Еще в середине XX века А. А. Ильюшин предложил эффективную двумерную, осредненную по толщине слоя, математическую модель течения тонкого пластического слоя между сближающимися жесткими плитами. В рамках этой модели он сформулировал краевую задачу для линейно-вязкой жидкости относительно трех неизвестных функций, двух компонент скорости течения и контактного давления, в области с подвижной границей.