Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://qfthep.sinp.msu.ru/talks2015/Bir_QFTHEP_2015.pdf Дата изменения: Thu Jul 9 21:00:07 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:16:17 2016 Кодировка: Windows-1251

The equations of quantum theory in the space of random joint events
Alexander Biryukov
Samara State University General and Theoretical Physics Department

The XXII International Workshop High Energy Physics and Quantum Field Theory June 24 July 1, 2015 Samara, Russia


The equations of quantum theory in the space of random joint events

(rf , t) =

i (rf , r1 ) exp[ E t] exp[iSf 1 ].

(1)

где r1 - радиус-вектор, определяющий положение центра отверстия дифракционной решетки, (rf ; r1 ) - амплитуда волновой функции, явный вид которой определяется геометрией экрана наблюдения частиц; E - энергия частицы; - постоянная Планка;

S

f1

=

1

prf

1

(3)

- безразмерное действие частицы вдоль вектора rf 1 = rf - r1 , p - вектор импульса частицы совпадающий по направлению с вектором rf 1 , с абсолютной величиной | p |= 2mE .


The equations of quantum theory in the space of random joint events

N

(rf , t) =
i=1

i (rf , ri ) exp[ E ] exp[iSf i ],

(4)

где ri - определяет положение центра i-го отверстия дифракционной решетки; (rf ; ri ) - амплитуда i-той волновой функции;

Sf i =

1

prf

i

(5)

-безразмерные действия частицы вдоль вектора rf i = rf - r1 .


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Плотность вероятности (rf ) обнаружить частицу в точке экрана rf , определяется квадратом абсолютной величины амплитуды волновой функции (4), то есть
N N

(rf ) =
i=1

(rf , ri ) + 2
j
(rf , ri ) (rf , rj ) cos[S

fi

- Sf j ].

(6)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Зная плотность вероятности (rf ), можно определить вероятность обнаружить частицу на малой площадке экрана f центр которой имеет координату rf : P (f ) = (rf )f . Уравнение для данной вероятности:
N N

P (f ) =
i=1

P (f ; ri ) + 2
j
g (f , ri , rj )P (f ; ri , rj ),

(7)

где P (f ; ri ) = (rf , ri )f - вероятность попадания частицы на площадку экрана f когда она прошла через i-тое отверстие;

P (f ; ri , rj ) =

P (f ; ri ) P (f ; rj ) | cos[S

fi

- Sf j ] |

(8)

-вероятность попадания частицы на площадку экрана f когда она одновременно прошла через i-тое и j -тое отверстия (вероятность совместных событий, одновременного прохождения частицы через i - тое и через j - тое отверстия); -1 g (f , ri , rj ) = cos[Sf i - Sf j ]| cos[Sf i - Sf j ] | (7) - функция, принимающая значение +1 или -1 в зависимости от значений действий Sf i , Sf j .


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Обозначим события: Ai , i = 1, 2, ..., N события прохождения частицы через i-тое отверстие решетки; Bf события появления частицы на площадке экрана f ; Sf i = Bf Ai событие прохождения частицы через i-тое отверстие решетки и появления на площадке f экрана наблюдения. Уравнение (7) в терминах введенных событий имеет вид
N N

P (Bf ) =
i=1

P (Sf i ) + 2
j
gf ij P (Sf i Sf j ),

(10)

где P (Bf ), P (Sf i ) - вероятности реализации соответственно событий Bf , Sf i ; gf ij = g (Sf i , Sf j ) функция принимает значения +1 или -1 в зависимости от соотношений между событиями Sf i и Sf j ; P (Sf i Sf j ) вероятность пересечения совместных событий Sf i и Sf j (1 P (Sf i Sf j ) > 0 для совместных событий и P (Sf i Sf j ) = 0 для несовместных событий).


The equations of quantum theory in the space of random joint events

N

|n n| = 1,
n=1

n |n = n n ,

(P 3) (P 4)

^ Vintf = exE0 cos( ) ^

гамильтониан взаимодействия системы и электромагнитного поля [?]; x ^ оператор координаты частицы с зарядом e; k частота поля моды k . Нашей задачей является определение вероятностей переходов P (m, t; n, 0) между квантовыми состояниями |n и |m исследуемой системы и их зависимости от интервала времени t взаимодействия с электромагнитным полем.


