Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://shg.phys.msu.ru/educat/nlo/nlo_2/11-12.pdf Дата изменения: Wed Mar 12 16:11:45 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:12:00 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекции 11-12

Генерация электроиндуцированной ВГ
Поле волны ВГ

E(R, t) = E(R, 2 ) exp(i(2 t - k2 R), Ч

в точке наблюдения

R

есть

решение неоднородного волнового уравнения

Ч -(2 /c)2 E(2 ) = 4 (2 /c)2 P P

NL

(2 ),

(1)

с вектором нелинейной поляризации

N L в правой части в качестве источника;



-

диэлектрическая проницаемость среды на частоте ВГ. Формально, решение уравнения (8) может быть записано через тензорную функцию Грина решением волнового уравнения с точечным источником:

G(R, r , 2 ),



являющейся

Ч
поляризации:

Ч -(2 /c)2 G(R, r , 2 ) = (r - r ) ћ 1.



(2)

Амплитуда поля ВГ является интегральной сверткой функции Грина и нелинейной

E(R, 2 ) =

G(R, r , 2 )P P
NL



NL

(r , 2 )d r ,

(3)

Интегрирование в (10) ведется по всему пространству. В рассматриваемом случае оно сводится к интегрированию по области, где Если электростатическое поле только по ВГ

= 0,

т.е. по объему полупроводника.

E0

направлено по нормали к границе раздела, то транс-

ляционная симметрия в плоскости

xy

сохраняется и интегрирование в (10) ведется

EB

D

z . Для геометрии (R, 2 ) задается как

на отражение электроиндуцированная компонента поля

2 EB D (R, 2 ) = F2 F B D I p exp(ik2 R) Ч ef f +

Ч
0

E0 (z ) exp i (k2

,z

+ 2k,z ) z dz ,

(4)

BD - волновой вектор волны ВГ, ef f - линейная комбинация компонент кубичной восприимчивости (3),B D , определяемая геометрией эксперимента и кристаллографи-

где

k2

ческой ориентацией границы раздела, I - интенсивность накачки, а k ,z и k2 ,z - нормальные компоненты волновых векторов накачки и ВГ, соответственно. Единичный вектор

p

определяет поляризацию поля ВГ, а

F

и

F

2 - коэффициенты, учитываю-

щие френелевские факторы для прохождения волн накачки и ВГ, а также поправки на многолучевую интерференцию в оксидной пленке. При

E0 = (0, 0, E0 )

пространственное распределение электростатического поля мо-

жет быть найдено решением одномерного уравнения Пуассона

z
где

= -4 n(), z

(5)

=

sc

трика), а

( d ) - статическая диэлектрическая n = n((z )) - плотность заряда.
1

проницаемость полупроводника (диэлек-


Рассмотрим металл-оксид-полупроводник (МОП) структуру, состоящую из полупроводника, занимающего полупространство пленки металла расположенной в

z>0

, оксида толщиной

D

и тонкой

z = -D

(для решения задачи о распространении

электростатического поля внутри полупроводника и диэлектрика толщина металлической пленки не важна). Предполагаем, что МОП структура бесконечна в плоскости

xy

и краевыми эффектами можно пренебречь. Тогда граничные условия для уравне-

ния (5) следующие:

(+) = ч, (-D) = ч + U,
где (6)

ч

- химический потенциал полупроводника. Первое уравнение в (6) есть выра-

жает условие нейтральности объема полупроводника. Второе уравнение - условие наложения внешнего напряжения полупроводника. Разделим плотность зарядов

U n

на металлический электрод относительно объема из уравнения (5) на две компоненты,

n = nf i + nf d ,
одна из которых,

(7)

n

f i , включает заряды, независящие от внешнего поля, а вторая,

n

fd

- зависящие. Плотность независящего от внешнего поля заряда образуется ионами примеси легирования полупроводника и зарядов, локализованных внутри оксида:

n
Здесь

fi

= ND + NA + (0- )nox ,

z 0.

(8)

N

Dи

N

A - плотности доноров и акцепторов, соответственно, а оксидные заряды

полагаются локализованными возле границы раздела полупроводник-диэлектрик, что является хорошим приближением в случае границы раздела Si-SiO2 . Пространственное распределение зависящих от поля зарядов чае является нелинейным функционалом потенциала

nf d (z )в

общем слу-



во всех точках полупровод-

ника (в рамках модели подвижными зарядами внутри оксида пренебрегается). Однако при достаточно плавном пространственном распределении электростатического потенциала

(z ),

что выполняется почти для всех используемых в эксперименте

значениях напряжения, экранировка внешнего электростатического поля может быть описана в приближении изогнутых зон для фермиевского электронно-дырочного газа, в рамках которого связь между

nf d () = nf d ((z )). тронов ne , дырок nh

Плостность

nf d (z ) заряда nf d

и

(z )

подразумевается локальной, т.е.

