Геометрические методы в теории фундаментальных взаимодействий

1. (Псевдо)евклидовы пространства. Кривые, формулы Френе-Серре. Поверхности. Индуцированная метрика. Символы Кристоффеля и тензор Римана. Внешняя кривизна. Формулы Гаусса-Кодацци.
2. Дифференцируемые многообразия. Тензоры. Метрика. Производная Ли. Группы преобразований. Классификация двумерных многообразий. Проективные пространства. Теоремы о погружении.
3. Дифференциальные формы. Внешнее произведение и внешнее дифференцирование. Формула Стокса. Оператор Ходжа. Скалярное произведение форм и кодифференциал. Лапласиан. Теория Максвелла на языке внешних форм.
4. Границы, цепи и циклы. Группы гомологий. Гомологии сфер и торов. Разложение Ходжа и гармонические формы. Группы когомологий. Формула Куннета. Дуальность. Числа Бетти и число Эйлера. Связь гомологий и когомологий.
5. Комплексные многообразия. Голоморфные отображения. Сфера Римана и комплексное представление сфер с ручками. Почти комплексная структура и тензор Нойенхейса. Кэлеровы метрики. Когомологии Дольбо. Пространства Калаби-Яу.
6. Кватернионы. Группа SL(2,Q). Алгебра октав. Группа G2 автоморфизмов алгебры Кэли и ее погружение в SO(7).
7. Аффинная связность. Кручение. Тензор кривизны в пространствах с кручением. Формулы Картана.
8. Расслоенные пространства. Главное и ассоциированное расслоения. Связность и кривизна. Геометрическая интерпретация калибровочных теорий. Расслоение монополя и инстантон БПШТ.
9. Касательное расслоение. Лоренцева связность. Связь аффинной кривизны и кривизны лоренцевой связности.
10. Алгебры Клиффорда над SO(p,q) и группа Spin(p,q). Уравнение Дирака в (псевдо)римановом пространстве произвольной размерности. Матрицы Дирака. Ковариантное дифференцирование спинтензоров.
11. Внешний ковариантный дифференциал в расслоениях. Тождества Бианки. Характеристические классы Черна и Понтрягина. Пфаффиан и классы Эйлера. Формула Гаусса-Боннэ.

12. Двухточечные тензоры в (псевдо)римановом пространстве. Функции Грина безмассовых полей в формализме Швингера-Де Витта.
13. Квантование в искривленном пространстве. Перенормировки и контрчлены.
14. Пространства с горизонтами событий. Теоремы Хокинга. Испарение черной дыры.
15. Горизонт и энтропия. Проблема квантовой когерентности. Понятие о голографии.
16. Симметрические и однородные пространства. Сигма-модели, матричное представление косетов.
17. Размерная редукция в теории гравитации и калибровочных теориях. Дуальные симметрии редуцированных теорий. Редукция в трехмерие как метод решения уравнений Эйнштейна.
18. Модели супергравитации в четырехмерии. Спиноры Киллинга и суперсимметрия классических решений.
19. Многомерные супергравитации и их размерная редукция.
20. Характеристические классы в многомерной гравитации. Гравитация Лавлока.
21. Трехмерная гравитация как калибровочная теория Черна-Саймонса. Петли Вильсона.
22. Модели гравитации на гипербранах и их приложение к космологии.

1. А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М. 2004.
2. С.П. Новиков, И.А. Тайманов. Современные геометрические структуры и поля. М. 2005.
3. Eguchi T, Gilkey T.B., Hanson A.I. Gravitation, Gauge theory and Differential geometry. Phys. Rep., 1981, v. 66, p. 213-393.
4. С. Хокинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.
5. Н. Биррелл, П. Девис. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. М.: Мир, 1983.
6. P. Townsend. Black holes, hep-th/9707012.
7. D. Page. Hawking Radiation and black hole thermodynamics, hep-th/0409024.
8. И.П. Волобуев, Ю.А. Кубышин. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения к теории поля. УРСС, 1998.
9. P. van Nieuwenhuizen. Supergravity. Phys. Rep., 1981, v. 68, p. 169.