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Уравнение эволюции статистического оператора имеет вид:

^ (t) = UD (t)(0)UD (t), ^ ^ ^+

(P 5)

где (t), (0) статистические операторы системы соответственно в моменты ^ ^ времени t и t = 0,

^ UD (t, t0 ) = T exp[- i^ ^ VD ( ) = exp[ H

i
t

t

^ VD ( )d ],
0

(P 6)

sy st

i^ ^ ]Vinf ( ) exp[- H

sy st

].

(P 7)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Запишем уравнение (P5) эволюции статистической матрицы плотности в энергетическом представлении


где

nf m

f

(t) =
n0 ,m
0

^ nf |UD (t)|n0

n0 ,m0

^+ m0 |UD (t)|mf ,

(P 8)



nf m

f

(t) = nf |(t)|mf , ^



n0 ,m0

= n0 |(0)|m0 . ^


The equations of quantum theory in the space of random joint events

^ Ядро оператора эволюции nf |UD (t, 0)|n0 представим в виде произведения ^ элементарных ядер, используя групповые свойства оператора UD и полноту векторов-состояний |nk : ^ nf |UD (t, 0)|n0 =
K +1 N K +1

= nf |
k=1

^ UD (tk , t
K +1

k -1

)|n0 =
n1 ,..,nK =1 k=1

^ nk |UD (tk , t

k-1

)|n

k -1

(P 9)

где tK

+1

= t, n

= nf , t0 = 0 и ^ UD (tk , t ) = exp[- i
t tk

k -1

^ VD ( )d ]
k -1

(P 10)

где tk > t

k -1

.


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Докажем, что для малых интервалов времени ((tk - t ^ эволюции nk |UD (tk , tk-1 )|nk-1 имеет вид
1

k -1

) 0) ядро оператора

^ nk |UD (tk , t
где S [nk , tk ; n

k -1

)|n

k-1

=
0

exp[-iS [nk , tk ; n

k -1

,t

k-1

;

k-1

]]d

k-1

,

(P 11)

k -1

,t

k -1

;

k -1

] действие в энергетическом представлении ;
k -1

S [nk , tk ; n

k -1

,t

k -1

] = 2 ( nk - n
k-1

k -1

)k

-1

+

R nk n

k -1

Ч

Ч(cos(2 (nk - n + cos(2 (nk - n
k -1

k -1

)

+ ( + n
k

k

,n

k-1

)

tk + t 2

k -1

)+ (P 12)

tk + tk - 1 ))(tk - tk-1 ). 2 l l частота квантового перехода системы между стационарными состояниями с энергиями El и El : )
k-1

- ( - n

,n

k-1

)

l l =

El - El

,

Rk n

nk

-1

=

Xn

k

nk

-1

E0

(P 23)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Подставляя (P11) в уравнение (P9), получим ядро оператора эволюции за интервал времени t в виде уравнения

^ nf |UD (t, 0)|n
N 1 1

0

=

=
n1 ,..,nK =1 0

..
0

exp[-iS [nf , nK , K ; ..; nk , k ; ..; n1 , 1 , n0 , 0 ]]d0 ..dK ,

(P 35) где действие S является функционалом на пространстве траекторий, определяемых в дискретном пространстве переменных nk , размеры которого определяются числом квантовых уровней исследуемой системы, и на непрерывном ограниченном на [0, 1] пространстве k :
K +1

S [nf , nK , K ; ..; nk , k ; ..; n1 , 1 , n0 , 0 ] =
k=1

S [ nk , n

k-1

,

k-1

]

(P 36)

с условиями: t

K +1

= t, nK

+1

= nf , t 0 = 0 .


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Подставляя уравнение (P35) в уравнение (P8), получим уравнение эволюции матрицы плотности в виде
N N 1 1



mf ,n

f

(t) =
n0 ,..,nK =1 m0 ,..,mK =1 0

..
0

d0 ..dK d0 ..dK

n0 ,m0

(0)Ч

Ч exp[-i(S [nf , nK , K ; ..; nk , k ; ..; n1 , 1 , n0 , 0 ]- -S [nf , mK , K ; ..; mk , k ; ..; m1 , 1 , m0 , 0 ])],
где Ff -введенный нормировочный множитель.

