Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://qsft.phys.msu.ru/biblioteka/lecturesPS/cw2.pdf Дата изменения: Thu Oct 18 10:12:22 2012 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:42:44 2016 Кодировка: Windows-1251

ФНБИК, Кафедра математики и математической физики "Теория вероятностей и математическая статистика" 2012 Кр2
1. Пусть {x1 , . . . , xN } -независимые целочисленные выборочные значения случайной величины x, имеющей биномиальное распределение
m B (p, M ) : PM {x = m} = CM pm (1 - p)M -m

.

Показать, что xn /M и xi /M (1-xj /M ), i = j , можно использовать как выборочные несмещенные оценки p и 2 = p(1 - p) соответственно. Напомним, что случайная величина называется несмещенной оценкой параметра , если E = . 1. Пусть {x1 , . . . , xN } -независимые целочисленные выборочные значения случайной велиm чины x, имеющей пуассоновское распределение P {x = m} = ! e- . Показать, что x(N ) = m N n=1 xn /N можно использовать как состоятельную выборочную оценку при любом N . Для доказательства воспользоваться неравенством Чебышева P {| - c| } 1 E | - c|2 .
Напомним, что случайная величина

x(N )

называется

P {|x(N ) - | } 0

при

N

для любого

> 0.

состоятельной

оценкой параметра



, если

1. Пусть {xn }N - независимые выборочные значения случайной величины N (ч, ). 1 1 2 Показать, что среднее чN = N N=1 xn и дисперсия N = N 1 1 N=1 (xn - чN )2 являются n n - независимыми случайными величинами. 1. Пусть {xn }N - независимые выборочные значения случайной величины N (ч, ). 1 Используя распределение Стьюдента оценить вероятность чN - ч чN + . 1. Пусть {xn }N - независимые выборочные значения случайной величины N (ч, ). 1 2 2 Используя распределение Фишера оценить вероятность N - 2 N + . 1. Пусть x, y [-1, 1] независимые действительные случайные величины с плотностями 1 распределения px (r) 2 и py (r) 1 . Вычислить плотность вероятности случайной величины 2 z = max{x, y }. 1. Пусть x, y [-1, 1] независимые действительные случайные величины с плотностями 1 распределения px (r) 2 и py (r) 1 . Вычислить плотность вероятности случайной величины 2 z = min{x, y }. 1. Пусть x = {n }N RN , где n независимые случайные величины со стандартным 1 нормальным распределением. Вычислить распределение случайной величины r = |x|2 R+ . 1. В какой точке плотность распределения Фишера P
f
M ,N

(x) достигает максимума?


1. Существует ли предельное распределение P (x) = limN деление Стьюдента с N степенями свободы?

PtN (x), где PtN (x) - распре-

2 1. Пусть чN и N выборочные оценки параметров нормального распределения N (ч, ) 2 2 s1 N s2 N и s1 , s2 > 0. Вычислить вероятность события чN - N < ч < чN + N .


2 1. Пусть чN и N выборочные оценки параметров нормального распределения N (ч, ) 2 2 (N -1)N (N -1)N < 2 < . и g1 > g2 > 0. Вычислить вероятность события g1 g2

1. С помощью формулы Стирлинга показать, что плотность распределения Стьюдента ptN (x) сходится к стандартному нормальному распределению. Напомним, что

ptN (x) = 1+

c


N
2 N 2

N 2

,

cN = (N - 1)
N -1 2

.

x N -1

1. Показать, что если F (x) кумулятивное распределение случайной величины , то случайная величина ч = F ( ) имеет равномерное распределение. 1. Пусть F (x) кумулятивное распределение действительной случайной величины . Вычислить среднее значение случайной величины ч = F ( ). 1. Пусть F (x) кумулятивное распределение случайной величины . Вычислить дисперсию случайной величины ч = F ( ). 1. Пусть д. с. в. имеет распределение Парето P (1, a) и xN = min{1 , . . . , N }. Вычислить E ln xN . 1. Пусть N (0, 1) и ч 2 независимые д. с. в. Вычислить распределение n
2 n

.

