Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://temporology.bio.msu.ru/RREPORTS/graev_geometricheskie.pdf Дата изменения: Fri Feb 28 03:00:42 2014 Дата индексирования: Fri Feb 28 03:37:39 2014 Кодировка: Windows-1251

April 5, 2003

УДК 512+519.688

Геометрические и топологические структуры, связанные с универсальными алгебрами.
М.И.Граев, А.В.Коганов

МАТЕМАТИКА

algdoc.tex 20.12.2002

Введен класс универсальных алгебр, с которым естественно связаны различные геометрические и топологические структуры. Статья посвящена описанию и исследованию этих структур. Для удобства термин "универсальная алгебра"заменен термином "А-система". 1. Исходные определения. [1, 2] Универсальной алгеброй (А-системой) называется совокупность множеств U и Fn , где n пробегает подмножество N0 натуральных чисел, с заданными отображениями

n : Fn Ч U n U,

n N0 .

(1)

Множество U называется носителем А-системы, а элементы f Fn nарными операциями. Образ пары f Fn и (u1 , . . . , un ) U n при отображении n обозначается через f (u1 , . . . , un ). А-система с носителем U и множеством операций F = Fn обозначается, через (U, F ) или подробнее через (U, F, ), где = {n }. Естественным образом определяются гомоморфизм одной А-системы в другую и изоморфизм двух А-систем. Для любой А-системы (U, F, ) подмножество V U называется замкнутым относительно операций f F , короче, F -подмножеством, если n (Fn Ч V n ) V для всех n N0 . Каждое F -подмножество является носителем А-системы (V , F ) с тем же множеством операций F, что и исходная А-система; ее называют подсистемой А-системы (U, F ). Свяжем с каждым подмножеством X U носителя А-системы (U, F, ) возрастающую последовательность {Yn } подмножеств в U :

Y1 = X ,

Yk = Y

k -1

n (Fn Ч Y

n k-1

)

при

k > 1.

(2)

Очевидно, что V = Yk F -подмножество в U. Говорят, что X V является порождающим подмножеством в V . 2. Правильные А-системы. Для любой А-системы (U, F ) назовем u U простым, если его нельзя представить в виде u = f (u1 где (u1 , . . . , un ) = (u, . . . , u). Очевидно, элемент u U является тогда и только тогда, когда он принадлежит любому подмножеству порождающему U. Назовем А-систему (U, F ) правильной, если
0Поддержано

элемент , . . . , u n ), простым X U,

РФФИ, грант 01-01-00754.
1


2

1) ее носитель U порожден подмножеством X U простых элементов и 2) для каждого элемента u U, не являющегося простым, существуют единственные число n N0 , операция f Fn и последовательность (u1 , . . . , un ) = (u, . . . , u). определенная с точностью до порядка свои членов, такие что u = f (u1 , . . . , un ).

Предложение 1. Любая подсистема правильной А-системы является
правильной.
Назовем подмножество X U простых элементов правильной А-системы ее базой и будем писать (U, F ) = U [X ] или U [x1 , . . . , xn ], если X = {x1 , . . . , xn }. Мощность X назовем рангом А-системы и обозначим через r(U ). Введем две числовые функции на носителе правильной А-системы U [X ]. Положим X1 = X и Xk = Yk \ Yk-1 при k > 1, где Yk подмножества в U , определенные равенствами (2). Если u Xk , то будем говорить, что элемент u U имеет высоту k и писать h(u) = k . В силу этого определения, любой элемент u U высоты k > 1 представим в виде

u = f (u1 , . . . , un ), где max(h(u1 ), . . . , h(un )) = k - 1. (3) Определим длину l(u) элементов u U правильной А-системы (U, F ) индукцией по их высоте h(u). Если h(u) = 1, то полагаем l(u) = 1. Если h(u) > 1, то элемент u U однозначно представим в виде (3), и мы полагаем: l(u) = l(u1 ) + . . . + l(un ).