(P 37)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Вероятность квантового перехода из чистого квантового состояния (0) = |nin nin |(n0 ,m0 (0) = (nin - n0 ) (nin - m0 ) в начальный момент ^ времени t = 0 в конечное чистое квантовое состояние (t) = |nf nf | в ^ конечный момент времени t определяется на основании уравнения (P37):
N N 1 1

P (nf , t|nin , 0) =
n1 ,..,nK =1 m1 ,..,mK =1 0

..
0

d0 ..dK d0 ..dK Ч

ЧPf exp[-i(S [nf , .., nk , .., nin ; K , .., k , .., 0 ]- -S [mf , .., mk , .., min ; K , .., k , .., 0 ])]. (P 38)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Рассмотрим многоуровневую квантовую систему, которая взаимодействует с переменным электромагнитным полем (подробно описанную в приложении к данной статье). Вероятность перехода системы из квантового состояния |nin в момент времени tin в квантовое состояние |nf , в котором она находилась в момент времени tf , определяется формулой (P39). Ради наглядности, рассмотрим формулу (P39) для столь малого интервала времени (tf - tin ), что в ней можно оставить лишь один промежуточный момент времени t1 , так что она принимает вид
N N 1 1

P (nf , tf |nin , tin ) =
n1 =1 m1 =1 0

...
0

d0 d1 d0 d1 Pf exp[S [nf ; n1 , 1 ; nin , 0 ]-S [n

f

(P 39) где действие в энергетическом представлении имеет вид (P36) c учетом (P12) и условия n0 = nin , m0 = min . где действие в энергетическом представлении, согласно (P36), имеет вид
2

S [nf ; n1 , 1 ; nin , 0 ] =
k=1

S [ nk , n

k -1

,

k -1

],

(53)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

S [nk , tk ; n +Rk n
n
k -1

k-1

,t

k-1

; k-1 ] = 2 (nk - n
-1

k-1

[cos(2 (nk - nk-1 )k
k-1

+ ( +
-1

nk ,nk

)k-1 + tk + t ) -1 2

k-1

)+

tk + tk-1 ))](tk - tk-1 ), (54) 2 при условии, n0 = nin , n2 = nf , t0 = tin , t2 = tf ; точно такую же структуру имеет действие S [nf ; m1 , 1 ; nin , 0 ] с условиями, что индекс n заменяется на индекс m, причем m0 = nin , m2 = nf ; Pf нормировочная постоянная. + cos(2 (nk - n )k
-1

- ( -

nk ,nk

)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Покажем, что вероятность квантового перехода системы (P38) может быть представлена как сумма по траекториям от действительного функционала:
N N 1 1 1 1

P (nf , tf |nin , tin ) =
n1 =m1 =1

Pf (n1 = m1 ) +
n1 >m1 =1 0 0 0 0

Ч (52)

ЧPf cos[S [nf ; n1 , 1 ; nin , 0 ] - S [nf ; m1 , 1 ; nin , 0 ]]d0 d1 d0 d1 ,


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Для сопоставления уравнения (52) с уравнением (49) запишем его в виде
N N

P (nf , tf |nin , tin ) =
n1 =m1 =1 1 1 1 1

Pf (n1 = m1 ) +
n1 >m1 =1

gm,n Ч

Ч
0 0 0 0

Pf cos[S [nf ; n1 , 1 ; nin , 0 ] - S [nf ; m1 , 1 ; nin , 0 ]]d0 d1 d0 d1 , (55)
1 1

где
1 1

gm,n =
0 1 1 0 1 0 1 0

cos[S [nf ; n1 , 1 ; nin , 0 ]S [nf ; m1 , 1 ; nin , 0 ]]d0 d1 d0 d1 Ч

Ч
0 0 0 0

cos[S [nf ; n1 , 1 ; nin , 0 ]S [nf ; m1 , 1 ; nin , 0 ]]d0 d1 d0 d1

-1

,

(56)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

N

N

P (f , i) =
n=1

P (Sn ) + 2
n>m=1

g (Sn , Sm )P (Sn Sm )

где
1 1 1 1

P (Sn1 S

m

1

)=
0 0 0 0

Pf cos[S [nf ; n1 , 1 ; nin , 0 ]-S [nf ; m1 , 1 ; nin , 0 ]]d0 d1 d (57) P (S1 S2 ) = P (S1 ) + P (S2 ) - P (S1 S2 ), Sf 2 ) > 0, S1 S2 = 0

при условии n = n1 , m = m1 .

