Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://shamolin2.imec.msu.ru/art-129-1.pdf Дата изменения: Thu Aug 2 18:51:29 2012 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:37:47 2012 Кодировка: Windows-1251

Современная математика и ее приложения. Том 78 (2012). С. 119125

УДК 517.957.6

ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КАПИЛЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ
c 2012 г.

1

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

Аннотация. В работе исследуются условия локальной (по времени) разрешимости качественно новой сингулярно предельной задачи задачи со свободной (неизвестной) границей, появившихся в последнее время. На самом деле, разных задач со свободной границей не так уж много, что отвечает не столь большому разнообразию принципиально разных фазовых переходов первого и второго рода. Поэтому появление принципиально новых задач вызывает естественный интерес к ним. В работе исследуются структурные особенности некоторой задачи на основе одного метода, развитого ранее; а именно метода локализации [1, 2, 8].

СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Капиллярная задача в разных эквивалентных Поиск начального приближения . . . . . . . . Решение соответствующей задачи Дирихле . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . .......... формулировках .......... .......... .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 119 121 122 125

1.

Введение

Сложившаяся формализация процесса построения классического решения достаточно универсальна и позволяет свести проблему к исследованию производной Фреше соотвествующей нелинейной задачи (см. [4]). Исследование условий корректности начально-краевой задачи, определяемой производной Фреше, намного упрощается, если предварительно локализовать задачу и свести задачу нахождения условий корректности к задаче определения точных классов разрешимости модельных начально-краевых задач с постоянными коэффициентами. Нас в дальнейшем будет интересовать, прежде всего, усечение сингулярно предельной задачи системы уравнений БаклеяЛеверетта [5], которая пока плохо поддается аналитическим методам исследования. Чтобы сформулировать основные этапы исследования условий существования классического решения задач со свободной границей, мы начнем с ведущего звена изложения подхода к исследованию модельной задачи для хорошо известной задачи со свободной границей (капиллярная задача ).
2. Капиллярная задача в разных эквивалентных формулировках

Капиллярная задача состоит в нахождении семейства поверхностей (t) и функции u(t, ћ) : (t) R таких, что

u = 0,

x (t),

t (0, T ),

u|(t) = K((t)), V (t) = u|(t) , (0) = 0 ,
1 РАБОТА ВЫПОЛНЕНА ПРИ ПОДДЕРЖКЕ РОССИЙСКОГО ФОНДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ, ПРОЕКТ 08-01-00231A.

ISSN 15121712

c Ин-т кибернетики АН Грузии, 2012


120

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

где K(t) средняя кривизна границы (t) и V (t) нормальная скорость границы (т.е. скорость в направлении нормали), внешняя нормаль, > 0 поверхностное натяжение, 0 начальное положение свободной границы. Чтобы объяснить правило построения модельной задачи, для простоты ограничимся случаем, когда свободная граница (t) описывается уравнением

y=

0

(x) + (x, t),

x R1 ,

(x, 0) 0,

и область (t) является криволинейной полосой

(t) = {(x, y ) R2 , -1 < y <

0

(x) + (x, t), x R1 },

где 0 (x) 0, 0 < 0 1 - 0 x R1 . Функция 0 (x) описывает начальное положение 0 свободной границы 0 = {(x, y ), y = 0 (x)}, а величина (x, t) задает свободную границу как возмущение ее начального положения. Прежде всего выпрямим границу. Для этого построим диффеоморфизм Ft (x, z ) полосы L0 = {x R1 , -L0 < z < 0} в область (t) вида

Ft (x, z ) =

x,

1 z + ( 0 (x) + (t, x))(z ) , L0 (z ) 1 -; 4 1, (z ) = 0 для z 3 -, 4 1.

(1)

где (z ) C (R1 ) гладкая функция, 0

(z ) = 1 для z

постоянная L0 > 0 выбирается из условия 1 C0 = - max 0 (x) max (z ) > 0, L0 L0 xR1 z R1 Уравнение (1) определяет диффеоморфизм, если C0 x R1 , -1 z | (x, t)| max (z )
z R1

(2)

0.

(3)

Используя эти локальные координаты, можно описать нормальный вектор к фронту, внешний для области (t), нормальную скорость V фронта и значения предельной концентрации u на фронте: (x ( 0 (x) + (t, x)), -1) t (x, t) = , V (t, x) = - , 2 1 + |x ( 0 + )| 1 + |x ( 0 + )|2 (4) u|y=0 = ч . Положим u(t, x, y ) = U (t, x, z (t, x, y )), где функция U (t, x, z ) является решением задачи
2 x U + (x z )2 + (y z ) 2 2 z U + 2x z x z U + (z ) z U = 0,

(x, z ) L0 ,

t (0, T ).

