П.В. Полуян

Сибирский исследовательский центр «Неосинтез», а/я 19589, г. Красноярск,.660049

E-mail: polyan2002<значок электронной почты>mail.ru

ВРЕМЯ. АРЕАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА. ХРОНОМЕТРИКА

Опубликовано в сборник тезисов международной научной конференеции "Number, Time, Relativity". Proceedings of International Scientific Meeting. Moscow: 10 August - 13 August, 2004.

Время обычно отождествляется с одномерным линейным континуумом действительных чисел, где каждая точка соответствует мгновению времени. Возможны также экзотические модели времени, где мгновения образуют счетное множество натурального ряда чисел (это подразумевает атомарную структуру времени), а также, где допускается кольцевой порядок следования мгновений. Видимо следует признать, что в основе всех этих вариантов лежат представления, сформированные геометрическим путем - то есть пространственноподобные структуры. Альтернативным был бы подход, когда время моделируется с помощью иных представлений, сформированных на основе отношений, характерных именно для времени, а не для пространства. В данной работе предлагается хронометика, основанная на так называемых ареальных множествах. При этом понятие ареального множества мы выводим в результате анализа структуры времени.

Общепризнанными особенностями структуры времени является, во-первых, его деление на НАСТОЯЩЕЕ, ПРОШЕДШЕЕ и БУДУЩЕЕ, а, во-вторых, представление времени как множества мгновений. Так, например, понимается время в релятивистской теории, где сравнение времен в разных системах отсчета строится именно на сопоставлении мгновений, а также подмножеств мгновений относящихся к прошлому, будущему и настоящему.

Мы не будем вторгаться в область определения теории относительности. Для нашего построения вполне достаточно двух вышеназванных структурных особенностей. И вообще, прежде чем сравнивать времена в разных системах, целесообразно проследить логику структурирования времени в одной системе отсчета.

Казалось бы, здесь нет никаких трудностей - все множество мгновений времени мы должны разбить на три части: мгновение НАСТОЯЩЕГО, мгновения ПРОШЛОГО и мгновения БУДУЩЕГО. Однако уже здесь возникает некая логическая трудность - ведь мгновений БУДУЩЕГО на самом деле нет, будущее ЕЩЕ не наступило. Кроме того, сразу же замечаем, что и о мгновениях прошлого мы говорим в некотором особом смысле, поскольку их УЖЕ нет. Теоретики обычно такого рода рассуждения относят к феноменологическим или даже субъективно-метафорическим утверждениям, которыми можно пренебречь. Объяснительная схема такова: прошлого нет В ТОМ СМЫСЛЕ, что нет в наличии физических состояний материального мира, которые были раньше, а будущего нет, поскольку настоящее состояние изменяется - на смену ему придут иные состояния. Однако в такого рода умозаключениях есть некоторая натяжка: смена состояний материальных систем - это всего лишь внешний показатель течения времени (а периодическая смена состояний - это часы, прибор для измерения времени). Иными словами, понятие времени заключается не в том, что бывают разные состояния, а как раз в логических конструкциях УЖЕ НЕ и ЕЩЕ НЕ, в словах "раньше" и "позже", показывающих ту самую структуру времени, которую можно и нужно брать в качестве предмета изучения. Мы должны изучить именно логическую структуру времени, а не редуцировать время к смене физических состояний или ощущений, поскольку любая такая редукция уже предполагает логику времени.

Что же мы должны сказать о времени? Во-первых, время - это бесконечное множество мгновений. Во-вторых, ВСЕ множество мгновений ВСЕГДА разделено на три подмножества: Прошлое, Настоящее и Будущее. В-третьих, существует только мгновение НАСТОЯЩЕГО, а мгновения прошлого УЖЕ не существуют, и мгновения будущего при этом ЕЩЕ не существуют. Возникает возражение: если некоторое мгновение отнесено к несуществующим, оно, тем не менее, могло быть настоящим раньше, или же оно станет настоящим потом, ведь время течет! Совершенно верно, и эта важная особенность будет зафиксирована в принципе ареальности. Он гласит: элемент данного множества является реальным тогда и только тогда, когда все остальные элементы данного множества являются нереальными. Для времени это очевидно: мгновение настоящего реально тогда, когда все остальные мгновения времени вынесены в ареальность - в прошлое или в будущее.

На первый взгляд создается впечатление, что мы здесь совершили какую-то смысловую подмену, и ввели неизвестно зачем неизвестно что. Во-первых, данное определение множества расходится с классическим определением множества, где полагают все его элементы существующими, актуально заданными. Во-вторых, смысл термина "ареальность" какой-то ненаучный. В-третьих, общее понятие подразумевает, что в качестве ареального множества могут быть представлены не только мгновения времени, но и какие-либо иные совокупности элементов. Где же они?

