УДК 517.5

Четыре теоремы о равномерных оценках осциллирующих интегралов / В. Н. Карпушкин. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2014. ? 3. С. 56-60.

Получены точные по порядку равномерные оценки осциллирующих интегралов с мономиальной фазой. Этот результат близок к гипотезе В. И. Арнольда о равномерных оценках осциллирующих интегралов. Именно установлена равномерная по фазе и амплитуде оценка сверху модуля осциллирующего интеграла величиной порядка τ^-1/k ln^n-1τ для любого достаточно малого возмущения фазы - монома x₁^m₁…x_n^m_n, m_j ≤ k, 1 ≤ k, - мономами x₁^s₁…x_n^s_n, где s_j ≤ k, 1 ≤ j ≤ n, и для любой амплитуды φ ∈ C₀²(ℝⁿ), n>0. В случае |m| < nk равномерная оценка при том же возмущении и той же амплитуде имеет величину порядка τ^-1/k ln^n-2τ. В случае k = 1 также получена равномерная оценка величиной порядка τ^-1 ln^n-2τ. В случае, когда амплитуда обращается в нуль в начале координат, получена оценка величиной порядка τ^-1/k ln^n-2τ. Установлена равномерная оценка для полиномиальной фазы. Ранее была известна оценка осциллирующего интеграла величиной $(32)ⁿ τ^-1/k ln^n-1(τ+2) для амплитуды - характеристической функции куба - и такой же фазы.

Ключевые слова: осциллирующий интеграл, фаза, амплитуда, равномерная оценка.

Библиогр. 5.