P (S1 S2 ) = P (S1 ) + P (S2 ), 1 P (S
f1


The equations of quantum theory in the space of random joint events

В пространстве событий Sf 1 , S уравнениями
- Sf 1 = Sf 1 \(S f1

f2

- определим события Sf 1 , S - Sf 2 = Sf 2 \(S

- f2

следующими

Sf 2 ), Sf 2 ),

f1

Sf 2 ),

(12) (13)

или
- S1

S

f1

=S

- f1

(S

f1

- Sf 2 = Sf 2 (Sf 1 Sf 2 ).

События , S значат реализацию соответственно только первого, только второго событий. - - В соответствии с определениями (12), (13), события Sf 1 , Sf 2 являются - - несовместными,то есть Sf 1 Sf 2 = 0, а их вероятности и вероятности объединения определяются уравнениями [16 ]:
- P (S1 ) = P (S1 ) - P (S1 S2 ), - P (S2 ) = P (S2 ) - P (S1 S2 ), f1

- 2

(14) (15)

P (S

- f1

- Sf 2 ) = P (Sf 1 ) + P (Sf 2 ) - 2P (S

Sf 2 ).

В соответствии с уравнениями (15), (16) вероятность P (Bf ) появления события Bf определяется уравнением

P (Bf ) = P (Sf 1 ) + P (Sf 2 ) - 2P (Sf Sf 2 ).

(17)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Для определения вероятности P (Bf ), мы будем полагать, что событие Bf , появления частицы на экране, определяется уравнением

Bf = S

- f1

- Sf 2 .

(16)

+ + Вероятности этих событий P (Sf 1 ), P (Sf 2 ), определяются через вероятности событий Sf 1 , Sf 2 уравнениями + P (Sf 1 ) = P (Sf 1 ) + P (S f1

Sf 2 )

+ P (Sf 2 ) = P (Sf 2 ) + P (S

f1

Sf 2 ) ,

(18) (19)

а их объединение уравнением

P (S

+ f1

+ Sf 2 ) = P (Sf 1 ) + P (Sf 2 ) + 2P S

f1

S

f2

.

+ + Обоснование существования событий Sf 1 , Sf 2 и уравнений (18), (19) в рамках аксиоматики Колмогорова встречается с большими трудностями и противоречиями. Например, можно предложить, что для двух совместных + + случайных событий Sf 1 , Sf 2 , события Sf 1 , Sf 2 определяются равенствами:

S
или

+ f1

=S

f1

(S

f1

Sf 2 ) Sf 2 )

S S

+ f2

=S

f2

(S

f1

Sf 2 ) ,

(20) (21)

S

f1

+ = Sf 1 \(S

f1

f2

+ = Sf 2 \(S

f1

Sf 2 ).


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Однако, равенства (20), (21) несовместимы с Колмогоровской трактовкой событий. Интерпретация событий в уравнениях (20),(21) множествами, как это предусмотрено аксиоматикой Колмогорова, недопустимо,так как это приводит к противоречию (например, в уравнении (20) получится + + + + Sf 1 = Sf 1 , Sf 2 = Sf 2 ). События Sf 1 , Sf 2 и уравнения (18), (19) дополнительными положениями к аксиоматике Колмогорова. + + Появления события Bf в пространстве событий Sf 1 , Sf 2 определяем уравнением + + Bf = Sf 1 Sf 2 . (22) В соответствии с уравнениями (19), (22) вероятность P (Bf ) появления события Bf определяется уравнением

P (Bf ) = P (Sf 1 ) + P (Sf 2 ) + 2P (S

f1

Sf 2 ),

(23)

которое соответствует уравнению (10) при g = +1. Уравнения (16),(22) эквивалентны уравнению ~ ~ Bf = (Sf 1 Sf 2 ). Из уравнений (24), (25) следует уравнение

(25) (26)

P (Bf ) = P (Sf 1 ) + P (Sf 2 ) + 2gf

, 1, 2

P Sf 1 S

f2

,

которое совпадает с уравнением (10) для случая N = 2.


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Уравнения (17), (23) можно записать в виде одного уравнения. С этой целью ~ обозначим символом Sf i события, каждое из которых может быть или - + событием Sf i , или событием Sf i (i=1,2), в зависимости от номера f . Учитывая введенные обозначения, уравнения (15),(19) записываются в виде уравнения

~ ~ P (Sf 1 Sf 2 ) = P (Sf 1 ) + P (Sf 2 ) + 2gf

, 1, 2

PS

f1

S

f2

,

(24)

где g (f , 1, 2) функция, принимающая одно из значений +1, -1, в зависимости ~~ от свойств событий Sf 1 , Sf 2 .