Предложение 2. Если в А-системе нет унарных операций, то h(u)
для всех u U .

l(u)

Функции h и l задают на носителе U правильной А-системы отношение частичной упорядоченности. Именно, мы пишем : u h u, если u = u или h(u ) < h(u); u l u, если u = u или l(u ) < l(u). Заметим, что отношения h и l не инвариантны относительно операций f F, т.е. , например, из условий ui h ui , i = 1, . . . , n не следует, вообще говоря. что f (u1 , . . . , un ) f (u1 , . . . , un ).

Предложение 3. Пусть V1 = U [y1 , . . . , yn ] и V2 = U [z1 , . . . , zn ] F -

подмножества конечного ранга n правильной А-системы такие что V1 V2 . Тогда, если h(yi ) = h(zi ) для всех i, то V1 = V2 .
В правильной А-системе (U, F ) из включения V1 V2 , где V1 , V2 F -подмножества конечных рангов, не следует, вообще говоря, неравенство r(V1 ) r(V2 ). Справедливо, однако, более слабое утверждение (свойство обрыва возрастающих цепочек).

Теорема

В правильной А-системе любая возрастающая последовательность V1 . . . Vn . . . F -подмножеств конечного ранга такая, что r(Vn ) r(Vn+1 ), n = 1, 2, . . . , стабилизируется на конечном шагу. шагу.

1.


3

Для доказательства достаточно убедиться, что стабилизируется сумма y Yn h(y ), где Yn база в Vn . Отсюда и из предложения 3 следует утверждение теоремы. 3. Свободные, свободные коммутативные и свободные идемпотентные А-системы. Рассмотрим частные случаи правильных А-систем. Назовем правильную А-систему (U, F ) свободной, если 1) равенство f (u1 , . . . , uk ) = f (u1 , . . . , ul ) (4) имеет место тогда и только тогда, когда f = f (и,значит, k = l) и ui = ui для всех i; 2) не существует соотношений вида u = f (u, . . . , u). Назовем правильную А-систему (U, F ) свободной коммутативной , если условие 1 предыдущего определения заменено более слабым: равенство (4) имеет место тогда и только тогда, когда когда f = f , и последовательности (u1 , . . . , uk ) и (u1 , . . . , ul ) различаются только порядком. Назовем правильную А-систему (U, F ) свободной идемпотентной, если

u = f (u, . . . , u) для всех u U

и

f F,

и никаких других соотношений не существует. Отметим, что для свободных идемпотентных систем все F -подмножества ранга 1 являются одноэлементными.

Предложение 4. Любая подсистема свободной, свободной коммутативной
и свободной идемпотентной А-системы является также соответственно свободной, свободной коммутативной и свободной идемпотентной Асистемой.

Предложение

Две свободные (соответственно, свободные коммутативные и свободные идемпотентные) А-системы (U, F ) и (U , F ) изоморфны тогда и только тогда, когда r(U ) = r(U ) и #Fn = #Fn , n = 1, 2, . . ., где Fn F и Fn F подмножества n-арных операций.
Назовем свободную А-систему свободным группоидом, если множество операций F состоит из одной бинарной операции (умножение)[3]. Существует вложение носителя U произвольной свободной А-системы U [X ] = (U, F ) с базой X в свободный группоид G[X F ] с базой X F :

5.

: U G[X F ].
Это вложение определяется индукцией по высоте h(u) элементов u U. Если h(u) = 1, т,е. u X , то полагаем (u) = u. Пусть (u). уже определено для элементов высоты меньшей n. Определим (u) при h(u) = n.