1. Показать, что ковариационная матрица n-мерной случайной величины с действительными компонентами неотрицательно определена. 2. Для массива из N = 100 экспериментальных точек определено выборочное среднее 2 чN = 1 и дисперсия N = 0.04. Какую погрешность можно гарантировать с вероятностью P = 0.95? Воспользуйтесь центральной предельной теоремой и графиком кумулятивного распределения стандартной нормально распределенной случайной величины.
1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5 0 1 2 3 4

2. Для массива из N = 100 экспериментальных точек определено выборочное среднее 2 чN = 1 и дисперсия N = 0.04. Какова вероятность того, что истинное среднее отличается от чN в любую сторону не более, чем на 0.1? Воспользуйтесь центральной предельной


теоремой и графиком кумулятивного распределения стандартной нормально распределенной случайной величины.
1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5 0 1 2 3 4

2. Для массива из N = 10 случайных точек

{3.307, 3.513, 3.979, 3.298, 3.081, 3.519, 3.371, 4.101, 3.789, 3.091},
имеющих неизвестное среднее ч и известную дисперсию 2 = 0.25 определены выборочное 2 среднее чN = 3.4 и выборочная дисперсия N = 0.222. Используя приведенное на графике распределение Стьюдента c 9 степенями свободы, найдите доверительные интервалы, содержащие среднее значение ч с вероятностями 0.1, 0.5, 0.9.
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0


2. Для массива из N = 10 случайных точек

{3.307, 3.513, 3.979, 3.298, 3.081, 3.519, 3.371, 4.101, 3.789, 3.091},
имеющих неизвестное среднее ч и известную дисперсию 2 = 0.25 определены выборочное 2 среднее чN = 3.4 и выборочная дисперсия N = 0.222. Используя приведенное на графике распределение Стьюдента c 9 степенями свободы, найдите вероятность события ч [ , чN ].
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2. Для массива из N = 10 случайных точек

{2.637, 3.349, 2.466, 2.77, 3.767, 2.351, 2.365, 2.253, 2.753, 2.707},
имеющих известное среднее ч = и неизвестную дисперсию определена выборочная дисперсия 2 N = 0.227. Используя приведенное на графике распределение

CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 - eps)] - CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 + eps)],
2 2 найдите вероятность события 2 [N (1 - ), N (1 + )],

= 0.1.

0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

2. Для массива из N = 10 случайных точек

{2.637, 3.349, 2.466, 2.77, 3.767, 2.351, 2.365, 2.253, 2.753, 2.707},
имеющих известное среднее ч = и неизвестную дисперсию определить выборочную дисперсию Используя приведенное на графике распределение

CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 - eps)] - CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 + eps)],


0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

2 2 найдите вероятность события 2 [N (1 - ), N (1 + )], 2 = 0.25,

= 0.3.

2. Для двух массивов из N = 10 и M = 8 случайных точек

{-0.925, 0.0462, -0.359, 0.259, 0.581, -0.260, -0.399, -0.700, 0.915, 0.143}, {0.148, -0.810, -0.357, 0.0389, -0.484, -0.080, -0.350, 0.813}
имеющих среднее ч = 0 и неизвестные дисперсии определены выборочные дисперсии 2 0.173, 8 = 0.279. Используя приведенное на графике распределение
2 10

=

CDF[FRatioDistribution[10, 8], 1 + eps] - CDF[FRatioDistribution[10, 8], 1 - eps]
2 2 со степенями свободы (10,8), найдите вероятность события 10 /8 = 0.621 [1 - , 1 + )], для минимального значения .

0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

2. Для двух массивов из N = 30 и M = 20 случайных точек построены графики ранговых распределений и найдена их разность, изображенная на левом графике. На правом графике приводится распределение Колмогорова. С помощью критерия СмирноваКолмогорова проверить гипотезу о совпадении выборочных распределений. Какова вероятность того, что распределения совпадают? 2. Найти точку, в которой p

2 N

(x) достигает максимума.

2. Вычислить среднее и дисперсию распределения tN . 2. Вычислить среднее и дисперсию распределения 2 . N 2. Вычислить среднее распределения Фишера f
k,m

.


0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 10 20 30 40 50

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

2. Вычислить ковариационную матрицу погрешности оценки b-b = (AT A)-1 AT параметров b для метода наименьших квадратов, считая, что компоненты вектора ошибок независимые случайные величины, имеющие распределение N (0, ). 2. Пусть x R, д. с. в. и ч( |x) = I(-,x] ( ). Вычислить среднее и дисперсию д. с. в. ч(x, ). 3. Пусть {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } величины N (ч, ) разбитые на K групп по N1 , . . . , NK 1 Пусть X = N k,n xk,n - глобальное выборочное среднее и Xk средние. Показать, что имеет место теорема Пифагора Q = - выборочные значения случайной элементов, N = N1 + ћ ћ ћ + NK . 1 = Nk n xk,n - внутригрупповые Q1 + Q2 , где

Q=
k,n

(X - x

k,n

)2 ,

Q1 =
k

Nk (X - Xk )2 ,

Q2 =
k,n

(Xk - x

k,n

)2 .

