Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://shamolin2.imec.msu.ru/art-127-1.pdf Дата изменения: Thu Aug 2 18:51:28 2012 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:36:38 2012 Кодировка: Windows-1251

Современная математика и ее приложения. Том 78 (2012). С. 99108

УДК 517.957.6

ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОФАЗНОЙ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ1
c 2012 г.
Аннотация

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

. Изучается некоторая однофазная задача со свободной границей. Доказывается локальная разрешимость (по времени) данной задачи, при этом разрабатываемый общий метод применяется в более конкретном случае. Для этого вводятся новая замена пременных, параметризация границы, и исследуемая задача сводится к задаче в постоянной области.

СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Замена переменных, параметризация границы, в постоянной области . . . . . . . . . . . . . . . 3. Пример. Замена переменных и параметризация 4. Оценка w через h . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . ........... сведение задачи к ........... границы в случае ........... ........... .... задаче .... задачи .... .... ........ .. (2) .. .. .. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 99 100 102 106 108

1.

Введение

Пусть (t) ограниченное открытое множество в RN , N 2, граница которого (t) объединение (t) двух компактных связных гиперповерхностей. Здесь фиксировано и возможно пусто (далее для простоты без потери общности можно считать именно так), а (t) меняется с течением времени. Рассмотрим следующую однофазную задачу со свободной границей: найти функцию u(x, t) и гладкое однопараметрическое семейство гиперповерхностей

=

((t) Ч {t}),
t(0,T ]

удовлетворяющие следующей краевой задаче (см. x Au = f (x, t), u = g (x, t), x v = - u , n x n где A эллиптический оператор второго порядка

также [14, 810]):

(t), (t), (t),

(1.1) (1.2) (1.3)
(1)

с гладкими коэффициентами:

A = i (aij j ) + bj j , (aij ) симметричная положительно определенная матрица, удовлетворяющая условию эллиптичности: aij i j | 2 |, RN ,
ij

и bj гладкие коэффициенты. Пусть f и g заданные функции в RN Ч R+ , vn нормальная скорость (t), n единичная нормаль к (t), внешняя к (t).
1 РАБОТА ВЫПОЛНЕНА ПРИ ПОДДЕРЖКЕ РОССИЙСКОГО ФОНДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ, ПРОЕКТ 08-01-00231A.

ISSN 15121712

c Ин-т кибернетики АН Грузии, 2012


100

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

Наша цель доказать локальную (по времени) разрешимость задачи (1). Разрабатывая общий метод, мы для ясности изложения будем параллельно применять его в конкретном, более простом случае. Пусть (t) переменная область в R3 , ограниченная неподвижной плоскостью x3 = -1 и поверхностью (t): x3 = (x1 , x2 , t). A = оператор Лапласа, т.е. aij = 1, если i = j , и aij = 0 иначе, bj = 0. В (t) имеем задачу: x (t), (2.1) u = f (x, t), u = g (x, t), x (t), (2.2) (2) v = - u , n x (t). (2.3) n
2. Замена переменных, параметризация границы, сведение задачи к задаче в постоянной области

Рассмотрим (N - 1)-мерную гладкую связную область (поверхность), вложенную в . Пусть M (s) какая-то точка на поверхности и n (s) единичная внешняя нормаль к в точке M . Тогда M (s, d) = M (s) + dn (s) для некоторого малого положительного числа L0 , зависящего только от кривизны поверхности , M (ћ, ћ) C -диффеоморфизм из Ч [-L0 , L0 ] на (L0 ) = {M RN | dist(M , ) < L0 }. Для достаточно малого 0 1 можно параметризовать 0 определенным выше образом:

RN

0 =
Другими словами,

0

= + 0 n .

0 = {M 0 | M где 0 (s) C m+ -функция из в R. Будем считать, что L0 и где < 8 1.



0

= M + 0 (s)n , M },

0

m+

,

Замечание 1. Для любой гладкой области M обозначим через ћ ства C n+ ([0, T ], C m+ (M )). Когда m = n и = , будем вместо ћ ћ m+ .
m пространство Wp (M Ч [0, T ]).

m+,n+ m+

норму простран,m+ писать просто

Замечание 2. Используя теоремы вложения, полученные результаты можно перенести и на
Для достаточно малого T

1 можно параметризовать все семейство {(t)}t

[0,T ]

, т.е.