4

Сначала индукцией по k = 1, 2, . . . определим отображения k : (Un )k G[X F ], где Un U подмножество элементов высоты меньшей n :

1 (u) = (u),
Заметим, что отображения k : (Um )k G[X F ] при Пусть h(u) = n. Элемент u = f (u1 , . . . , uk ), где f F

k ( u1 , . . . , u k ) =

k-1

(u1 , . . . , u

k-1

) (uk ).

k : (Un )k G[X F ] согласованы с отображениями m < n. u имеет и притом единственное представление в виде , h(ui ) < h(u), i = 1, . . . , k , и мы полагаем
(f )

(u) = f ћ k

(u1 , . . . , u

k(f )

),

Построенное отображение : U G[X F ] инъективно и исходная свободная А-система U [X ] однозначно восстанавливается, с точностью до изоморфизма, по множеству (U ) G[X F ]. 4. Графы и отношение частичной упорядоченности, ассоциированные с правильными А-системами. Скажем, что элемент u U носителя правильной А-системы подчинен элементу u = u , если существуют последовательность {u1 , . . . , un } U , содержащая u и n-арная операция f F такие что u = f (u1 , . . . , un ). Определим, используя отношение подчиненности, несколько новых структур на носителе U правильной А-системы. 4.1. Структура направленного графа. Вершинами этого графа являются элементы u U , а направленные ребра соединяют каждый непростой элемент u со всеми подчиненными ему элементами, т.е. с элементами ui , входящими в разложение u = f (u1 , . . . , un ). При этом, если ui входит в разложение n раз, то из u в ui проводится n ребер. Отметим, что из каждой вершины графа выходит лишь конечное число ребер, а входит в нее, вообще говоря, бесконечное число ребер.

Предложение 6. Любая свободная А-система однозначно определяется, с
точностью до изоморфизма, ассоциированным с ней графом.
4.2. Структура частично упорядоченного множества на U . Положим u u, если либо u = u, либо существует конечная последовательность u = u1 , u2 , . . . , un = u элементов, в которой каждый последующий элемент подчинен предыдущему. Эта частичная упорядоченность не согласована, вообще говоря, с операциями f F. Отметим, что из u v следует h(u) h(v ) и l(u) l(v ). 4.3. Схемы разложений элементов u U . Свяжем с каждым элементом u U конечный направленный граф S (u) типа дерева, который назовем схемой разложений элемента u. Его вершину, в которую ребра не входят, назовем корнем, а вершины, из которых ребра не выходят - листьями. Определим S (u) индукцией по высоте h(u). Если h(u) = 1, т.е. u X , где X база, то по определению, S (u) состоит из одной точки, являющейся


5

одновременно и корнем, и листом. Пусть схемы S (u) уже определены для всех элементов u высоты меньшей n, где n > 1. Тогда, если h(u) = n > 1, то представим u в виде u = f (u1 , . . . , uk ), где h(ui ) < h(u), i = 1, . . . , k . По определению, схема S (u) получается из схем S (u1 ), . . . , S (uk ) добавлением одной вершины (корня дерева S (u)) и k ребер, идущих от этого корня к корням деревьев S (u1 ), . . . , S (uk ). При этом корень снабжается меткой f знаком соответствующей операции. Таким образом, каждая вершина дерева S (u), не являющаяся листом, предполагается снабженной меткой f F. Отметим, что высота h(u) элемента u равна максимальному числу ярусов схемы S (u), а длина числу ее листьев. Таким образом, если S (u) = S (v ), то h(u) = h(v ) и l(u) = l(v ). 5. А-системы S -подмножеств. Назовем S -подмножествами правильной Асистемы (U, F ) подмножества V U элементов с одной и той же схемой разложения. Свяжем с каждой правильной А-системой (U, F ) другую А-систему (, F ), носитель которой совокупность всех S -подмножеств в U , а множество операций совпадает с множеством операций F исходной А-системы. Определим действие операций f F на множестве . Пусть f Fn произвольная n-арная операция, V1 , . . . , Vn произвольные S -подмножества в U , и vi Vi , i = 1, . . . , n их представители. Предполагается, что если какиелибо из множеств Vi совпадают, то в качестве их представителей берется один и тот же элемент. Определим V = f (V1 , . . . , Vn ) как S -подмножество, содержащее элемент v = f (v1 , . . . , vn ). Это определение корректно, поскольку не зависит от выбора представителей vi Vi . Свойство А-системы (, F ). 1) А-система (, F ) правильна. 2) Если (U, F ) свободная, свободная коммутативная или свободная идемпотентная А-система, то А-система (, F ) также является соответственно свободной, свободной коммутативной или свободной идемпотентной А-системой. 3) Если (U, F ) свободная или свободная коммутативная А-система, то базис А-системы (, F ) состоит из одного элемента S -подмножества X элементов высоты 1. 4) Если (U, F ) свободная идемпотентная А-система, то S -подмножество V принадлежит базису А-системы (, F ), т.е. является простым элементом этой А-системы, тогда и только тогда, когда либо V = X, либо элементы v V имеют вид u = f (v1 , . . . , vn ), где h(vi ) < h(v ), и все vi принадлежат одному и тому же S -подмножеству. 6. Решетки F -подмножеств конечного ранга. Обозначим через L = L(U, F ) совокупность всех F -подмножеств V U правильной А-системы (U, F ).


