Довбыш С. А. Оптимальные ляпуновские метрики гомеоморфизмов, обладающих гиперболической структурой.

Определение. Гомеоморфизм обладает гиперболической структурой (ГС), а метрика называется гиперболической, если существуют такие , и , что

при (). Метрика называется ляпуновской, если при этом .

Пусть и есть точные нижние грани для констант таких, что при подходящих выполнены неравенства (1), относящиеся, соответственно, к устойчивым и неустойчивым многообразиям. Константы и не изменятся при выборе меньшего радиуса локальных многообразий.

К. Сакаи доказал (Sakai K. Topology and Appl. 1995. V. 63, no. 3. P. 263--266; 2001. V. 112, no. 3. P. 229--243), что у гомеоморфизма , обладающего ГС, имеется ляпуновская метрика, эквивалентная исходной (т. е. определяющая ту же топологию), причем эту метрику можно выбрать так, что оба отображения и будут липшицевыми относительно нее. Следующая теорема утверждает существование оптимальных ляпуновских метрик.

Теорема. Пусть гомеоморфизм обладает ГС и , . Тогда ляпуновскую метрику можно выбрать так, что (и, соответственно, ) равномерно по всем таким, что (соответственно, ) при или, что равносильно, при . Более того, отображение (соответственно, ) будет липшицевым относительно с постоянной (соответственно, ), если ().

В случае, когда гомеоморфизм дополнительно обладает локальной структурой произведения, т. е. удовлетворяет аксиоме (см. Алексеев В. М. Символическая динамика // Одиннадцатая матем. школа. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1976. 210 с.) метрика в малых масштабах приблизительно представляется как прямая сумма метрик, соответствующих каноническим координатам, а малые участки ' многообразий' , (рассмотренные при надлежащем увеличении) приблизительно являются в некотором смысле ``плоскими'' подмножествами .