всех

C t - t

N

H (Dt )

1

где постоянная C > 0 зависит только от области Q. Следовательно, для любого N 1 при всех t [0, T ]

t - t N

2 L2 (Dt )

+ - N


2

H (Dt )

1

C 2 t - t N

H (Dt )

1

+ - N

H (Dt )

1

=

=

2 (k + (k )2 ) 0, N j =N +1

85


Поэтому на основании теоремы Леви

-

2 N e1 e H (QT )

T

=
0

( t - t

2 N L2 (Dt )

+ -

N

2

H (Dt )

1

)dt 0, N

В силу единственности обобщенного решения вся последовательность wm слабо в H 1 (QT ) сходится к u.

интегрируемая по Лебегу в Q с ограниченной последовательностью интегралов п.в. сходится к некоторой интенрируемой по Лебегу функции f (x), так что
N

Теорема 12.4.2 (Теорема Леви) Любая монотонная п.в. последовательность fk (x),

fk (x) dx M ,

lim (L)
Q

fN dx = (L)
Q

f dx

12.5 12.6 12.7

Обобщенные функции Свертка тестовых и обобщенных функций Законы сохранения. Энтропийные решения

Преобразование Фурье и Лапласа обобщенных функций.

Часть XIII

Задачи для курсовой работы первого семестра
13.1 Задачи на построение коротковолновых асимптотик.
Первые десять задач каждого раздела предназначены для студентов физического отделения, следующие десять для студентов химического отделения.

времени, на котором она определена, для следующей задачи:

Уравнение Шредингера. Построить коротковолновую асимптотику и указать интервал
1. ih h2 = - + 2x2 , | t 2 h2 = - + x2 , | t 2
86

t=0

=



1 - x4 e

2i h

x

.

2. ih

t=0

=



4 - x2 e

-i h

x

.


i h2 = - + 3x2 , |t=0 = sin(x)e 2h x . t 2 2 3i h 1 = - + x2 , |t=0 = sin(4 - x)e h x . 4. ih t 2 2 i h2 5. ih = - - x2 , |t=0 = (x - 2)e h x . t 2 2 i2 h 6. ih = - + (x - 4) , |t=0 = (2x - 8)2 e h x . t 2 i2 h2 2 7. ih = - + (2x - 1) , |t=0 = e-x e 2h x . t 2 x2 2i 2 h2 8. ih = - + (3 - x) , |t=0 = e- 2 e h x . t 2 2 -i 2 h 9. ih = - + (5 + 2x) , |t=0 = 3 + x2 e h x . t 2 i h2 2 10. ih = - + (1 + x) , |t=0 = tg(x)e h (x-1) . t 2 2 i h = - + (x2 + 2x + 1) , |t=0 = 9 - 4x2 e h x . 11. ih t 2 2 -2i h 12. ih = - + (4x2 - 4x + 1) , |t=0 = 4 - x4 e h x . t 2 i h2 = - + (2x2 + 8x + 8) , |t=0 = 1 + x2 e h x . 13. ih t 2 i h2 14. ih = - + (x2 - 6x + 9) , |t=0 = tg(1 - x)e 2h x . t 2 -i h2 15. ih = - - (x2 + 8x + 16) , |t=0 = sin(2x)e 3h x . t 2 i2 h2 16. ih = - + (3x - 7) , |t=0 = cos(x)e h x . t 2 h2 2 3i 2 17. ih = - + (2x + 9) , |t=0 = e-2x e h x . t 2 x2 -i 2 h2 18. ih = - + (1 - 4x) , |t=0 = e- 2 e h x . t 2 i h2 19. ih = - + (5 + x) , |t=0 = (x - 2)3 e h . t 2 2 -i h 2 = - + (x2 + 1) , |t=0 = (2 - x3 )e h (x-1) . 20. ih t 2

3. ih

87


Волновое уравнение. Построить коротковолновую асимптотику для следующей задачи:
1. utt - (x - 3)4 u 2. utt - 3. utt - 4 u (x + 1)2
xx xx

