Н.Л. Гольдман
Обратные задачи Стефана
Теория и методы решения
М.: Изд-во МГУ, 1999
Монография посвящена одному из современных направлений исследований в
теории некорректных задач --- обратным задачам Стефана для квазилинейных
параболических уравнений в областях со свободными границамии. Такие задачи
возникают при моделировании и управлении нелинейными
процессами с фазовыми переходами в теплофизике и механике сплошной среды.
Методы обратных задач на основе вычислительного эксперимента с использованием
компьютерной техники дают возможность исследовать сложные
нестационарные процессы, обладая высокой информативностью, труднодоступной
в физическом эксперименте. В особенности это относится к тем областям техники,
которые характеризуются интенсивным протеканием тепловых процессов.
Актуальными являются как математическое обоснование постановок обратных
задач Стефана, которые все более усложняются в связи с современными
потребностями моделирования, так и разработка методов их решения и построение
эффективных вычислительных алгоритмов.
В монографии разработан и обоснован общий подход в операторном виде
к постановкам обратных задач Стефана, состоящих в
определении граничных функций и правой части уравнения
при различных видах априорной информации о решении прямой задачи.
Исследована проблема единственности для обратных задач Стефана.
Предложен и обоснован регуляризирующий вариационный метод для устойчивого
приближенного решения этого класса некорректных задач.
Благодаря вариационному подходу удалось существенно расширить рамки
исследования, включив в него квазилинейные задачи Стефана общего вида.
Разработаны эффективные численные алгоритмы, реализующие предложенный
метод и использующие стабилизирующие свойства ограничений
качественного характера, наложенных на решение (так называемая, дескриптивная
регуляризация). Существенную экономию компьютерного времени обеспечивают
разработанные процедуры расчета градиентов минимизируемых функционалов с
помощью разностных сопряженных задач. Алгоритмы универсальны в широком классе
граничных и коэффициентных обратных задач Стефана.
Приведены результаты численных расчетов для
важных практических приложений, связанных с современными технологиями:
определены тепловые режимы для процесса кристаллизации непрерывного
слитка и для процесса плавления материалов под влиянием мощных лазерных
источников энергии.
Для научных работников, специализирующихся в области дифференциальных
уравнений, вычислительной математики и ее приложений, а также для аспирантов
и студентов старших курсов физико-математических специальностей.
|