Здесь

1 (x 0 (x) + x (t, x))(z ) , y z = . 1 1 + ( 0 (x) + (t, x)) (z ) + ( 0 (x) + (t, x)) (z ) L0 L0 Также переписываем условия на фронте (t), который в новых координатах описывается уравнением z = 0: x ( 0 (x) + (t, x)) , U |z =0 = x 1 + |x ( 0 + )|2 t + z U |z =0 = 0. 1 + |x ( 0 + )|2 x z = -

Итак, в результате выпрямления границы, можно сформулировать эквивалентную формулировку капиллярной задачи : требуется найти функцию

Xm,p =

m Lp ((0, T ), Wp +4-1/p (Rn

-1

)),


ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КАПИЛЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ

121

maxz удовлетворяющую уравнению

| (x, t)|

t C0
R1

Lp ((0, T ), W (z ) x R1 , t 1 + |x (
0

m+1-1/p p

(R

n-1

)); = 0 t 0,

t (0, T );

A( )

+ )|2

+ z U |z

=0

= 0,

(5)

где функция U (x, z , t) решение краевой задачи
2 x U + A(z , 0 2 , )z U + B (z , 0

, )x z U + C (z , t (0, T ), + )|2 B (z , , z U |z

0

, )z U = 0,
(6)

(x, z ) L0 , U |z A(z , , )=
=0

=

x

x ( 0 (x) + (t, x)) 1 + |x (
2 0

=-1

= 0,

0

(x 0 (x) + x (t, x))2 2 (z ) + 1

C (z ,

0

1 + ( 0 (x) + (t, x)) (z ) L0 2 ( 2 0 (x) + x (t, x))(z ) 2(x 0 (x) + x (t, x))2 (z )(z ) , )=- x + 2- 1 1 + ( 0 (x) + (t, x)) (z ) + ( 0 (x) + (t, x)) (z ) L0 L0 1 + (x 0 (x) + x (t, x))2 2 (z ) -( 0 (t, x) + (t, x)) (z ) 3. 1 + ( 0 (x) + (t, x)) (z ) L0
3. Поиск начального приближения

,

0

, )=-

2(x 0 (x) + x (t, x))(z ) , 1 + ( 0 (x) + (t, x)) (z ) L0

В качестве начального приближения U0 (z , x, t), R0 (x, t) возьмем решение следующей краевой задачи:
2 x U0 + A(z , 0 2 , R0 )z U0 + B (z , 0

, R0 )x z U0 + C (z , t (0, T ),

0

, R0 )z U0 = 0,

(x, z ) L0 , U0 |z
=0

=

x

x ( 0 (x) + R0 (x, t)) 1 + |x ( 0 + R0 (x, t))|2 z U0 |z =-1 = 0,

,

на достаточно малом временном интервале (0, T ). Дополнительно потребуем выполнения условий согласования t R0 = 0, R0 |t=0 = 0. + z U0 |z =0 1 + |x 0 |2 t=0 В качестве R0 можно, например, взять функцию

R0 (x, t) = -t 1 + |x 0 (x)|2 z U00 (0, x),
где функция U00 (z , x) решение краевой задачи
2 x U00 + A(z , 0 2 , 0)z U 00

+ B (z ,

0

, 0)x z U

00

+ C (z ,

0

, 0)z U00 = 0,

(x, z ) L0 , U00 |z
=0

t (0, T ), , z U00 |z
=-1
0

=

x

x 0 (x) 1 + |x 0 |2

= 0.
0

Теперь стандартно можно написать производную по Фреше L

,R

A

нелинейного оператора

A

0

,R0

( ) = A(

0

+ R0 + ),

X

m,p

,


122

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

(вариацию задачи (5), (6)) для возмущения ( U (z , x, t), (x, t)):

L
2 x U + A(z ,

A



t 1 + |x (
0

+ R0 )|2
0

+ z U |z

=0

= h,
0

(7)

0

2 , R0 )z U + B (z , 2 0 )x

, R0 )x z U + C (z ,
0

, R0 )z U +
(8)

+D0 (z ,

0

, R0 , U

+ D1 (z ,

0

, R0 , U0 )x + D2 (z , t (0, T ), + g,
0

, R0 , U0 ) = 0,

(x, z ) L0 , U |z
=0

=

x

x (t, x) 1 + |x 0 |2
R
0

z U |z

=-1

= 0,

D0 (z , D1 (z ,
0

0

, R0 , U0 ) = x 2
R0

(A(z ,

2 , R0 ))z U0 + R
0

+x 2 , R0 , U0 ) = x
0

(B (z ,
0

0

, R0 ))x z U0 + x 2
2 0 ))z R0

(C (z ,
0

0

, R0 ))z U0 ;

R0

(A(z ,

,R

U0 + x
0

R

0

(B (z ,

, R0 ))x z U0 +

+x D2 (z , , R0 , U0 ) = R0 (A(z ,
0

(C (z ,

, R0 ))z U0 ;
0

2 , R0 ))z U0 + R0 (B (z ,

, R0 ))x z U0 +

+R0 (C (z ,

0

, R0 ))z U0 .