(t) = {M | M = M (s) + (s, t)n (s), M }, L0 L0 , . 44 Теперь определим замену переменных, которая позволит перейти от задачи со свободной границей к задаче в фиксированной области. Пусть C0 (R) ?срезающая? функция, причем для любого фиксированного t [0, T ] отображение d(x) Y : (x, t) x - (S (x), t)n (S (x)) L0 является C 2 -диффеоморфизмом из RN в RN для любой функции C m, ( Ч [0, T ]) такой, что L0 0 . При этом Y отображает (t) в , а (t) в . 4
где C
m,

-функция из Ч [0, T ] в

-


ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОФАЗНОЙ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

101

v (y , t) = u((Y )-1 (y , t), t) для (y , t) Ч [0, T ]. Тогда в новых переменных получим (см. также [5, 6, 11]): L v (y , t) = F0 (y , t), v (y , t) = G(y , t),
где

Рассмотрим теперь

y , y ,
m x Y

(3)

L v (y , t) =
и И наконец,

(
k,l=1

k x Y

,A

l x Y

)

2v + yk yl

divx (a1 ( ij
m

))

v + ym

bm
m

v,

Y xm

F0 (y , t) = f (Y-1 (y , t), t),

G0 (y , t) = g (Y-1 (y , t), t).

a1 (y , t) = aij (Y-1 (y , t)). ij Рассмотрим теперь, как преобразуется уравнение (3). Если граница задана уравнением H (x1 , x2 , x3 , t) = 0, то его можно переписать в виде H H x1 H x2 H x3 H + + + = + t x1 t x2 t x3 t t
Разделив это уравнение на

H,

x t

= 0.

H , получим H H x , = - t = H H t В силу параметризации граница задается уравнением H = x - (s1 (x), . . . , sN
отсюда
-1

n,

x t

= vn .

(x), t)n(s(x)) = 0;

H =- , t t H= 1+ x1
2

+ ћћћ +

и, так как окончательно получаем

xN
-1 k

2

s1 sN = + ћћћ + xk s1 xk sN -1 x vn = 1+ t
N -1 k=1 2

,

.

sk

x sk

Далее, согласно приведенной выше замене переменных, внешняя нормальная производная u принимает вид
N -1 k=1 2

n u(x, t) =
Согласно уравнению (3), vN = -

1+

sk

x sk

(n v (Y (x, t), t)).

u , поэтому получаем n
N -1 k=1 2

- 1+

t
N -1 k=1

2 x sk

(n v (Y (x, t), t)).

=

1+

sk

sk

x sk


102

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

Окончательно уравнение (3) перепишется в виде

t + H n v = 0,
где
N -1

(y , t) Ч [0, T ],
2

H =1+
k=1



sk

x sk

.

Итак, переформулируем задачу (1) следующим образом: положим

E = { C

m,

([0, T ] Ч ) : (0) = 0 , - 0

m+,m-1+

},

где положительная константа, много меньшая единицы, которая будет уточнена позднее. Мы помним, что должно выполняться неравенство

L0 4 была параметризована. Положим для достаточно малого T , чтобы граница
0,0

0

0

+ - 0

0,m+-1

T<

F = {u C

m,

([0, T ] Ч ) : u

m+,m-1+

CF ( f

m,

+g

m,

)},

где CF > 1 константа, которая также будет уточнена позднее. Итак, сформулируем окончательно поставленную задачу: для любой пары (v , ), заданной в E Ч F , найти пару (w, h) E Ч F решение задачи (см. также [7]):

Aw = Av - L(,h) v + F0 (y , t) = -( v , divx (a1 ( ij w(y , t) = g (y , t) +

x Yh

))) + F0 (y , t) + B y ,

(,h)

v,

y ,

(4) (5) (6)

g (y , t) h + r(), n

t h + H (n v ) = 0,
где
N

h(0) = 0 , 2v - yk yl Yh xm

B

(,h)

v = (A - A(,h) v ) = Av -

(
k,l=1

k x Y

,A

l x Yh

)

bm
m

v,

и r() остаток в формуле Тейлора, примененной к g (y + n). Таким образом, имеем отображение F : (W, h) = F (v , ). Докажем далее, что F хорошо определено из E Ч F в E Ч F и обладает сжимающим свойством для достаточно малого T , а значит, имеет единственную неподвижную точку. Тем самым будет доказана локальная разрешимость начальной задачи.
3. Пример. Замена переменных и параметризация границы в случае задачи (2)

