Предлагаемая здесь работа адресована в первую очередь физикам, - математические аспекты вынесены за скобки, а физическое содержание конкретизировано. Автор рекомендует заинтересовавшимся читателям обратиться к электронным версиям "Нестандартный анализ неклассического движения. Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?", "Время и хронометрика. Ареальные множества", которые представлены на русском и английском языках в Интернете (на сервере Красноярского государственного университета www.krasu.ru - http://res.krasu.ru/non-standard, а также на www.sciteclibrary.ru -

http://sciteclibrary.ru/catalog/pages.3556.html, http://sciteclibrary.ru/eng/catalog/pages/3773.html)

Один из научных текстов Вольфганга Паули начинается примечательной фразой: "Введем, как обычно, вещественные координаты X_k для пространства и мнимую координату X₄ = iCt для времени, и рассмотрим преобразования Лоренца..." (В.Паули. Труды по квантовой теории. М.: "Наука", 1977, в статье "К математической теории матриц Дирака", п.5 "Преобразование Лоренца волновых функций Дирака", с. 233.). Словесный оборот "как обычно" можно расценить в качестве остроумной интеллектуальной провокации, подразумевающей, что указанную процедуру можно сделать и "необычным" путем. Как? Не трудно сказать: мы попробуем для времени оставить вещественную координату, а 3 пространственные координаты представим как мнимые. Тогда 4-мерный псевдоевклидовый континуум Минковского превратится в некое необычное многообразие, которое мы далее будем называть "квартернионное время-пространство".

Итак, мы имеем перед собой 4-мерное многообразие, где вещественная ось - чистое время, а три другие - это пространственные координаты, превращенные в мнимые временные оси. При построении 4-мерного псевдоевклидового континуума Минковского все четыре координаты были выражены в одной мере [x], что достигалось с помощью умножения временной координаты на коэффициент C - скорость света [м/с]. Поэтому в нашем квартернионном время-пространстве одноразмерность получается аналогичным путем: мнимые пространственные координаты должны быть умножены на некий коэффициент S с размерностью [с/м]. Можно было бы сказать, что это "обратная скорость света", но это не так. Обратная скорость света 1/C, как реальная физическая величина не может быть искомым коэффициентом, поскольку шкала обратных скоростей неравномерна. В классическом представлении скорость - это отношение, где в числителе отрезок расстояния, а в знаменателе период времени - времени как независимой переменной. Тогда для "обратной скорости", где числитель и знаменатель меняются местами, вместе с обращением размерности возникает и неравномерная шкала величин: 1[м/с]=1[с/м], 2[м/с]=1/2[с/м], 3[м/с]=1/3[с/м], 4[м/с]=1/4[м/с] и т.п. Создается впечатление, что по этой причине квартернионное время-пространство не может быть аналогом 4-мерного континуума. Однако выход из тупика легко обнаружить, если не считать коэффициент S "обратной скоростью" - это просто некий коэффициент с размерностью [с/м].

Здесь мы от математики должны обратиться к физике. Если коэффициент C в псевдоевклидовом континууме Минковского - это вполне конкретная физическая величина, скорость света, имеющая в разных системах отсчета конкретное численное значение, то в нашем квартернионном время-пространстве коэффициент S также должен быть ничем иным как некой физической величиной - константой, отличной по сути своей от скорости света, но имеющей размерность [с/м] - обратную размерности скорости. На роль такой константы можно выдвинуть комбинацию констант h/e², где h - постоянная Планка, а e - заряд электрона. Хорошо известно, что эта комбинация констант наряду с C входит в выражение безразмерной постоянной тонкой структуры 1/a = ħC/e² = 137,0306... (здесь ħ - постоянная Планка, деленная на два "p " - h/2p ). Я полагаю, что так оно и есть: квартернионное время-пространство - это математическое выражение реального аспекта микрофизической реальности, где константа S=h/e² с размерностью [с/м] столь же важна, как важна скорость света для глобального 4-мерного континуума Минковского.

Однако формальных аргументов здесь не достаточно. Мы должны вскрыть и физическую суть обнаруженного соответствия, то есть увидеть связь между граничной скоростью прямолинейного поступательного движения C и константой S, смысл которой пока не понятен. S=h/e² - это комбинация эмпирических констант с размерностью [с/м], мы включили ее в некую математическую структуру, но от этого ее смысл не стал яснее.