Далее нужно упростить уравнение для функции U (для этого надо сделать замену функций W = W ( U, ), делающую уравнение (8) однородным для функции W ) и ?заморозить? коэффициенты полученной линейной относительно (W, ) задачи в любой точке P фронта (t). Последнее приводит к следующей модельной задаче для капиллярной задачи со свободной границей вида:

W = 0,

(x, t) Rn Ч (0, T ), + (x , t) R
-1 n-1 n-1

W + - ч = g (x , t), t - xn W = h(x , t), |t
=0

Ч (0, T ), Ч (0, T ),

(x , t) R ,

(9)

= 0,

x Rn

где ч = u0 (P ), а u0 (x) начальное приближение концентрации определяется как решение задачи Дирихле:

u0 = 0,

x 0 ,

u0 |0 = K(0 ),
где K0 средняя кривизна начального положения свободной границы 0 . Покажем, что условиями корректности задачи (9) являются

ч
4.

0,



0,

ч + > 0.

Решение соответствующей задачи Дирихле

Для простоты сначала рассмотрим случай > 0, ч = 0. Предположим, что функции g , h принадлежат следующим классам (см. также [6, 7]):

Lp ((0, T ), W Lp ((0, T ), W
Решая задачу Дирихле

m+2-1/p p m+1-1/p p

(R (R

n-1 n-1

)), )).

(10)

W = 0, W |x
n

(x, t) Rn Ч (0, T ), + (x , t) R
m Wp +2-1/p n-1

=0

= W (x , t),
p

Ч (0, T ), )),

(11)

W L ((0, T ),

(R

n-1


ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КАПИЛЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ

123

можно выразить нормальную производную xn W , которая равна - -x W . Это позволяет свести краевую задачу (11) на границу следующим образом: W + = g (x , t), t - -x W = h(x , t), |t=0 = 0, (x , t) Rn
n-1 -1 -1

Ч (0, T ) Ч (0, T ),
(12)

(x , t) Rn .

x R

Применяя преобразование ФурьеЛапласа (Фурье по переменным x и Лапласа по переменной t) к системе (12), получим

W - | |2 = g ( , s), s + | |W = h( , s).
Чтобы выписать решение системы, вычислим ее детерминант:

(13) (14)

det

1 - | |2 | | s

= s + | |3 .

Здесь имеем следующую оценку для символа:

s + | |3

|s| + | |3 ,

Re s (Rn (R (Rn
-1

0,

которая, как мы покажем ниже, определяет выбор класса разрешимости задачи Коши:

W Lp ((0, T ), W L ((0, T ), W t Lp ((0, T ), W
p

m+2-1/p p m+4-1/p p m+1-1/p p

)), )), )).

n- 1 -1

Отсюда получаем условие разрешимости (условие устойчивости задачи Коши) в случае > 0. В общем случае 0, ч 0, + ч > 0 из оценки

s + | |3 + ч| |

|s| + | |3 + ч| |,

Re s

0,

следует, что, в отличие от параболической капиллярной задачи, последний член (младший по порядку с точки зрения многоугольника Ньютона) не играет роли. Считая условие > 0, ч = 0 выполненным, можно написать точное решение W , :

~ sg ~ | |2 h + , s + | |3 s + | |3 ~ h | | g ~ + , ~= - s + | |3 s + | |3 W=
так что решение задачи Дирихле (11) получим в виде

(15)

~ W ( , s, xn ) =
или

~ sg ~ | |2 h + 3 s + | | s + | |3 g- ~ ~ | |3 g ~ | |2 h + s + | |3 s + | |3

e

-| |xn

~ W ( , s, xn ) =

e-|

|x

n

.