6

Множество L образует решетку относительно естественных операций суммы (объединения) и произведения (пересечения) [4].

Теорема 2. Совокупность L F -подмножеств V U конечного ранга является
подрешеткой в L, и

r(U1 U2 ) + r(U1 U2 )
Базы подмножеств U1 U подмножеств U1 и U2 .
2

r(U1 ) + r(U2 )
и U1 U
2

для любых U1 , U2 L.

(5)

принадлежат объединению баз

Заметим, что решетка L не полумодулярна, и включение U U не влечет в ней, вообще говоря, неравенство r(U ) r(U ). Назовем F -подмножество U U конечного ранга r плоским подмножеством, если не существует F -подмножеств ранга r1 r, строго содержащих U . Согласно определению, для любых плоских подмножеств U и U из включения U U следует r(U ) r(U ); при этом если r(U ) = r(U ), то U =U .

Теорема 3. Пересечение V = V

плоских подмножеств V рангов r является плоским подмножеством ранга r min r . В частности, если r = r , для некоторого , то V = V .


Следствие. Совокупность L = L(U, F ) плоских подмножеств правильной
А-системы произведение и в решетке содержащих

(U, F ) наделена структурой решетки по включению ; в ней U1 U2 плоских подмножеств U1 и U2 задается так же, как L, а их сумма U1 U2 есть пересечение плоских подмножеств, U1 и U2 .

Заметим, что L не является подрешеткой в L, поскольку определения суммы в L и L различны. Из теоремы 1 и теоремы 3 следует, что для каждого F -подмножества конечного ранга правильной А-системы существует минимальное содержащее ее плоское подмножество.

соотношением (5).

Теорема 4. Ранги плоских подмножеств U1 , U2 , U1 U2 и U1 U2 связаны
r(U1 ) + 1. Это свойство эквивалентно полумодулярности решетки L [...].

Следствие. Если r(U1 ) = r(U2 ) = r(U1 U2 ) + 1 и U1 = U2 , то r(U1 U2 ) =
В силу полумодулярности решетки L, плоские подмножества ранга r естественно трактовать как плоскости размерности r - 1. Отметим особенность возникающей так геометрии. С каждой плоскостью V размерности r - 1 связан фиксированный набор из r элементов в U база подмножества V . При этом базы пересечения и объединения двух плоскостей содержатся в объединении баз этих плоскостей.


7

7. Решетки плоскостей. Назовем F -подмножество V U правильной Асистемы (U, F ) плоскостью, если любое плоское подмножество в V является плоским подмножеством в U. В частности, носитель U А-системы и пустое множество являются плоскостями. Из определения следует: 1) Если V1 плоскость в U, а V2 плоскость в V1 , то V2 является плоскостью в U, 2) Любое плоское подмножество в U является плоскостью и обратно, любая плоскость конечного ранга является плоским подмножеством. В частности, если ранг носителя U конечен, то любая плоскость в U является плоским подмножеством. 3) Любая плоскость V U является объединением всех содержащихся в ней плоских подмножеств из U.

Теорема 5. Пересечение V =
является плоскостью.