В классической физике скорость является количественной мерой поступательного движения, связывает между собой пространственные и временные параметры движения как прямолинейного поступательного перемещения. Если константа S включается нами в квартернионное время-пространство, она также должна пониматься как выражение какого-то аспекта движения, где пространственные и временные характеристики как-то связаны между собой. Более того, важнейшим свойством континуума Минковского являются преобразования Лоренца, приводящие к тому, что закон сложения скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой дает предельное значение для прямолинейного поступательного перемещения. Логично предположить, что в квартернионном время-пространстве также обнаружится аналог преобразований Лоренца, который позволит трактовать константу S в качестве инварианта и предела в сложении каких-то величин. Так, по крайней мере, должно выглядеть дело в двумерном случае, где на комплексной плоскости псевдоевклидовым образом связываются одна временная и одна пространственная оси. Для континуума Минковского мнимой будет временная ось - iCt, а для квартернионного время-пространства - пространственная iSx. В двумерном случае дело облегчается тем, что мы оставляем за рамками рассмотрения некоммутативность (с другой стороны, обнаруживается, что некоммутативность связана напрямую с наличием еще двух мнимых пространственных координат).

Поскольку скорость света C - это неклассическое ограничение на максимальную скорость (скорость распространения сигнала на расстояние не может быть бесконечной), соответственно, константа S также не позволяет отношению ∆t/∆x принимать бесконечные значения. Однако S - это предел для "обратной скорости", а увеличение ∆t/∆x одновременно означает уменьшение отношения ∆x/∆t, что позволяет предположить: "нулевая скорость" столь же недостижима, как и бесконечная.

Поскольку S - это некий коэффициент пропорциональности между мерой времени t[с] и мерой расстояния x[м], то константа S как самостоятельный параметр выражает некий аспект движения, но, поскольку для поступательного прямолинейного перемещения количественной мерой является классическое понятие скорости V[м/с] и ее неклассический предел C, эта новая константа S должна быть неклассическим пределом какой-то вполне классической меры движения, которая тем не менее не является поступательным перемещением. Мы предположим, что искомой формой движения является вращение. *

Итак, мы предполагаем, что специфической формой движения, которая в квартернионном время-пространстве будет вести себя аналогично обычной поступательной скорости, является именно вращение. В принципе, других вариантов у нас просто нет, ведь мы исследуем движение как некое отношение между временным и пространственным измерениями, а таких отношений может быть только два: x/t и t/x. Таким образом, мы ставим двоякую задачу: показать, что вращение - это фундаментальная форма движения, равноправная с прямолинейным поступательным, и что количественной мерой его является [с/м].

В то же время в классической механике вращение - это нечто вторичное по отношению к прямолинейному поступательному движению, то есть вращение (движение по замкнутой траектории) редуцируется к бесконечно малым прямолинейным перемещениям, поэтому скорость вращения традиционно измеряется в той же самой мере [м/с], выражаемой как число оборотов за секунду. При этом ВРЕМЯ аксиоматически берется в качестве независимой переменной, ход времени в полном согласии с ньютоновским определением - равномерно и неотвратимо отсчитывает секунды (в заданной системе отсчета).

Здесь представлен весь понятийный набор, используемый для определения поступательного (не вращательного) движения: единое время как независимая переменная, скорость точки в [м/с] (по окружности 1 оборот в единицу времени), произвольный выбор системы отсчета, неограниченное возрастание скоростей относительно выбранной.

Рис. 1.

Выберем за основу вращающуюся систему, которая ВРАЩАЕТСЯ относительно другой системы отсчета, которая тоже ВРАЩАЕТСЯ. Мы, как уже было сказано, не имеем права как бы то ни было вводить особую систему, у которой вращение отсутствует. При этом, у нас нет не только понятия абсолютного пространства, но нет и абсолютного времени, единого для всех таких систем. То есть мы не вправе уже заранее полагать число оборотов в секунду. Соответственно: является ли параметр t независимой переменной - это пока проблематично. Более того, проблема эта оказывается сложней, чем для случая прямолинейного движения.

Суть дела в том, что в классической механике представление о течение времени вводилось априори, поскольку наличие периодических процессов, позволяющих определять его ход, для всех было очевидно. Исаак Ньютон в своем определении абсолютного времени легко абстрагировался от конкретных периодических процессов и ввел ход времени как таковой, - люди с помощью периодических процессов могут только фиксировать его с той или иной степенью точности. Это обстоятельство потом позволило Альберту Эйнштейну отвергнуть абстракцию абсолютного времени на основании того, что время без его измерения просто не мыслимо. Эталоном для измерения времени оказался инвариант скорости света - вполне конкретной скорости, обладающей особым инвариантным свойством. Существенно то, что C - это именно поступательная прямолинейная скорость.