Пусть (t) переменная область в R3 , ограниченная неподвижной плоскостью x3 = -1 и поверхностью (t) : x3 = (x1 , x2 , t). Рассмотрим задачу: x (t), u = f (x, t), u = g (x, t), x (t), (7) v = - u , x (t). n n Сделаем замену:

y1 = x1 , y = x2 , 2 y3 = x3 - ,


ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОФАЗНОЙ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

103

где = (x3 - (x1 , x2 , t)) ?срезающая? функция, 1, - (z ) = 0, z гладкая при -

т.е.

1 3

z 2 -, 3

0,

2 1 z -. 3 3 Легко видеть, что в результате такой замены переменная область (t) перейдет в постоянную полосу , ограниченную плоскостями y3 = -1 и y3 = 0. Согласно введенным обозначениям, 1 Y x1 y1 y2 = Y (x) = Y2 = x2 . x3 - y3 Y3
Поскольку т.е.

в нашем случае имеем

v Y1 (x) v Y2 (x) v Y3 (x) u = + + , xi y1 xi y2 xi y 3 xi u x1 u v v v , , Y (x), = x2 y1 y2 y3 u x3 Y1 (x) x2 Y2 (x) x2 Y1 (x) x3 1 Y2 (x) 0 = ( ) x3 - x1 Y3 (x) x3 - ( ) , x1 ( ) , x2

Y1 (x) x 1 2 Y (x) Y (x) = x 1 3 Y (x) x1 и, следовательно,

Y3 (x) x2

0 1 ( ) - x2

1- x3

0 0



u v v = + x1 y1 y3 u v v = + x2 y2 y3

-

v u = 1- . x3 y3 x3
Далее,

2u = xi xj x =

j

u xi v yk

=

x

k

i,j

(x) + xi xj

j 2Y k

v Y1 (x) v Y2 (x) v Y3 (x) + + y1 xi y 2 xi y 3 xi 2v yk yl Yk (x) Yl (x) xi xj Yk (x) Yl (x) aij . xi xj

=

k,l

i,j

действие оператора A превращается в

Av =
k

v yk

i,j

2 Yk (x) aij + xi xj

k,l

2v yk yl

i,j


104

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

Обозначим первое слагаемое в правой части этого равенства через I1 , а второе через I2 . В соответствии с заменой 1 Y x1 Y (x) = Y2 = x2 x3 - Y3 имеем 000 000 Y1 (x) Y2 (x) = 0 0 0 , = 0 0 0 , xi xj xi xj 000 000 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) - - - x2 x1 x2 x1 x3 1 3 (x) 2 ( ) 2 ( ) Y 2 ( ) . = - - - x1 x2 xi xj x2 x3 x2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) - - - x1 x3 x2 x3 x2 3 Запишем подробнее производные от = (x3 - (x1 , x2 , t)) и от :

= x1

-

, x1

По правилу Лейбница имеем

= - , x2 x2 =. x3 - + , x1 x1

( ) = + = x1 x1 x1

( ) = + = - + , x2 x2 x2 x2 x2 ( ) = = , x3 x3 2 ( ) = x2 1 x1 =
2

- x1
2

2 - x2 1

x1

2

-

x1

2

+

2 = x2 1

( - 2 ) - x1

2 ( - ), x2 1

2 ( ) = x1 x2 - x1 x2 = x1 x2 2 ( ) = x2 2 2 ( ) = x1 x3 2 ( ) = x2 x3 x2 - -

2 - - x2 x1 x2 2 - + = x1 x2 x1 x2 2 ( - 2 ) - ( - ), x1 x2
2

( - 2 ) -

2 ( - ), x2 2

+ = ( - ), x1 x1 x1 + = ( - ), x2 x2 x2


ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОФАЗНОЙ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