3. Пусть {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } - выборочные значения случайной величины N (ч, ) разбитые на K групп по N1 , . . . , NK элементов, N = N1 + ћ ћ ћ + NK . 1 1 Пусть X = N k,n xk,n - глобальное выборочное среднее и Xk = Nk n xk,n - внутригрупповые средние

Q=
k,n

(X - x

k,n

)2 ,

Q1 =
k

Nk (X - Xk )2 ,

Q2 =
k,n

(Xk - x

k,n

)2 .

Представить Q1 и Q2 в виде квадратичных форм проекторов. 3. Пусть {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } - выборочные значения случайной величины N (ч, ) разбитые на K групп по N1 , . . . , NK элементов, N = N1 + ћ ћ ћ + NK . 1 1 Пусть X = N k,n xk,n - глобальное выборочное среднее и Xk = Nk n xk,n - внутригрупповые средние

Q=
k,n

(X - x

k,n

)2 ,

Q1 =
k

Nk (X - Xk )2 ,

Q2 =
k,n

(Xk - x

k,n

)2 .

Сколько степеней свободы имеют случайные величины Q1 и Q2 ?


3. Пусть R > 0 и x гауссова случайная величина с нулевым средним и нормальным распределением

P (x B ) =

(2

)K/2

1

det R

e-
B

1 2

(x,R

-1

x) K

d x.

Показать, что E(h, x)(g , x) = (h, E x x g ) = (h, Rg ) для любых g , h RK , то есть R ковариационная матрица. 3. Пусть случайная величина x имеет распределение pk = P (x k ), =
k

k и

z (x) =

Ik (x) - p pk

k

RK .

Показать, что ковариационная матрица случайного вектора z (x) равна R = Ez (x) Z(x) = I - ep ep , где ep = { p1 , . . . , pK }. 3. Пусть A : RK RN - матрица полного ранга K < N . Показать, что detAT A > 0 и для любого y RN argminb |y - Ab| = (AT A)-1 AT y . 3. Пусть A : RK RN - матрица полного ранга K < N . Показать, что если b = (AT A)-1 AT y , Ab = y + , где E = 0, то E(bk - b )2 = kk , где = (AT A)-1 . k 3. Пусть A : RK RN - матрица полного ранга K < N . Показать, что если N (0, 1), то b - b и ( , (I - A ) ) независимые случайные величины. 3. Пусть A : RK RN - матрица полного ранга K < N . Для переопределенной системы yn + n = b0 + b1 xn c заданными {xn , yn }, найти b , b методом наименьших квадратов. 01 3. Методом Форсайта построить 4 ортогональных полинома на равномерной сетке, имеющий шаг h и состоящей из N узлов. 3. Пусть A -K Ч M -матрица ранга K < M , K число строк. Как доказать, что матрица AAT положительно определена и имеет ранг K ? 3. Убедиться, что x, y RN , если (x) =
R N n=1

(x - y )f (y ) dy = ||-1 f (-1 x). Как выглядит эта формула в (xn ) и невырожденная (n Ч n)-матрица?

3. Пусть pn вероятность того, что выборочное значение случайной величины попадает в область n , n N . Области n не пересекаются, а из объединение содержит все возможные значения случайной величины . Вычислить корреляционную функцию компонент zn ( ) = In ( )-pn случайного вектора z ( ) RN . pn 3. Вывести формулы МНК для погрешностей оценок коэффициентов bn -b при использовании n ортогональных сеточных полиномов и вычислить корреляционные функции E(bn - b )(bm - n b ) при стандартных предположениях относительно погрешностей измерений. m
3. Вывести формулы МНК для погрешностей оценок экспериментальных точек yn -yn при использовании ортогональных сеточных полиномов и вычислить корреляционные функции E(yn - yn )(ym - ym ) при стандартных предположениях относительно погрешностей измерений.


3. Вывести формулы МНК для погрешностей оценок коэффициентов bn -b при использовании n сеточных полиномов и вычислить корреляционные функции E(bn -b )(bm -b ) при стандартных n m предположениях относительно погрешностей измерений.
3. Вывести формулы МНК для погрешностей оценок экспериментальных точек yn -yn при использовании сеточных полиномов и вычислить корреляционные функции E(yn - yn )(ym - ym ) при стандартных предположениях относительно погрешностей измерений.

