Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://pont2008.cmc.msu.ru/files/ru/abstracts/Kurzhanski.pdf Дата изменения: Tue May 13 23:40:31 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:59:30 2012 Кодировка: Windows-1251

О СИНТЕЗЕ ИМПУЛЬСНЫХ УПРАВЛЕНИЙ И ТЕОРИИ БЫСТРЫХ УПРАВЛЕНИЙ ON SYNTHESIZING IMPULSE CONTROLS AND THE THEORY OF FAST CONTROLS
Куржанский А.Б. (Kurzhanski A.B.)

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Факультет вычислительной математики и кибернетики Москва, 119991, РОССИЯ
e-mail: kurzhans@cs.msu.su, kurzhans@mail.ru Доклад посвящ?н задаче построения синтезирующих (позиционных) управлений в системах, допускающих импульсные воздействия конечного порядка (обобщ?нные дельта-функции и их производные). Подобные задачи, имеющие серь?зную прикладную мотивацию, рассматривались, в основном, с точки зрения программных управлений. В настоящем докладе указана возможность применения идей динамического программирования к задачам позиционного импульсного управления. Описание разрешающих стратегий синтеза управлений здесь рассматривается для систем с исходной линейной структурой, пут?м сочетания методов классической теории распределений с методами теории квазивариационных неравенств, свойственных гамильтонову формализму. При этом синтезированная система уже оказывается нелинейной. Идеальные же решения при этом таковы, что вполне управляемая система, с воздействиями, содержащими не только -функции, но и высшие производные (j ) этих функций, может быть переведена из одного фазового состояния в другое за нулевое время. Физически реализуемые аппроксимации подобных идеальных решений называют быстрыми управлениями. Они позволяют достигать указанной выше цели управления за сколь угодно малое, конечное нано-время. Так, для системы в распределениях

x = A(t)x + B (t)u,

(supp x(ћ) = [, ],

< t < ),

(1)

с гладкими коэффициентами и с импульсными управлениями вида
r k

u = u(t, x) = u0 (t) =
s=1 j =0

qsj

(j )

(t - s ), s = s (t, x),

(2)


минимизирующими выпуклый функционал вида (x(ћ)) при ограничении на норму матрицы {qsj }, рассматриваются физически реализуемые аппроксимации, порождаемые решением следующей задачи. Введя обозначения

L0 (t) = B (t),
рассмотрим систему

Lj (t) = A(t)L

j -1

(t) -

dLj -1 , dt

j = 1, k ,

dx = A(t)x + dt

k

Lj (s)u(j ) (t), t s ,
0

(3)

с начальной позицией { , x , k }, при совместных ограничениях: интегральныx
k

u(j ) (t) dt k , k > 0; k (t) 0, t ( , ]
0

и геометрическиx

u(s)(j

)

чj , чj 0, ч = {ч0 , . . . , чk }, j = 0, . . . , k .

Требуется, при заданном ч, найти синтезированное управление

u0 (t, x, k | ч),
минимизирующее функционал (, x()) + k (), где (, x) непрерывная, ограниченная снизу функция, выпуклая по x. Решение данной задачи вытекает из следующего уравнения типа Гамильтона-Якоби-Беллмана для функции цены

V (t, x, k | ч) = min{(x()) | x(t) = x, k (t) = k , u(j ) (t) чj }
u k k

Vt + min
u

Vx , A(t)x +
0

Lj (t)u

(j )

+
0

u(j

)

u ч

= 0,

с краевым условием

V (, x, k | ч) = (, x), k () = 0.
Реализация u0 [t | ч] управления u0 (t, x(t), k | ч) является релейj j ной функцией, принимающей одно из тр?х значения {+чj , 0} всюду, за исключений точек переключения, где u0 [t] [-чj , +чj ]. При надлежащих условиях на последовательности чj , имеет место слабая сходимость вида Lj (t)u0 [t | ч] B (t)qsj (j ) (t - s ). Таким обраj зом, обыкновенные релейные (быстрые) управления для системы (3) 2


отображаются, при чj , в импульсные (мгновенные) управления вида (2) для системы (1). Заметим, что идеальные импульсные управления могут также рассматриваться как виртуальные управления, реализующие мгновенные переключения фазовых координат и коэффициентов уравнений в математических моделях гибридных систем.

Список литературы
[1] Красовский Н.Н., Об одной задаче оптимального регулирования, Прикладная математика и механика, 21, No. 5, 670677 (1957). [2] Bensoussan A. and Lions J-L. Controle impulsionnel et inequations quasi-variationel les, Paris, Dunod, (1982). [3] Куржанский А. Б., Осипов Ю. С., К управлению линейной системой обобщ?нными воздействиями, Дифференциальные уравнения, 5, No. 8, 1360-1370 (1969). [4] Куржанский А. Б., Оптимальные системы с импульсными управлениями, Дифференциальные игры и задачи управления, УНЦ АН СССР, 131-156 (1975). [5] Daryin A. N., Kurzhanski,A. B. and Seleznev A. V., A dynamic programming approach to the impulse control synthesis problem, Proc. Joint 44th IEEE CDC-ECC 2005, Sevil le, 8215-8220 (2005).

3