105

Таким образом, получаем

2 ( ) = . x2 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) - - x2 x2 x2 1 2 3
2

I1 = =-

v v v Ч0+ Ч0+ Ч y1 y2 y3 x1
2

= + ,

v ( - 2 ) y3 I2 = +

+

x2

- ( - )

2 2 + x2 x2 1 2

2v 2v 2v - + 2 Ч 1 + y y Ч 0 + y y x1 x1 y1 1 2 1 3

2v 2v 2v Ч0+ 2 Ч1+ - + y2 y1 y2 y3 x2 x2 y2 + 2v - y3 y1 x1 x1 - x1 x1
2

+

- + x2 x2
2

2v +2 y3
Отсюда

+ - x2 x2

+ (1 - )2 .

L v =

2v 2v 2v - 2 + y2 + 2 y y x1 x1 y1 1 3 2 + v 2 y3
2

+2

2v y2 y
2


3

- + x2 x2



- x1 x1 x1
2

2

+ x2

- x2 x2
2

+ (1 - )2 - 2 2 + x2 x2 1 2 + .

-

v ( - 2 ) y3

+

- ( - )

Согласно приведенным выше рассуждениям о преобразовании уравнения (3), исследуемое уравнение (с учетом того, что s1 = x1 и s2 = x2 ) принимает вид

t + H n v = 0,
где

2 2 H =1+ + . x1 x2 Таким образом, в случае задачи (2) система уравнений (4)(6) будет иметь вид:


w =

v ( h - 2 ) y3 +v -

h y1

2

+

h y2

2

- ( h - ) -

2h 2h 2 + y2 y1 2

+ h

+ F0 (y , t)+

2v 2v 2v - 2- 2 y1 y y1 y2
2

3

- y1 y1 -

2v h h h- - y3 y1 y1 y1

-

v - y2 y3 y2 y2 - 2v 2 y3

2v h h h- - y3 y2 y2 y2 h h - + y1 y1 y ,

- y1 y1 h h - y2 y2

+

- y2 y2

+ (1 - )(1 - h ) , y ,

w = g (y , t) +

g h + r(), y3


106

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

t h +

1+

y1
4.

2

+

y2

2

v = 0, y3

h(0) = 0 .

Оценка w через h

Выпишем отдельно уравнения (4) и (5):

Aw = -( v , divx (a1 ( ij

x Yh

))) + F0 (y , t) + B

(,h)

v,

y ,

(8) (9)

w(y , t) = g (y , t) +
где
N (,h) (,h)

g (y , t) h + r(), n (
k x Y

y , Yh xm

B

v = (A - A

v ) = Av -

,A

l x Yh

)

k,l=1

2v - yk yl

bm
m

v,

и r() остаток в формуле Тейлора, примененной к g (y + n, t). Обозначим для простоты

R0 = -( v , divx (a1 ( ij
и

x Yh

))) + F0 (y , t) + B

(,h)

v

g (y , t) h + r(). n и . Напомним, что Далее будем писать просто и вместо J0 = g (y , t) + E = { C
и
m,

([0, T ] Ч ) : (0) = 0 , - 0
m+,m-1+

m+,m-1+

}
m,

F = {u C m, ([0, T ] Ч ) : u Тогда, в силу того, что (v , ) E Ч F , имеем R0 = C
и
m,

CF ( f ())

m,

+g

)}.

([0, T ], C

m-2,

J0 = C Эллиптичность A дает следующую оценку: w
m+,0

m,

([0, T ] Ч ). +J ).

C ( R0

m-2+,0

0 m+,0

Для того чтобы получить пространственно-временную оценку на w, докажем вспомогательную лемму.

([0, T ], C m-2, ()), J0 = C m, ([0, T ] Ч ), v F , E и w решение задачи (8)(9). Имеют место следующие оценки : w
и
m,

Лемма. Пусть R0 = C

m,

C1 ( v

m,

,

m,

)h

m,

+ C2

w

m+,m-1+

C1 h

m+,m-1+

+ C2 .