V



любой совокупности плоскостей V

(U, F ) наделено структурой решетки, в которой для любых плоскостей V1 и V2 элемент V1 V2 есть пересечение плоскостей, а V1 V2 минимальная плоскость, содержащая V1 и V2 . Совокупность L плоских подмножеств является подрешеткой этой решетки.
Скажем, что плоскость V1 покрывает плоскость V2 , если V1 строго содержит V2 , и не существует плоскости V , отличной от V1 и V2 такой, что V1 V V2 .

Следствие. Множество L плоскостей в носителе U правильной А-системы

Теорема 6. Плоскость V покрывает плоскость V U , V = U тогда и только Теорема 7. Решетка L удовлетворяет условию полумодулярности: если
Примечание. Приведенные конструкции полумодулярных решеток можно распространить и на индуктивные пределы правильных А-систем.

тогда, когда V порождена множеством V и элементом x V . Таким образом, / множество плоскостей, покрывающих плоскость V = U, непусто. плоскости U1 и U2 , U1 = U2 покрывают плоскость U0 , то U1 U2 покрывает U1 и U2 .

8. Топологические и метрические А-системы. Назовем А-систему (U, F ) AT -системой (соответственно, AM - системой), если на ее носителе U задана структура топологического (соответственно метрического) пространства, относительно которой все операции f F непрерывны. Если (U, F ) свободная А-система, то топологию (метрику), заданную на ее базе X U , можно продолжить до топологии (соответственно, метрики) на всем носителе U. Приведем конструкцию этой топологии (метрики).


8

Пусть на X задана топология, т.е. для каждого элемента x X определен базис ее окрестностей. Определим базис окрестностей произвольного элемента u U высоты n > 1 в предположении, что для всех элементов высоты меньшей n этот базис уже определен. Элемент u представим, и притом единственным способом, в виде u = f (u1 , . . . , uk ), где h(ui ) < n, i = 1, . . . , k , и значит, базисы окрестностей элементов ui уже определены. По определению, базис окрестностей элемента u есть совокупность подмножеств

f (Vu1 , . . . , Vuk ) = {u = f (u1 , . . . , uk ) | u1 Vu1 , . . . , uk Vuk },
где Vu1 , . . . , Vuk пробегают базисы окрестностей элементов u1 , . . . , uk . Из определения следует, что все S -подмножества US U открыты и замкнуты в этой топологии и что свойства хаусдорфовости, связности и локальной компактности сохраняются при продолжении топологии с X на U. Пусть теперь на X задана метрика , архимедова или неархимедова. Продолжим ее на любое S -подмножество US U. Пусть эта метрика уже продолжена на S -подмножества с элементами высоты меньшей n, и пусть US любое S -подмножество с элементами высоты n > 1. Согласно определению S -подмножеств, существуют f F и S -подмножества US1 , . . . , USk с элементами высоты меньшей n, где k арность f , такие что S -подмножество US состоит из элементов вида

u = f (u1 , . . . , uk ),

h(ui ) < h(u),

где ui USi ,

i = 1, . . . , k ,

т.е. US = US1 Ч . . . Ч USn . В силу индуктивного предположения, метрика на S -подмножествах USi уже определена. В случае, когда эта метрика архимедова, определим (u, v ) для любых элементов u = f (u1 , . . . , uk ) и v = f (v1 , . . . , vk ) из US по формуле

(u, v ) =

2 (u1 , v1 ) + . . . + 2 (un , vn ).
Si

В случае, когда метрика на S -подмножествах U (u, v ) по формуле

неархимедова, определим

(u, v ) = max((u1 , v1 ), . . . , (un , vn )).
Определенные так метрики на S -подмножествах в U , соответственно архимедовы и неархимедовы, можно различными способами продолжить до метрики архимедовой или неархимедовой на всем носителе U так, что (u, v ) 1, если u и v принадлежат различным S -подмножествам. Приведенные конструкции переносятся с несущественными изменениями на случай свободных коммутативных и свободных идемпотентных систем. В случае свободной идемпотентной системы хаусдорфову топологию и неархимедову метрику на X можно продолжить до другой, более слабой чем исходная, хаусдорфовой топологии (соответственно неархимедовой метрики) на U. В новой, вторичной, топологии базис окрестностей в U определяется