4. Пусть x R, {n }N - независимые выборочные значения случайной величины и 1 x 1 FN (x) = N N=1 I(-,x] (n ) -ранговое распределение, EFN (x) = F (x) = - p( )d . Вычислить n ковариацию E(FN (x) - F (x))2 . 4. Пусть x R, {n }N - независимые выборочные значения случайной величины 1 x 1 и FN (x) = N N=1 I(-,x] (n ) -ранговое распределение, EFN (x) = F (x) = - p( )d . С n помощью неравенства Чебышева доказать сходимость рангового распределения по вероятности: limN P (|FN (x) - F (x)| > ) = 0. 4. Пусть для выборки из 100 точек max |F (x) - FN (x)| = 0.1. С помощью критерия Колмогорова оценить вероятность того, что такой максимум принимает меньшие значения.
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

4. Пусть для независимых выборок N = 20, M = 25 из одного и того же распределения получена оценка max |FN (x) - GM (x)| = 0.1. С помощью критерия Смирнова оценить вероятность того, что такой максимум принимает меньшие значения.
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

4. Для заданного набора {xn } выборочных значений случайной величины методом максимального правдоподобия найти оценки параметра = {1 , 2 } для среднего значения и


дисперсии нормального распределеия N (ч, ):
{xn }25 = {0.6, 3.32, 0.48, 1.97, 2.51, 1.74, 2.58, 2.94, 3.6, 2.68, 2.84, 1 3.71, 1.01, 2.05, 3.17, 1.53, 1.57, 2.21, 0.31, 2.1, 1.79, 1.12, 0.41, 2.41, 2.5}.

Оценить выборочную дисперсию этой величины. 4. Для заданного набора {xn } выборочных значений случайной величины методом максимального правдоподобия найти оценку параметра для гамма-распределения (2, ).
{xn } = {1.11, 0.63, 4.11, 3.03, 1.58, 0.42, 0.37, 0.53, 3.69, 1.29, 2.97, 4.50, 4.57, 1.63, 3.63, 0.98, 0.27, 0.61, 1.15, 3.26, 3.71, 1.3, 2.96, 0.56, 1.08}.

Оценить выборочную дисперсию этой величины. 4. Для заданного набора {xn } выборочных значений случайной величины методом максимального правдоподобия найти оценку параметра для распределения Бернулли B i(n, ).
{xn }25 = {3, 3, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 0, 2, 2, 1, 1, 2, 7, 2, 3, 2, 1, 2, 2}. 1

Оценить выборочную дисперсию этой величины. 4. Для заданного набора {xn } выборочных значений случайной величины методом максимального правдоподобия найти оценку параметра для дисперсии пуассоновского распределеия (),
{xn }
25 1

= {2, 3, 0, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 6, 3, 3, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3}.

Оценить выборочную дисперсию этой величины. 4. Для заданного набора {xn } выборочных значений случайной величины методом максимального правдоподобия найти оценки параметра для распределения Парето P (1, ),
{xn }
25 1

= {1.27, 1.2, 1.08, 2.22, 1.13, 1.01, 1.03, 1.05, 1.003, 1.2, 1.09, 1.38, 1.94, 1.09, 1.31, 1.04, 1.05, 1.39, 1.11, 3.7, 9.81, 1.71, 1.18, 1.15, 1.25}.

Оценить выборочную дисперсию этой величины. 4. Вычислить информацию Фишера для среднего значения нормального распределеия N (, ). 4. Вычислить информацию Фишера для дисперсии нормального распределеия N (ч, ). 4. Вычислить информацию Фишера для гамма-распределения (, ). 4. Вычислить информацию Фишера для распределения Бернулли B i(n, ). 4. Вычислить информацию Фишера для распределения Парето P (x0 , ). 4. Вычислить информацию Фишера для пуассоновского распределения (). 4. Вычислить информацию Фишера для распределения Коши (0, ).


4. Методом наибольшего правдоподобия вычислить оптимальную оценку параметра для гамма-распределения (, ). Является ли эта оценка несмещенной? 4. Методом наибольшего правдоподобия вычислить оптимальную оценку параметра для распределения Бернулли B i(n, ). Является ли эта оценка несмещенной? 4. Методом наибольшего правдоподобия вычислить оптимальную оценку параметра для распределения Парето P (x0 , ). Является ли эта оценка несмещенной? 4. Методом наибольшего правдоподобия вычислить оптимальную оценку параметра для пуассоновского распределения (). Является ли эта оценка несмещенной? 4. Методом наибольшего правдоподобия вычислить оптимальную оценку параметра для распределения Коши (0, ). Является ли эта оценка несмещенной?
2 4. Показать, что для функции правдоподобия L(x|) выполнено равенство -E L(x|) = 2 E L(x|) .

4. Показать, что для функции правдоподобия L(x|) выполнено равенство E T (x) = E T (x) L(x|).