На первый вопрос ответ находится легко: для того и формируются в науке понятия, чтобы их можно было уточнять и развивать. Иными словами, классические множества могут оставаться при своем определении, а ареальные множества являются иного рода совокупностью. То есть: АРЕАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО - это совокупность элементов, каждый из которых является реальным тогда и только тогда, когда другие элементы данного множества являются нереальными. Ареальные множества обладают и обычными свойствами множеств - они могут состоять из бесконечного или конечного числа элементов (в последнем случае, очевидно, минимальным числом элементов ареального множества будет два). Что касается нереальности-ареальности - это свойство, конечно, странное, и для преодоления психологического предубеждения, можно, например, предложить такую интерпретацию: все элементы данного множества существуют, но если один существует РЕАЛЬНО, то другие - НЕРЕАЛЬНО.

Теперь рассмотрим конкретные варианты ареальных множеств.

Ареальным является множество нормировок числовой оси. Действительно, если выбрана (сделана реальной) одна нормировка, нереальными являются другие нормировки. Мы говорим: эта точка на числовой оси - единица, соответственно выстраиваем 2, 3, 4 и т. п., а также 1/2, 1/3, 1/4 и т. п. Соответственно, при реализации другой нормировки единицей становится, скажем, "3" из прежней нормировки (той, которая теперь вытеснена в ареальность). Очевидно, внутри всего этого множества нормировок имеется единство: от одной нормировки мы можем переходить к другой с помощью нормировочного коэффициента. И понятно, что множество нормировок действительной оси является бесконечным ареальным множеством.

Ареальным конечным множеством является множество из двух высказываний - состоящее из утверждения А и его отрицания не-А. Если А - является истинным (реальным), его отрицание не-А является неистинным (то есть нереальным), если же истинным является не-А, то неистинным (нереальным) является противоположное ему утверждение А. Здесь ареальность очевидна и не случайна, ведь логический закон противоречия гласит, что не могут быть истинными А и не-А в ОДНО И ТО ЖЕ ВРЕМЯ. Таким образом, мы видим, что отношение ареальности не является какой-то произвольной выдумкой, а заложено имплицитно в основном законе логики - в законе противоречия. Но эксплицируя отношение ареальности, обнаруживая его в явном виде, мы теперь должны обобщить его, - аральное множество из двух утверждений А и не-А оказывается лишь простейшим случаем более сложного ареального отношения. (Мы не будем здесь развивать логические приложения принципа ареальности. Разработаны логические системы, где истинность одного утверждения находится в ареальном отношении с конечным множеством других утверждений.)

Обратимся вновь к ареальному множеству нормировок - в этом случае мы имеем дело с некоторой вполне конкретной математической структурой, которую можно использовать для построения хронометрики.

Выяснилось, что множество нормировок - ареальное множество. Но мы начинали с того, что определили также и ВРЕМЯ в качестве ареального множества. Для выявления ареальности времени нам понадобились довольно расплывчатые и глубокомысленные понятия «Прошлое», «Настоящее» и «Будущее». Оперируя такими понятиями легко придти к парадоксам. Например, Зенон Элейский на основе похожей системы аргументов пришел к выводу, что движения реально не существует, поскольку реальным может быть только одно мгновение. Но теперь у нас есть ареальное множество нормировок, где мы абстрагируемся от внематематических ассоциаций, и, следовательно, можно использовать конкретное ареальное множество нормировок в качестве модели временного порядка. Итак, попробуем отождествить с хронометрикой ареальное множество нормировок оси действительных чисел.

Такое отождествление, по нашему мнению, очень конструктивно и позволяет вывести интересные следствия. Время теперь уже не моделируется ординарным континуумом действительных чисел, а находит свою теоретическую репрезентацию - модель - в более сложной структуре. Мы вправе теперь предположить, что мгновение времени - это не просто точка на числовой оси, а определенная нормировка числовой оси, а вот переход к следующему мгновению времени - это не перескок в соседнюю точку на оси (точку с координатой в той же нормировке), а переход к точке "соседней", но выражаемой в другой нормировке. Посмотрите, какой интересный вывод получается. Если «соседнее мгновение времени» на временной оси - это другая нормировка, то сохраняется соседство (как это было в стандартной модели времени) и появляется новое свойство - коэффициент нормировки между двумя мгновениями (даже сколь угодно близкими). Тогда реальная временная ось «уже бывшего» прошлого - это непрерывный континуум, но состоящий из точек, принадлежащих к разным нормировкам, причем реализация одной нормировки в виде мгновения времени приводит к исключению возможности для реализации этой же нормировки на отрезке оси будущего. Возникает вопрос: позволяет ли предложенная модель увидеть асимметрию временного порядка?

Однако здесь мы уже переходим к утверждениям, которые можно и нужно выражать в символах некой новой формальной системы. Автор выражает надежду, что содержательная часть изложена понятно.