= 0, 0 (x) = 2, S0 (x) =

1 . 3-x

1 = 0, 0 (x) = 3 x + 1, S0 (x) = (x + 1)2 . 4

1 1 1 u = 0, 0 (x) = - x - , S0 (x) = (x - )2 . 2 xx (2x - 1) 2 2 4 1 4. utt - 4 uxx = 0, 0 (x) = x, S0 (x) = x3 . x 6 4 1 5. utt - 9x6 uxx = 0, 0 (x) = , S0 (x) = - 2 . 3 6x x 4 6. utt - (t + 3) uxx = 0, 0 (x) = 1, S0 (x) = 9 - x. 0 (x) = -1, S0 (x) = 1 + 1 0 (x) = , S0 (x) = 1 - 2 1 0 (x) = - , S0 (x) = 2 + 3 3 0 (x) = 3, S0 (x) = + 8 1 = 0 , 0 ( x) = , S0 (x) = - 2 2x (x + 5)3
xx

7. utt - 4(t + 1)2 uxx = 0, 1 8. utt - (t + 2)2 uxx = 0, 4 4 9. utt - uxx = 0, (t + 1)4 9 10. utt - uxx = 0, (t + 2)6 11. utt - (x + 5)6 u 12. utt - 13. utt -
xx

x. x. x. x. 1 . + 20x + 50

1 u (x - 1)4

1 = 0, 0 (x) = 2x - 2, S0 (x) = (x - 1)3 . 3

3 4 1 3 u = 0, 0 (x) = 2 x + , S0 (x) = (x + )2 . 2 xx (2x + 3) 2 2 2 1 9 14. utt - 6 uxx = 0, 0 (x) = 3 x3 , S0 (x) = x4 . x 12 4 1 15. utt - 4x4 uxx = 0, 0 (x) = , S0 (x) = - . x 2x 1 16. utt - (t + 1)6 uxx = 0, 0 (x) = 1, S0 (x) = - + x. 4 16 17. utt - 4(t + 2)4 uxx = 0, 0 (x) = -1, S0 (x) = - x. 3 1 1 81 18. utt - (t + 3)6 uxx = 0, 0 (x) = , S0 (x) = - x. 4 2 8 4 1 19. utt - u = 0, 0 (x) = - , S0 (x) = -1 + x. 4 xx (t + 2) 3 9 20. utt - uxx = 0, 0 (x) = 3, S0 (x) = 3 + x. (t + 1)4
88


13.2

Задачи на преобразования Фурье и Лапласа.
xx xx xx xx xx xx xx xx xx

Решить с помошью преоразования Лапласа :
1. ut = u 2. ut = u 3. ut = u 4. ut = u 5. ut = u 6. ut = u 7. ut = u 8. ut = u 9. ut = u

+ 2ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, u|

x=0

= 0 , u|

x=1

= t, u|

t=0

= 0;

- 3ux + t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0 x=0

= 0 , u| = t , u| = t, u|

t=0

= x; = 0 , u| = 0; = 0 , u|
t=0 t=0

- ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u| + ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux | + u + et sin x, 0 < x < , 0 < t < +, u| + 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u| + ux - 2u, 0 < x < 1, 0 < t < +, u|

x=

= 0;

x=0

t=0 x=

x=0

= 0 , u| = 1 , u|

= 1;

x=0

t=0

= 1;
t=0

x=0

= 0 , u|
x=0

x=1

= 0, u|
x=1

= sin 2 x;
t=0

- 2ux + 5u, 0 < x < +, 0 < t < +, u| + et
-2x

= sin t, u|
t=0

= 0 , u|

= 0;

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

= et , u|

= 0; = 2 t , u|
t=0

10. ut = 4u 11. ut = u 12. ut = u

xx

+ ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, ux |

x=0

= 0, u|

x=1

= 0;

xx xx

+ 3ux - t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, ux |

x=0 x=0

= 0 , u|

t=0

= -x; = 0 , u|
t=0

- 7ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u| + ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |

= t 2 , ux | = 2t, u|

x=

= 0;

13. ut = 2u 14. ut = u 15. ut = u

xx

x=0

t=0

= 0; = 0 , u| = 1;
t=0 t=0

xx xx

+ u - e-t sin 2x, 0 < x < , 0 < t < +, u|

x=0

= 0 , u|

x=

= 0;