Теперь представим бесконечное множество одинаковых вращающихся систем ("колес"), которые характеризуются одинаковыми мерами [м], оси которых располагаются на прямой, перпендикулярно к ней. Наше рассмотрение чисто классическое, ведь мы хотим вывести классическую характеристику вращения (которая только в неклассическом случае псевдоевклидовой плоскости проявит себя как предельная константа S), поэтому нет ничего удивительного, что мера расстояния будет общей для всех систем (радиус "колеса"). Эта мера в нашем случае будет играть ту же роль, что и время для множества инерциальных систем. "Одновременность" здесь будет выступать, как "синхронизация" - положение, когда радиусы "колес" лежат на общей прямой, через точки которой проходят оси.

Рис. 2

Мы только что отметили, что в нашей модели нет меры времени. Зато есть другая мера - один полный оборот и длина единичного радиуса, который этот оборот совершает. Зафиксировать оборот для системы отсчета не составит труда: ведь одна система может определять свое собственное вращение относительно другой. Пусть в выбранной модели моментом отсчета для некоторой вращающейся системы является миг синхронизации, когда "совпадают" ("сходятся", "лежат напротив друг друга", "метятся одной отметкой" и т.п.) точки окончания радиусов соседних с ней "колес", оказавшиеся на базовой прямой. Если вращение продолжится, эти точки рано или поздно вновь должны совпасть. (Выражение "рано или поздно" показывает, что никакой определенной частоты вращения [обороты в секунду] - мы наперед задать не вправе, задается только необходимость будущего совпадения.)

Таким образом, для того, чтобы можно было сравнивать между собой ТОЛЬКО ВРАЩАЮЩИЕСЯ системы, мы должны располагать их осях вращения перпендикулярных к базовой прямой, с которой совпадают вращающиеся радиусы. В ином случае, измеряя относительное вращение, мы всегда будем вынуждены считать систему отсчета инерциальной, а в результате получать определение мгновенной поступательной скорости. Если мы в физике хотим проводить четкое различие между инерциальными и вращающимися системами отсчета, иной схемы для сравнения вращений, нежели только что предложенная, придумать нельзя. Более того, стандартная схема, где можно вводить покой вращающейся системы отсчета, непригодна еще и потому, что в ней ход времени - базовый периодический процесс - вводится аксиоматически. Молчаливо предполагается, что этот процесс не входит в множество рассматриваемых вращений. Легко догадаться, что такой базовый периодический процесс-вращение - это элемент того ортогонального множества вращений, которое мы сейчас рассматриваем.

Что же мы получим, если в рамках нашего мысленного эксперимента будем строить шкалу относительных вращений? Мы должны придти к выводам, что единицу времени, отсчитываемую "часами-колесом", надо определять, исходя из того - сколько раз было зафиксировано совпадение точек на часах. Чем больше оборотов будет отмечено по нашим "часам" до момента, когда совпадение произойдет - тем большее значение для скорости вращения будет зафиксировано.

Допустим, что до момента фиксации совпадения меток с измеряемым колесом было отсчитано N оборотов "собственного времени", тогда измеряемому колесу будет приписана мера вращения в N секунд за один оборот. Если вспомнить, что оборот - это "накручивание метров", то мерой измерения скорости вращения станет [с/м]. Что же будет происходить, при переходе от одной системы отсчета к другой? Теперь "часами" для новой системы отсчета становится та, которая раньше была системой отсчета. Точно так же, как в классической модели определения прямолинейных поступательных скоростей осуществляется переход из системы отсчета в систему, чья скорость измеряется.

Рис. 3.

Теперь пусть измеряемая система, ставшая новой системой отсчета, точно также зафиксирует такую же скорость вращения у новой системы D. Но это означает, что в первоначальной системе отсчета B скорость этой последней будет измерена уже как 4 оборота до первого совпадения меток! То есть 2[с/м]+2[с/м]=4[с/м] - в полном соответствии с арифметическим законом сложения скоростей. Фокус в том, что собственная условная секунда в системе C измеряется по отношению к B, которая, конечно, до этого совпадения уже успела сделать один собственный оборот. Но в таком "фокусе" нет ничего удивительного, ведь никакого абсолютного времени нет, есть только собственные обороты - условные секунды - которые возникают через определение совпадений меток системы отсчета с метками той, относительно которой начался отсчет оборотов.