(16)

Так как функции g (x , t) и h(x , t) определены на множестве Rn-1 Ч (0, T ), мы можем продолжить их на множество Rn Ч (0, T ). Обозначим эти продолжения через G(x , t, xn ) и H (x , t, xn ) + соответственно. Из (10) следует, что

G Lp ((0, T ), W H Lp ((0, T ), W

m+2 p m+1 p

(Rn )), + (Rn )). +

(17)


124

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

Если продолжить уравнение (16) на множество Rn Ч (0, T ), то, следуя приему, предложенному + В. А. Солонниковым, можно переписать решение в виде

W ( , s, xn ) =
+

=-
0

y
+

~ ~ | |3 G( , s, y ) | |2 H ( , s, y ) ~ G( , s, y ) - + 3 s + | | s + | |3 ~ y G 1 - | |3 | |2 ~ ) + y H s + | |3 s + | |3 | |3 s + | |3 + ~ | |2 H ( , s, y ) s + | |3 e

e

-| |(xn +y )

dy =

=-
0 +

-| |(xn +y )

dy +

+
0

~ G( , s, y ) 1 -

| |e

-| |(xn +y )

dy ,

(18)

m что позволит получить оценки решения в объемных нормах Lp ((0, T ), Wp +2 (Rn )). + p ((0, T ), W m+2 (Rn )). Для этого продолжим функции G, H Требуется показать, что W L p + финитно c сохранением гладкости по t с интервала (0, T ) на полуось (0, ). Для любого > 0 имеем

G H

m Lp ((0,T ),Wp +2 (Rn )) + m Lp ((0,T ),Wp +1 (Rn )) +

C C

,T ,T

e

- t t

G H

m Lp ((0,+),Wp +2 (Rn )) +

, .

e-

m Lp ((0,+),Wp +1 (Rn )) +

Тогда формула (18) представляет продолжение решения W модельной задачи на множестве = Rn Ч (0, ), ограничение которого на множество T = Rn Ч (0, T ), в силу теоремы един+ + ственности, не зависит от продолжения функций G, H . Поэтому для продолжения функций G, H , W оставим старые обозначения. Введем весовые нормы:

W
Тогда имеем

l Lp ((0,+),Wp (Rn )) +

=e

-t

W

l Lp ((0,+),Wp (Rn )) +

.

W
m+2

m Lp ((0,+),Wp +2 (Rn )) +

C
j =0

F

-1

L-1 (| |j W )

Lp (Rn Ч (0,+)) +

j + xn W

Lp (Rn Ч (0,+)) +

.

(19)

Здесь F преобразование Фурье по x и L преобразование Лапласа по t. Производную по xn во втором члене в (19), в силу соотношения (16), можно записать в виде j j j~ ~ xn W = xn (F -1 L-1 F LW ) = F -1 L-1 (xn W ) = F -1 L-1 ((-1)j | |j W ). (20) Поэтому второй член в (19) оценивается так же, как первый (см. также [9, 10]). Теперь сформулируем полученный результат, касающийся разрешимости начально-краевой задачи (11).

Теорема 1. Для любых
g Lp ((0, T ), W h Lp ((0, T ), W
m+2-1/p p m+1-1/p p

(R (R

n-1 n-1

)) , ))

существует единственное решение (W, ) начально-краевой задачи (11) такое, что
W Lp ((0, T ), W Lp ((0, T ), W t Lp ((0, T ), W
m+2 (Rn p + m+4-1/p p m+1-1/p p

)), (Rn (Rn
-1 -1

)), )).


ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КАПИЛЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ

125

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Архипова А.А. О предельной гладкости решения нестационарной задачи с одним или двумя препятствиями// Пробл. мат. анал. 1983. Вып. 9. С. 149156. 2. Булычева М. Г., Петрова С. С. Из истории метода многоугольника Ньютона// Историко-математические исследования. Вып. XXXI. М.: Наука, 1989. 3. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Метод многогранника Ньютона в теории дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Эдиториал УРСС, 1989. 4. Данилюк И. И. О задаче Стефана// Успехи мат. наук. 1985. 40, 5(245). С. 133185. 5. Лукхаус С., Плотников П. И. Энтропийные решения БаклеяЛеверетта// Сибирский мат. журнал 2000. 41, 2. С. 400420. 6. Мейерманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. 7. Радкевич Е. В., Меликулов А. К. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент: ФАН, 1988. 8. Радкевич Е. В., Захарченко M. Асимптотическое решение расширенной модели КанаХилларда// Соврем. мат. и ее прил. 2003. 2. С. 121138. 9. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 10. Athanasopoulous I. Regularity of the solution of an evolution problem with inequalities on the boundary// Comm. Part. Di. Eq. 1982. 7. С. 14531465.

Н. Ю. Селиванова ВИНИТИ РАН, Москва, Россия E-mail: math@viniti.ru М. В. Шамолин Московский Государственный университет им. М. В. Ломоносова, Институт механики, Москва, Россия E-mail: shamolin@imec.msu.ru