+ 2ux + u - 1, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |
x=0

x=0

= 1 , u|
x=1

t=0

16. ut = uxx + ux - 2u + et , 0 < x < 1, 0 < t < +, ux |

= 0 , u|

= 0 , u|

= sin 2 x;
x=1

17. ut = uxx - 2ux + 5u + tx(1 - x), 0 < x < +, 0 < t < +, u| u|t=0 = 0; 18. ut = u
xx

x=0

= sin t, u|

= 0,

+ 4e2

t+x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

= e2t , u|
x=0

t=0

= 0;
x=1

19. utt = uxx + 2ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| ut |t=0 = 0; 20. utt = u
xx

= 0 , u|
t=0

= t , u|
t=0

t=0

= 0,

- 3ux + t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

= 0 , u|
x=0

= 0 , ut |
x=

= - x;
t=0

21. utt = uxx - ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u| ut |t=0 = 0; 22. utt = uxx - ux - sin 2t, 0 < x < , 0 < t < +, u| ut |t=0 = cos x; 23. utt = u
xx

= t, u| = 0 , u|
t=0

= 0 , u| = 0 , u|
t=0

= 0, = 0,

x=0

x=

t=0

+ ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |
89

x=0

= t , u|

= 0 , ut |

= 0;


24. utt = uxx + u + et sin x, 0 < x < , 0 < t < +, u| ut |t=0 = 0; 25. utt = u 26. utt = u
xx xx

x=0

= 0 , u|
t=0 t=0

x=

= 0 , u|
t=0 t=0

t=0

= 1,

+ 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u| + 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0 x=0

= t , u|

= 0 , ut |

= 1; = 0; = sin 2 x,
t=0

= 1 , u| = 0 , u|

= 1 , ut | = 0 , u|
x=1

27. utt = uxx + ux - 2u, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| ut |t=0 = 0;

x=0

x=1

t=0

28. utt = uxx - 2ux + 5u, 0 < x < +, 0 < t < +, u| ut |t=0 = 0; 29. utt = u 30. utt = u
xx xx

x=0

= sin t, u|
t=0

= 0 , u|
t=0

= 0,

+ et + et

-2x +2x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u| , 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0 x=0

= et , u| = 0 , u|

= 0 , ut | = 0, ut |

= 0; = e2x .

t=0

t=0

90


Рещить с помощью преобразования Фурье задачи
1. utt - 2ut = u ut |t=0 = 0;
xx

+ 2ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, u|
xx

x=0

= 0 , u|

x=1

= t , u|

t=0

= 0, = x, = 0, = 0; = 0, = 0;

2. utt + 3ut - u = u ut |t=0 = 0;

- 3ux + t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

= 0 , u| = t , u|

t=0

3. utt + ut + u = uxx - ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 4. utt + 2ut = u
xx

x=0

x=

+ ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |

x=0

= t , u|

t=0

= 0 , ut | = 0 , u|

t=0

5. utt + 6ut + 9u = uxx + u + et sin x, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 1, ut |t=0 = 0; 6. utt - ut = u 7. utt + ut = u ut |t=0 = 0;
xx

x=0

x=

+ 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u| + ux - 2u, 0 < x < 1, 0 < t < +, u|
x=0

x=0

= 1 , u|
x=1

t=0

= 1 , ut |
t=0

t=0

xx

= 0, u|
x=0

= 0 , u|
x=1

= sin 2 x,
t=0

8. utt + ut = uxx - 2ux + 5u, 0 < x < +, 0 < t < +, u| ut |t=0 = 0; 9. utt + 2ut - 3u = u ut |t=0 = 0;
xx

= sin t, u|

= 0 , u|

= 0, = 0,

+ et

-2x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

= et , u| = 0 , u|

t=0

10. utt + 4ut + 3u = 4uxx + ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, ux | u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 11. utt + ut = uxx + 3ux - t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, ux |
x=0

x=0

x=1

= 2 t, = 0; = 0, = 0, = 0, = 1, = 0,

= 0 , u|

t=0

= - x , ut | = t 2 , ux |

t=0

12. utt - ut - 2u = uxx - 7ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 13. utt + 5ut + 6u = 2u ut |t=0 = 0;
xx

x=0

x=

+ ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |
x=0

x=0

= 2 t , u|

t=0

14. utt - ut = uxx + u - e-t sin 2x, 0 < x < , 0 < t < +, u| ut |t=0 = 0; 15. utt + ut = u ut |t=0 = 0;
xx