9

как совокупность F -подмножеств V U, порожденных подмножествами, открытыми в исходной топологии. Приведем описание вторичной неархимедовой метрики на U. По определению, на S -подмножествах в U эта метрика совпадает с исходной метрикой. Продолжим ее на все множество U , т,е, определим (u, v ) для элементов u, v U , принадлежащих различным S -подмножествам. Пусть для определенности h(u) h(v ). Тогда h(v ) > 1, а потому элемент v однозначно представим в виде

v = f (v1 , . . . , vk ),

где h(vi ) < h(v ),

i = 1, . . . , k .

Если h(u) < h(v ), то положим (u, v ) = max((u, v1 ), . . . , (u, vk )). Если h(u) = h(v ), то представим u в виде

u = f1 (u1 , . . . , ul ),

где h(ui ) < h(u),

i = 1, . . . , l

и положим (u, v ) = maxi,j ((ui , vj )), где максимум берется по всем i = 1, . . . , l и j = 1, . . . , k . Легко убедиться, что удовлетворяет всем аксиомам неархимедовой метрики.

является F -подмножеством в U, порожденным подмножеством, открытым в исходной метрике.

Предложение 7. Во вторичной неархимедовой метрике на U каждый шар

9. Топология и метрика на совокупности F -подмножеств конечного ранга. Топология и метрика на носителе U правильной А-системы (U, F ) индуцируют топологию (соответственно, метрику) на совокупности L = l(U, F ) F -подмножеств V U конечного ранга. Приведем их конструкцию для случая свободной А-системы. 9.1. Топология на L, индуцированная топологией на U . Пусть V U произвольное F -подмножество c базисом Y = {y1 , . . . , yk }. Обозначим через M (Vy1 , . . . , Vyk ), где Vyi окрестность точки yi , совокупность F -подмножеств в U, порожденных всевозможными подмножествами Z = {z1 , . . . , zk }, где zi Vyi , i = 1, . . . , k . По определению, базис окрестностей подмножества V состоит из множеств M (Vy1 , . . . , Vyk ) L, где Vyi для каждого i пробегает базис окрестностей точки yi . В п. 8 хаусдорфова топология на базе X U продолжена до топологии на U. Тем самым, топология на X индуцирует и топологию на L.

также хаусдорфова и, если база X U не содержит изолированных точек, то в этой топологии подмножество L L плоских подмножеств открыто и всюду плотно.

Теорема 8. Топология на L., индуцированная хаусдорфовой топологией на X,


10

9.2. Метрика на L, индуцированная метрикой на U . Для подмножеств U1 = U [x1 , . . . , xn ] и U2 = [y1 , . . . , yn ] одинакового ранга полагаем:

(U1 , U2 ) = min max((x1 , y


(1)

), . . . , (xn , y

(n)

)) ,

где минимум берется по всем перестановкам индексов 1, . . . , n. Если архимедова или неархимедова метрика на U , то эта формула задает соответственно архимедову или неархимедову метрику на совокупности Ln F подмножеств в U одного и того же фиксированного ранга n. Эту метрику можно затем продолжить до соответственно архимедовой или неархимедовой метрики на всем L так, что (U1 , U2 ) 1, если r(U1 ) = r(U2 ).
Список литературы
[1] [2] [3] [4] Курош А.. Лекции по общей алгебре. М., "Наука", 1973, 399с Кон П.. Универсальная алгебра. М., "Мир", 1968, 351с O. Boruvka. Grundlagen der gruppoid-und gruppenteoria. Berlin, 1966, 198с. Биркгоф Г. Теория решеток. М.,"Наука", 1984, 568с

Научно исследовательский институт системных исследований Российской Академии Наук. Москва.