Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://shg.phys.msu.ru/educat/nlo/nlo_2/9-10.pdf Дата изменения: Wed Mar 12 16:11:46 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:11:35 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекции 9-10

Анизотропная вторая гармоника
Точечная группа симметрии кристалла

Анизотропия физических свойств кристалла определяется симметрией его кристаллической решетки, задаваемой набором элементов симметрии - пространственных преобразований решетки, при которых она переходит сама в себя. В кристаллах элементы симметрии точечные, т.е. при преобразованиях по крайней мере одна точка решетки остается неподвижной. Существуют три класса точечных элементов симметрии - плоскость симметрии m, ось симметрии n и центр симметрии (инверсия) 1. В кристаллах существуют лишь оси симметрии порядка 2,3,4 и 6. Отметим, что инверсия не является независимым элементом симметрии, т.к. точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной к ней плоскостью симметрии есть центр симметрии. Сочетание оси симметрии порядка n и перпендикулярной к ней плоскости симметрии m обозначается как n/m. Таким образом, 1 2/m 4/m 6/m. Совместное действие (перемножение) оси симметрии порядка n и параллельной ей плоскости симметрии m обозначается как nm. Произведение оси порядка n и инверсии 1 называется инверсионной осью симметрии n. Поскольку 2 m, то можно ввести другой базис элементов симметрии, описывающих симметрию кристаллов - m, 1, 2, 3, 4, 6, 3, 4, 6. Множество элементов симметрии данного кристалла образует его точечную группу симметрии. Существует 32 неприводимых точечных групп симметрии, сгруппированных по числу и порядку характерных осей симметрии в 6 сингоний: -триклинная, элементарная ячейка - косоугольный параллелепипед, нет ни осей, ни плоскостей симметрии; -моноклинная, элементарная ячейка - прямая призма с параллелограммом в основании, есть лишь одна ось 2, либо плоскость симметрии m; точечные группы - 2, m, и 2/m; -ромбическая, элементарная ячейка - прямоугольный параллелепипед, есть более одной оси 2, либо более одной плоскости симметрии m; точечные группы - 222, 2mm, и mmm(2/m2/m2/m); -гексагональная, элементарная ячейка - призма с основанием в форме ромба с углом 1200 , основная ось симметрии - 3 или 6; характерные точечные группы - 3, 3m, 6, 6m; -тетрагоальная, элементарная ячейка - призма с квадратным основанием, основная ось симметрии кристалла - 4; характерные точечные группы - 4, 4mm, 4/mmm; -кубическая, элементарная ячейка - куб, в кристалле четыре оси симметрии порядка 3; характерные точечные группы - 432 и m3m. В символах точечных групп гексагональной и тетрагональной сингоний на первом месте стоит главная ось симметрии, на втором - координатные элементы симметрии, на третьем - диагональные (в плоскости, перпендикулярной главной оси). Приведем расшифровку символов точечных групп кубической сингонии. Первый символ определяет координатные элементы симметрии, последний - диагональные, а символ "3"посередине указывает на наличие четырех диагональных осей симметрии 1


порядка 3. Таким образом, для m3m - четыре оси 3 по биссектрисам координатных углов, три координатные и три диагональные плоскости симметрии. Кубические кристаллы составляют большую часть периодической таблицы, среди них Si, Ge, C, Al, Cu, Ag, Au, Ni, Fe. Если объект (не кристалл) переходит сам в себя при любом бесконечно малом повороте, то считается, что он обладает осью симметрии . Точечные группы симметрии, в которые входят бесконечные оси симметрии, называются предельными. Существует 7 предельных точечных групп: - "вращающийся"конус, m - конус (симметрия электростатического поля), /m - "вращающийся"цилиндр (симметрия постоянного магнитного поля), 2 - закрученный вдоль геометрической оси цилиндр, /mm покоящийся цилиндр, - "вращающийся"шар, m - шар.
Связь ненулевых компонент сталла



(2)

с пространственной симметрией кри-

Любой тензор, описывающий свойства кристалла, в том числе и нелинейная восприимчивость порядка n (n) , должен быть инвариантным по отношению ко всем операциям симметрии точечной группы кристалла. При преобразованиях симметрии координаты xi , которые для кристаллов кубической сингонии есть ортонормированные декартовы координаты, преобразуются как xi = Tij xj , где T - тензор преобразования для этой операции симметрии. Тогда при преобразовании симметрии каждая компонента тензора квадратичной восприимчивости (2) преобразуется как

ij k = Til T

(2)

(2) j m Tkn lmn

,

(1)

Инвариантность относительно преобразования требует, чтобы (2) = (2) , т.е.

ij k = il

(2)

(2) j m kn lmn

.