состоит из плотности свободных элек-

и плотности поверхностных состояний

n

it на границе раздела

полупроводник-диэлектрик, заряд которых зависит от величины электростатического потенциала на границе раздела:

nf d (z ) = nh ((z )) + ne ((z )) + (0+ )nit ((z = 0+ )),
Поскольку при подвижного заряда интеграл в виде:

z 0.

(9)

z > 0 координата z входит nf d зависит от z через (z ), E () =
2 0

в уравнения (8,9) неявно и плотность уравнение Пуассона (5) имеет первый

8

ч

n( )d .


(10)

2


С учетом выражений (8,9) компоненты плотности заряда имеют вид:

n( )

из уравнения (10)

nf d ((z )) = eNV n
где

V - kT
C

- eNC

- kT

C

+ (0+ )nit ,

(11)

fi

= eNC

ч- kT

- eNV

V - ч kT

+ (0- )nox .

(12)

( )

- интеграл Ферми-Дирака:

2 ( ) =
Vи





x (1 + exp (x - ))-1 dx.

(13)

0



C в уравнениях (11,12) есть энергии верхнего края валентной зоны и нижнего

края зоны проводимости, соответственно, ная температура.

k

- постоянная Больцмана, и

T

- абсолют-

N

V

= 2(2 mh k T h

-2 )3/2 и

N

C

= 2MC (2 me k T h
и

-2 )3/2 - эффектив-

ные плотности состояний в валентной зоне и зоне проводимости, соответственно, число эквивалентных минимумов зоны проводимости, электронов и дырок. Для кремния

M

C-

MC = 6

и

me NV = 1.04 ћ 10

e - эффективные массы 19 cм-3 , N = 2.8 ћ 1019 cм-3 . C

m

Уравнение (11) получено сверткой энергетической плотности состояний с фермиевской функцией распределения в соответствующих пределах по энергии для дырочной и электронной подсистем электронно-дырочного газа, соответственно. Уравнение (12) получено из условия нейтральности объема полупроводника в отсутствии внешнего поля:

N D + N A = n 0 + p0 ,
где

(14)

n

0и

p

0 плотности электронов и дырок в зоне проводимости и валентной зоне,

соответственно, в отсутствии внешнего поля. Поверхностные (интерфейсные) состояния на границе раздела полупроводник-диэлектрик, возникающие из-за нарушения периодичности кристаллической структуры полупроводника (таммовские состояния) или из-за дефектности границы раздела, могут быть промоделированы уровнями внутри запрещенной зоны полупроводника. При наложении внешнего электростатического поля зоны полупроводника изгибаются, и как только уровень Ферми пересекает уровень поверхностного состояния, состояние (ловушка) начинает заряжаться или разряжаться в зависимости от типа состояния. При дальнейшем изменении поверхностного потенциала изгиб зон и положение уровня Ферми не меняются до тех пор, пока ловушка полностью не зарядится (разрядится). Такой эффект называется стабилизацией уровня Ферми (pinning). Интерфейсные ловушки характеризуются их распределением по энергии зоны и их плотностью на 1 эВ поверхностного потенциала
C

Na,d . Тогда плотность (z = 0+ ) дается в виде:

La,d () ловушек nit

внутри запрещенной при данном значении

nit () = e
V

(Nd Ld ( - )F d ( - ) - Na La ( - )F a ( - ))d,

(15)

3


где индексы

a, d

определяют тип состояния - акцептор или донор, а

F a ( ) = 1 +

1 exp - a g kT kT

-1

,
-1

(16)

F d ( ) = 1 + g d exp

.

(17)

есть функции распределения вероятности заполнения ловушки. Коэффициенты

g

aи

g

d - степень вырождения основного состояния акцепторных или донорных уровней.

Для кремния, из-за двойного вырождения валентной зоны в центре зоны Бриллюена,

a=4

и

g d = 2.

Конкретная форма распределения ловушек по энергиям

La,d ()

зависит от системы, для модельных вычислений она может быть взята в виде набора лоренцевых функций. Тогда плотность ловушек
C

nit ((z = 0+ )) = e
V

d
M

sgn n

M it

F

M

( - )
j

N

M ,j

LM ,j ( - )),

(18)

где

LM ,j () =
В выражениях (18,19)

2 M ,j



2 M ,j

+ ( -

0M ,j

)2

-1

.
M ,j и

(19)

j

нумерует уровни, и

M = a, d. N

M ,j

,



0M ,j обозначают

эффективную плотность состояний на эВ, ширину и центральное положение распределения ловушек по энергии. Такой набор лоренцевых пиков описывает непрерывное распределение ловушек, при



M ,j

0

с помощью (18) можно описать плотность ло-

вушек в виде дискретных уровней.

4