Например, в нашем случае, когда скорости C (относительно B) и D (относительно C) определяются по модулю как 2[с/м], переход из системы B в систему C приводит к тому, что скорость B относительно C также станет равной 2[м/с], но по отношению к D противоположно направленной. Однако, если ранее мы спокойно задавали направленность вращения C (в ту же сторону, что и D), то теперь ее направление вращения оказывается неопределенным. Я полагаю, что такие выводы отнюдь не свидетельствуют о порочности и противоречивости анализируемой модели, наоборот они указывают, как на базе совершенно классических представлений мы находим основания для представлений, принятых в неклассической физике. (А классическая интерпретация может быть, в частности, связана с представлением систем А и С в качестве сечений тора, который в общем случае может быть вращающимся. В связи с этим, напомню, что мы здесь рассматриваем плоский случай.)

Осталось сказать немного. Как уже ясно, при переходе от одной системы отсчета к другой идет арифметическое сложение величины [с/м] - величины скорости, определенной для вращения, понятого в качестве фундаментальной формы движения, - идет в сторону увеличения, то есть стремится к бесконечности. Точно также и поступательные скорости [м/с] в классической механике могут быть неограниченно увеличиваемы числом переходов от одной системы к последующей. Однако по смыслу ТАК ПОНИМАЕМОЙ скорости вращения, увеличение количества [с/м] - это уменьшение числа оборотов, то есть ничто иное, как замедление вращения. Если классическая кинематика поступательного движения в современной физике заменена релятивистской, где значение скорости прямолинейного распространения сигнала оказалось ограниченно верхним пределом C, то наша модель позволяет столь же последовательно ввести псевдоевклидовый континуум, где появляется константа S с размерностью [с/м], которая ограничивает возможное замедление скорости вращения. Перефразируя вышеприведенные слова Вольфганга Паули, можно сказать: "Введем, как обычно, вещественную координату t₀ для времени и необычные мнимые координаты t₁=iSx₁, t₂=jSx₂ t₃=kSx₃ для измерений пространства, и рассмотрим преобразования чем-то похожие на преобразования Лоренца..."

Хочу напомнить, что еще в XIX веке Уильям Гамильтон сформулировал перспективную задачу: если есть геометрия как наука о пустом пространстве, то - просто по аналогии - можно представить некую науку о "чистом времени". Более того, он предположил, что алгебра - это и есть такая наука, просто мы не улавливаем в ней скрытую временную специфику, не понимаем - как НА САМОМ ДЕЛЕ в алгебраических уравнениях воплощаются внутренние свойства ВРЕМЕНИ. Открытие некоммутативной алгебры Гамильтоном произошло в результате его попыток смоделировать время в "Теории алгебраических пар чисел", и остается только поражаться интуиции этого великого математика.

Тем не менее, переход от непрерывной континуальности к рядам чисел выглядит проблематично. Здесь подспудно присутствует и некая философская пара-догма: если геометрические отношения воспринимаются как нечто объективно заданное метрикой окружающего Универсума, то числа трактуются как некий продукт нашего ума, склонного к абстракциям и комбинаторике. (По известному афоризму Л.Кронекера: "Натуральные числа создал Бог, а остальные - дело рук человеческих".) Если для физиков квантовая прерывность обоснована ссылками на результаты экспериментов, то для математики никаких "числовых квантов" не существует - любая значимая величина бесконечно делима. Числовая дискретность растворяется в непрерывности, бесконечно малое обращается в нуль.

Ричард Фейнман в своей книге "Характер физических законов" пишет: "Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны. " (Richard Feynman, The Character of Physical Law. Русский перевод: Р.Фейнман. Характер физических законов. М.: "Мир", 1968, с. 184.)

Однако можно ли перекинуть логический мостик между континуумом и числом? Автор не является профессиональным математиком, не берется утверждать, что классический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем, должен быть дополнен нестандартным анализом, в котором используются гипердействительные актуально бесконечно малые числа. Логическую правомерность нестандартной модели анализа показал в 60-е годы прошлого века Абрахам Робинсон, но до сих пор остается вопросом: "Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?" Иными словами, можем ли мы расширять поле действительных чисел только потому, что придумали новые абстрактные объекты, или надо поискать для этого какие-то предметные основания?