(2)

Тогда для каждой из 27 компонент (2) (а для генерации второй гармоники - 18) получается уравнение (2) (Til Tj m Tkn - il j m kn )lmn = 0. (3) Система уравнений (3), записанная для всех операций симметрии, характерных для данного кристалла, устанавливает соотношения между компонентами тензора (2) и определяет набор его ненулевых компонент. Для инверсии T = - , и из (3) сле(2) (2) дует, что ij k = -ij k , т.е. (2) 0. Это тождество выражает симметрийный запрет на четные нелинейно-оптические эффекты в кристаллах с инверсной симметрией в дипольном приближении. На поверхности центросимметричного кристалла инверсия нарушается, поскольку поверхность не является плоскостью симметрии. Поэтому приповерхностный слой имеет симметрию ниже, чем объем кристалла. Точечная группа симметрии поверхности, совпадающей с одной из основных кристаллографических плоскостей кубического кристалла - (001), (011) или (111) - 4m, 2mm и 3m, соответственно. Ненулевыми являются следующие компоненты: (2) (2) (2) (2) (2) для 4m - z z z , z xx = z yy , xxz = yyz ; 2


для 2mm - z z z , z xx , z yy , xxz , yyz ; (2) (2) (2) (2) для 3m - z z z , xxx = -xyy = -yxy ,

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2) xz x

= yz y ,

(2)

(2) z xx

= z yy .

(2)

Генерация анизотропной второй гармоники на поверхности центросимметричного кристалла

Тензорная природа квадратичной восприимчивости приводит к анизотропии нелинейнооптического отклика кристалла при его вращении, а именно ненулевые компоненты (2) ij k становятся функциями эйлеровых углов поворота кристаллографической системы координат относительно покоящейся "лабораторной"системы координат (СК), относительно которой заданы как поля накачки, так и поле отклика. Симметрия анизотропии напрямую отражает симметрию (2) . Рассмотрим простейший случай генерации анизотропной второй гармоники (ВГ) - от поверхности центросимметричного кристалла при азимутальном вращении кристалла вокруг нормали к поверхности. Пусть ось z "поверхностной"СК - нормаль к поверхности, а плоскость xy совпадает (2) с поверхностью. При повороте кристалла вокруг нормали на угол компонента lmn (2) преобразуется в компоненту ij k , заданную в лабораторной СК

ij k ( ) = Til T
где тензор T


(2)

(2) j m Tkn lmn

,


(4)

T



cos - sin 0 = sin cos 0 , 0 0 1



(5)

если ось z лабораторной СК совпадает с z . В результате, эффективная компонента тензора восприимчивости, участвующая в генерации ВГ в данной геометрии эксперимента с определенной комбинацией поляризаций излучений накачки и ВГ, в лабораторной системе координат становится конечным рядом Фурье по :

ij k ( ) =
n

(2)

(C0 + Cn cos(n ) + Sn sin(n )) ,

(6)

или

ij k ( ) =
n

(2)

C0 + Cn cos(n( + 0 ) .

(7)

В дипольном приближении n = 1...3, в квадрупольном - n = 1...4. Коэффициенты (2) C0 , Cn и Sn - линейные комбинации компонент lmn в кристаллографической СК. Интенсивность ВГ также становится конечным рядом Фурье по азимутальному углу вплоть до члена шестого (для дипольной ВГ) или восьмого (для квадрупольной) порядка. Например, при s-поляризованном излучении накачки E = (0, E0 , 0) s-поляризованная (2) волна ВГ E2 = (0, E , 0) определяется компонентой yyy , которая для поверхно(2) сти ориентации (111) есть xxx sin(3 ). Азимутальная зависимость интенсивности ВГ представляет собой 6 полностью анизотропных, т.е. модулированных до нуля, максимумов. 3


Нелинейная оптика реконструированных и релаксированных поверхностей

В предыдущем разделе при рассмотрении генерации анизотропной ВГ от поверхностей центросимметричных кристаллов предполагалось, что в поверхностном слое положения атомов оставались такими же, как и в объеме кристалла, а факт наличия поверхности учитывался лишь в потере инверсной симметрии вдоль нормали к поверхности. В рамках такого подхода множество элементов симметрии поверхностного слоя является подгруппой группы симметрии объема. В действительности, отсутствие окружения над поверхностью приводит к тому, что атомы, расположенные на поверхности, испытывают смещения от их исходных (объемных) положений. В данном разделе будет рассмотрен нелинейно-оптический отклик реальных поверхностей, испытывающих релаксацию и реконструкцию.
Основные понятия о реконструированных и релаксированных поверхностях

Атомы поверхностного слоя кристалла находятся в самосогласованном кристаллическом потенциале, отличном от того, в котором находятся атомы объема. Возникающие дополнительные силы приводят к смещению атомов из их исходных положений в узлах решетки объемного кристалла. Обычно смещаются лишь атомы первых двух поверхностных слоев. Смещения атомов первого атомного слоя в случае полупроводников весьма значительны, вплоть до 0,5 ангстрем. Если атомы поверхности смещаются одинаковым образом и трансляционная симметрия сохраняется (т.е. проекции векторов решетки на плоскость поверхности не изменяются), то поверхность считается релаксированной, если при образовании поверхности трансляционная симметрия изменяется, то такая поверхность является реконструированной. Пусть f1 и f2 - векторы решетки идеальной поверхности, являющиеся либо векторами решетки кристалла (например, для поверхности (001)), либо проекциями векторов решетки на плоскость поверхности (например, для поверхностей (011) и (111)). Тогда вектора решетки реконструированной поверхности записываются в виде:

f1 = q11 f1 + q12 f2 , f2 = q21 f1 + q22 f2 .