= 0 , u|

x=

= 0 , u|

t=0

+ 2ux + u - 1, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |

x=0

= 1 , u| = 0 , u|

t=0

16. utt - 2ut = uxx + ux - 2u + et , 0 < x < 1, 0 < t < +, ux | u|t=0 = sin 2 x, ut |t=0 = 0;

x=0

x=1

17. utt + 3ut = uxx - 2ux + 5u + tx(1 - x), 0 < x < +, 0 < t < +, u| u|x=1 = 0, u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0;

x=0

= sin t,

91


18. utt + ut - 2u = u ut |t=0 = 0;

xx

+ 4e2t+x , 0 < x < +, 0 < t < +, u|
x=0

x=0

= e2t , u|

t=0

= 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0; = 1,

19. utt - ut = uxx + 2ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| ut |t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 20. utt + 2ut + u = u ut |t=0 = -x;
xx

= 0, u|

x=1

= t , u| = 0 , u|

t=0

- 3ux + t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

t=0

21. utt - ut - u = uxx - ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 22. utt - u = uxx - ux - sin 2t, 0 < x < , 0 < t < +, u| ut |t=0 = cos x; 23. utt + ut = u
xx x=0

x=0

= t , u|

x=

= 0 , u| = t , u|

x=

= 0 , u|

t=0

+ ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |

x=0 x=0

t=0

= 0 , ut |

t=0 t=0

24. utt + 2ut = u ut |t=0 = 0; 25. utt - ut = u

xx

+ u + et sin x, 0 < x < , 0 < t < +, u|

= 0 , u|

x=

= 0 , u|

xx

+ 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

= t, u|

t=0

= 0 , ut |

t=0

= 1; = 0;

26. utt - 3ut = u 27. utt + ut = u ut |t=0 = 0;

xx

+ 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|
x=0

x=0

= 1 , u|
x=1

t=0

= 1 , ut |
t=0

t=0

xx

+ ux - 2u, 0 < x < 1, 0 < t < +, u|

= 0, u|

= 0 , u|

= sin 2 x,
x=1

28. utt - 2ut = uxx - 2ux + 5u, 0 < x < +, 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 29. utt + u = u
xx xx

x=0

= sin t, u| = 0 , ut | = 0 , ut |
t=0

= 0,

+ et +e

-2x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0 x=0

= et , u| = 0 , u|

t=0

= 0; = e2x .

30. utt - u = u

t+2x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

t=0

t=0

Список литературы
[1] В. И. Арнольд Математические методы классической механики// Эдиториал УРСС, Москва(2000) [2] А. Ф. Филлипов Введение УРСС(Москва), 2004 в теорию дифференциальных уравнений//

[3] Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний// М. Наука(1974) [4] А. Ф. Филлипов Асимптотические и качественные методы в теории дифференциальных уравнений и приложениях// Учебно-методическая разработка, изд. МГУ(1990)

92


[5] А. Ф. Филлипов Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М. Наука(1985) [6] Конспекты лекций по математическим В. В. Белова, С. Ю. Доброхотова(2006) [7] Л.К. Эванс Уравнения Рожковская(2003) с частными методам физики, под редакцией Тамара

производными//Новосибирск,

[8] М. Шубин Лекции об уравнениях математической физики//МЦНМО Москва(2001) [9] Комеч А.И. Практическое решение уравнений математической физики//Учебнометодическое пособие для студентов университетов, МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва(1993) [10] В.С. Владимиров Сборник задач по уравнениям математической физики//М. Наука(1982) [11] Сборник задач по уравнениям с частными производными(под. редакц. А.С. Шамаева), Москва, БИНОМ Лаборатория знаний (2005) [12] А.Ю. Горицкий, С.Н.Кружков, Г.А.Горицкий Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка:обобщеные решения, ударные волны, центрированные волны разряжения(краткое учебное пособие)//МГУ им. М.В.Ломоносова, мех.-мвт. ф.-т., Москва(1997) [13] В.В. Белов, Е.М.Воробьев Задачник по уравнениям математической физики//Московский институт электронного машиностроения, Москва(1974)

93