Доказательство. Согласно условиям леммы, h, и v являются C m+ -функциями по времени, а следовательно, R0 по меньшей мере C m -функция по времени. Значит, можно продифференциm ровать по времени уравнения (8) и (9). Положим = t w. Тогда
m A = t R0 , y , m = t J0 ,

y .
m + t J0

Теперь эллиптичность дает следующую оценку:
m t w m+,0 m C ( t R0 m-2+,0 m+ m+,0

).

Имеем

w C m ([0, T ], C

()).


ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОФАЗНОЙ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
m Докажем теперь, что t w C ([0, T ], C m+

107

()). Оценим для t1 и t2 следующую величину:
m+

m m t w(t1 , ћ) - t w(t2 , ћ)

.

В силу уравнений
m m m m A(t w(t1 , ћ) - t w(t2 , ћ)) = t R0 (t1 , ћ) - t R0 (t2 , ћ), m m m m t w(t1 , ћ) - t w(t2 , ћ) = t J0 (t1 , ћ) - t J0 (t2 , ћ)

и условия эллиптичности, имеем
m m t w(t1 , ћ) - t w(t2 , ћ) m t m t m+ m t J0 (t1 m ) - t J0 (t2 )

C(

R0 (t1 ) -
m+

R0 (t2 )

m-2+

+

m+

).

В силу того, что R0 и J0 C

-функции по времени, можно написать:
m-2+

m m t R0 (t1 ) - t R0 (t2 )

C1 |t1 - t2 |

и
m m t J0 (t1 ) - t J0 (t2 ) m+

C2 |t1 - t2 | .

Теперь введем h в оценку для w. Имеем

R0 = -( v , divx (a1 ( ij
и

x Yh

))) + F0 (y , t) + B

(,h)

v

J0 = g (y , t) +
Отсюда

g (y , t) h + r(). n + F0 +B
h,

R0
и

m-2+,m+

(v

m+,m+

A)h

m+

m+,m+

v

J
Поскольку

0 m+,m+

< g +( h

g ) + C.

N

B
имеем

(,h)

v = Av -

(
k,l=1

x

Yk , A

x

l Yh )

2v - yk yl

bm
m

v,

Yh , xm

B

h,

v

(A



v)h

m+,m+

.

Таким образом, получаем следующую оценку на w:

w

m+

C1 (v , ) h
m+ , ,m+

m+

+ C2 (f , g ),

где C1 (v , ) зависит только от m+ и v образом, мы доказали, что w является C m+

а C2 (f , g ) зависит от f m+ и g m+ . Таким -функцией. Простой подсчет приводит к оценке
m+,m-1+

w

m+,m-1+ m+,m-1+

C1 (v , ) h

+ C2 (f , g ),

где C1 теперь зависит от некоторой константой.

. В силу того, что v F и E , величина C1 ограничена


108

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 2. Данилюк И. И. О задаче Стефана// Успехи мат. наук. 1985. 40, 5(245). С. 133185. 3. Елтышева Н.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости// Мат. сб. 1988. 132, 2. С. 186209. 4. Лаврентьев М. М. (мл.), Люлько Н.А. Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач// Сиб. мат. ж. 1997. 38, 1. С. 109124. 5. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами// Изв. РАН. Сер. Энергетика. 1999. 5. С. 334. 6. Соболев С. Л. Локально неравновесные модели процессов переноса// Успехи физ. наук. 1997. 167, 10. С. 10951106. 7. Тахиров Ж. О. Двухфазная задача с неизвестными границами для гиперболической системы уравнений первого порядка// Узб. мат. ж. 1991. 6. С. 4856. 8. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 9. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 10. Slemrod M. Dynamics of measure valued solutions to a backward forward parabolic equation// J. Dyn. Dier. Equat. 1991. 2. С. 128. 11. Solomon A. D., Alexiades V., Wilson D. G., Drake S. On the formulation of hyperbolic Stefan problem// Quar. Appl. Math. 1985. 43, 3. С. 295304.

Н. Ю. Селиванова ВИНИТИ РАН, Москва, Россия E-mail: math@viniti.ru М. В. Шамолин Московский Государственный университет им. М. В. Ломоносова, Институт механики, Москва, Россия E-mail: shamolin@imec.msu.ru