P (Sf i Sf j ) = 0, P (Sf i S P (Sf i Sf j ) = 0, P (Sf i S

fj

Sf k ) = 0, . . . P (S Sf k ) = 0, . . . P (S
- P (Sf i ) = P (Sf i )-

f1

S S

f2

... S ... S

fN

) = 0, (27) ) = 0, (28)

а для других несовместные между собой:
fj f1 f2 fN

все индексы i, j, k , ... в выражениях (27), (28) принимают значения от 0 до N .
N N

-2
i=1

P Sf i S

fj

+4
j
P Sf i Sf j Sf

k

+ . . . + (-2)

N -1

P (S1 S2 ... SN ), (29)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

N

N

P
i=1 N N

S

- fi

=
i=1

P (Sf i )-
N -1

-2
i
P Sf i S

fj

+4
i
P Sf i Sf j Sf

k

+. . .+(-2)

P (S1 S2 ...SN ) (30)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

+ Вероятность каждого события Sf i определяется через вероятности событий Sf i и вероятности их пересечений (28) уравнением N + P (Sf i ) = P (Sf i ) + 2 j =1 N N -1

PS

fi

S

fj

-

-4
i
P Sf i S

fj

S

fk

+ . . . + (2)

(-1)N P (S

f1

Sf 2 ... S

fN

), (31)

а вероятность объединения этих событий представляется уравнением
N N N

P
i=1 N

S

+ fi

=
i=1

P (Sf i ) + 2
i
PS

fi

S

fi

-

-4
i
P Sf i Sf i S

fk

+...+2

N -1

(-1)N P (S

f1

Sf 2 ... S

fN

). (32)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Каждую пару уравнений (29), (31) и (30), (32), можно записать в виде одного - + уравнения. С этой целью для 2N Nf случайных совместных событий Sf i , Sf i ~ введем N Nf случайных событий Sf i , каждое из которых принимает значение - + ~ или Sf i или Sf i . Вероятность события Sf i представляется формулой, которая объединяет уравнения (29), (30):
N

~ P (Sf i ) = P (Sf i ) + 2
j =1 N

g (f ij )P (Sf i Sf j )+

+4
j
g (f ij k )P (Sf i Sf j Sf k ) + . . . + 2

N -1

g (f 12...N )P (S

f1

S

f2

... S

fN

),

(33) ~ вероятность объединения N событий Sf i для каждого f представляется формулой, которая является объединением (совместной записью) уравнений (30), (32):
N N N

P
i=1 N

~ Sf

i

=
i=1

P (Sf i ) + 2
i
gf ij P (S

fi

Sf j )+


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Для построения уравнения для P (Bf ) - вероятности события Bf , мы будим полагать в нашей модели, что событие Bf является объединением событий ~ Sf i , то есть
N

Bf =
i=1

~ Sf i .

(35)

Уравнение (35) является обобщением уравнения (22). Уравнение для P (Bf ) получаем на основании уравнения (35), учитывая (34),
N N

P (Bf ) =
i=1 N

P (Sf i ) + 2
i
gf ij P (Sf i Sf j )+

+4
i
gf

ij k

P (Sf i Sf j Sf k )+. . .+2

N -1

gf

12...N

P (Sf 1 Sf 2 ...S

fN

), (36)


The equations of quantum theory in the space of random joint events

Уравнение (36) в приближении, когда существуют лишь попарно совместные события Sf i , то есть для каждой пары событий

(S

fi

Sf j ) = 0, P (S

fi

Sf j ) = 0 ,

(37)

и в тоже время для всех событий выполняются условия:

(S

fi fi

Sf j Sf k ) = 0, . . . (S

f1

Sf 2 ... S
f2

fN

) = 0,

(38) (39)

P (S

Sf j Sf k ) = 0, . . . P (Sf 1 S

... Sf N ) = 0,

тождественно экспериментально подтвержденному уравнению (10).
N N N

P
i=1

~ Sf

i

=
i=1

P (Sf i ) + 2
i
gf ij P (Sf i Sf j )


Thanks for your attention!