(8)

Если | det Q| матрицы коэффициентов qik равен иррациональному числу, то решетка реконструированной поверхности несоразмерна решетке идеальной поверхности. Такой вариант реконструкции маловероятен из-за взаимодействия поверхностного и нижележащих атомных слоев, которое приводит к большим механическим напряжениям (стрессам) на поверхности. Если | det Q| есть рациональное число, возможны 2 варианта. 1. q12 = q21 = 0, т.е. вектора f1 и f2 параллельны векторам f1 и f2 , и их длины кратны длинам последних: f 1 = n f 1 , f 2 = mf 2 , (9) где n и m -целые числа. Элементарная ячейка поверхности содержит n Ч m элементарных ячеек идеальной поверхности. говорят, что поверхность имеет реконструкцию 4


типа n Ч m. Пример такой реконструкции 1 Ч 2. 2. q12 = q21 = 0, т.е. вектора f1 и f2 непараллельны векторам f1 и f2 . Практически осуществим случай, когда угол 1 между векторами f1 и f1 равен углу 2 между |f 1 | |f 2 | векторами f2 и f2 . Такая реконструкция обозначается как |f1 | Ч |f2 | - , где = 1 = 2 . Пример такой реконструкции 2 Ч 2 - 450 . Для центросимметричных полупроводников IV группы (Si и Ge) наиболее характерными являются реконструкции 2 Ч 1, 7 Ч 7 и 1 Ч 1. Тип реконструкции определяется способом приготовления поверхности (скалывание, ионная бомбардировка, эпитаксия), ее последующая обработка (отжиг, очистка электронным пучком) и текущей температурой поверхности. Например, для грани Si(111) при азотный температурах метастабильной является реконструкция 2 Ч 1. При отжиге при температуре T 500 К реконструкция необратимо переходит в структуру 7Ч7. При нагревании до T 1200 К поверхность реконструируется до 1 Ч 1. Характерной реконструкцией поверхности Si(001) является структура 2 Ч 1.
Генерация второй гармоники на реконструированных поверхностях Si(111)

Реконструированная поверхность Si(111)7 Ч 7 относится к точечной группе симметрии 3m, т.е. обладает симметрией поверхностного слоя грани (111) кристалла точечной группы m3m. Поверхность же Si(111)2 Ч 1 имеет пониженную симметрию группы m, обладая лишь одной (вместо трех) плоскостью симметрии, перпендикулярной поверхности проходящей вдоль направления [211]. Можно показать, что в поверхностной системе координат с декартовыми осями x [211], y [011] и z [111], поверхность Si(111)2 Ч 1 имеет три неэквивалентных компоненты квадратичной восприимчиво(2) (2) (2) (2) сти ij k , i, j, k = x, y : xxx , xyy и yxy . Однако для поверхности Si(111)7 Ч 7, имеющей более высокую симметрию, эти компоненты становятся зависимыми: xxx = (2) (2) -xyy = -yxy . Если линейно-поляризованное излучение накачки направить под нормалью на поверхности Si(111)2 Ч 1 и Si(111)7 Ч 7, то зависимости интенсивности xи y -поляризованных излучений ВГ от угла поворота поляризации накачки относительно оси x примут вид:
2 Ix |2 2 Ix |7 Ч1 Ч7 (2)

= A|xxx cos2 + xyy sin2 |2 , (2) = A|xxx |2 cos2 2 ,

(2)

(2)

2 Iy |2Ч1 = A|yxy |2 sin2 2 , (2) 2 Iy |7Ч7 = A|yxy |2 sin2 2 ,

(2)

где A - константа, зависящая от френелевских коэффициентов на частотах накачки и ВГ. 2 Существуют углы , при которых полная интенсивность ВГ I 2 = Ix cos2 + 2 sin2 от поверхности 7 Ч 7 в точности равна 0, а I 2 | Iy 2Ч1 нулю не равна. Действи0 и = -300 , что соответствует +1200 от направления [011], тельно, при 1 = 210 2 I 2 |7Ч7 = 0 поскольку для этих углов поляризации накачки и ВГ перпендикулярны плоскостям симметрии. В то же время, I 2 |2Ч1 (1 , 2 ) = 0 из-за отсутствия в этих направлениях плоскостей симметрии структуры 2 Ч 1. Это значит, что при переходе 2 Ч 1 7 Ч 7 полная интенсивность ВГ I 2 должна существенно уменьшаться. Такой переход может быть осуществлен нагреванием поверхности - увеличение температуры T поверхности S i(111)2 Ч 1 приводит к ее модификации к структуре 7 Ч 7. 5


Таким образом, зависимость I 2 (T )|1 ,2 отражает появление дополнительной плоскости симметрии при поверхностном фазовом переходе 2 Ч 1 7 Ч 7.

6