Для фиксации движения мы можем использовать только два фундаментальных параметра - единицы времени t[с] и пространства x[м]. При этом очевидно, что их отношение имеет точное количественное выражение в любом случае: если мы соотносим x/t или t/x. Стандартное определение покоя - это 0[м/с], но одновременно и ∞[с/м], что обычно не учитывается из-за непонятности и ненужности такого количественного выражения. Однако еще Готфрид Лейбниц при создании математического анализа неоднократно размышлял над этим вопросом. Он писал: "Покой может рассматриваться как бесконечно малая скорость или как бесконечно большая медленность" (Г.В.Лейбниц. Сочинения в четырех томах. Т. 1. М.: "Мысль" с. 205. См. также т. 3, с. 199.).

У Лейбница есть еще одно примечательное рассуждение: он отождествляет нулевую скорость движения по окружности с бесконечной скоростью, когда "каждая точка окружности должна всегда находиться в одном и том же месте" (Там же: Т. 3, с. 290). То есть логически отождествляются не только 0[м/с] и ∞[с/м] (соответственно ∞[м/с] и 0[с/м]), но также 0[с/м] и ∞[с/м] при циклическом движении. То есть шкала величин, на которой лежат значения скорости вращений оказывается как бы замкнутой.

Синхронизация вращающихся систем возникала, когда все вращающиеся радиусы ложились на одну базовую прямую. Легко понять, что мы не можем приписывать выбранной системе отсчета вращения абсолютную частоту в один оборот: тогда уменьшение скорости вращения относительно ее означает невозможность радиуса совпасть с базовой прямой. Иными словами, уменьшение частоты оборотов мы должны отсчитывать от бесконечности! Получается, что мы говорим здесь о вычитании единиц из ∞. Тогда -1 предстает перед нами не просто как "нечто влево от нуля", а как единица, которую отняли от бесконечного множества...

Если мы на числовой прямой будем отмечать точки, соответствующие ряду Фибоначчи, где каждое последующее является суммой двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...), то в пределе - при устремлении в область все больших и больших чисел - отношение "двух последних" чисел Фибоначчи, как известно, дает j . Это знаменитое иррациональное число 1,61803... , задающее "золотую пропорцию" - сечение, при котором меньший отрезок относится к большему, как больший к их сумме. Можно заявить, что двигаясь так 'шагами чисел Фибоначчи' по числовой прямой мы и получаем в трансфинитной области актуально бесконечно большие "отрезки", отношение между которыми выражается иррациональным числом j .

Рис. 6.

Квартернионное время-пространство не является произвольным формально-математическим построением, которое автор придумал, чтобы поговорить на отвлеченные темы. Изменение сигнатуры метрики пространства-времени (---+ вместо +++-) использует, например, упомянутый выше Дж.В.Нарликар, чтобы доказать в конформно-инвариантной теории гравитации положительный знак константы связи χ=8p G/C⁴ (G - гравитационная постоянная), а с точки зрения многомерного комплексного анализа речь идет всего лишь о 4-х мерных псевдоевклидовых континуумах индексов 1 и 3.

Самым существенным моментом моей работы является попытка объединения числового и пространственного аспектов 4-мерного многообразия в едином Универсуме. В статье нет математических выкладок, - сейчас важно изменение точки зрения, глядя из которой мы можем собрать потом в новую систему известные уже формальные символы. Прежде чем писать уравнения, надо представить - что мы хотим ими выразить. Трудно вообразить квартернионное время-пространство - некое вместилище, "наполненное" не геометрическими точками, а вращательными моментами. Причудливо выглядят фрактально-броуновские метания точки, которая должна двигаться по непрерывной траектории, "натыкаясь" в каждое мгновение времени на вращательный момент. Константа S, определяющая минимальный предел dt/dx, должна, при формальном объединении парных 4-мерных многообразий, каким-то образом через предельный 0-∞ переход превращаться в C. А ведь C - это скорость электромагнитных волн, значит речь идет о каком-то конкретном физическом процессе. Короче говоря, автор сейчас может только в общих чертах представлять, к каким результатам приведет развитие предлагаемого подхода...

Вводя квант действия h, Макс Планк трагически переживал, что приходится модифицировать формулы со ссылками на эксперимент. Может быть его переживания были небеспочвенны, и квантование можно вывести теоретически - исходя из логических оснований? Я полагаю, что дело обстоит именно так. Мысль Альберта Эйнштейна о том, что устройство реального мира можно понять чисто математическим путем не кажется мне чрезмерно смелой.