Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://pont2008.cmc.msu.ru/files/ru/abstracts/Gauthier.pdf Дата изменения: Fri Feb 29 15:15:14 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:58:00 2012 Кодировка: Windows-1251

Принцип бездействия в биомеханике An Inactivation Principle in Biomechanics
Готье Ж. П. Universite de Toulon, France e-mail: gauthier@u-bourgogne.fr Бере Б. Universite de Bourgogne, France e-mail: bastien.berret@u-bourgogne.fr Вопрос о том, какой принцип управления применяет подсознание человека при движении, весьма нетривиален. Результаты эксперимента, когда человек, указывая неподвижной вытянутой рукой в одном направлении, быстро поворачивал руку, и останавливал ее в другом направлении, оказались удивительными: спустя примерно половину всего времени движения T наблюдались промежутки, когда основные группы мышц, участвующие в движении (одна вызывающая ускорение, и другая тормозящая) одновременно выключались. Другая (менее существенная) особенность состояла в несимметричности профиля скоростей. Например, когда руку поднимают вверх, максимальная скорость достигается в промежутке от 0.44T до 0.49T . В докладе будет рассказано об общей теории, объясняющей эти эффекты, и основанной на теории Трансверсальности и Принципе Максимума Понтрягина (включая негладкую версию принципа максимума, принадлежащую Кларку). Рассмотрим механическую систему с Лагранжианом

L(x, x) =

1T x M (x)x - V (x) 2

и обобщенными координатами x Rn . Обобщенные силы в уравнениях Лагранжа d L L - = u + N (x, x) dt x x представляют собой сумму вектора u Rn управления и некоторой другой силы N (x, x) (учитывающей, например, трение). Итак, мы рассматриваем динамику управляемой системы

x = (x, x, u), Е
в которой

(x, x, u) = M

-1

(x)(N (x, x) -

V (x) - C (x, x)x + u),


и матрица Кориолиса C (x, x) Mn (R) задана формулой

1 Cij (x, x) = 2

n k=1

Mij Mik Mk + - xk xj xi

j

xk .

Обычная (алгебраическая) работа внешней управляющей силы (или момента) u на перемещении x(t), t [0, T ] это величина
T

W=
0

ux dt.

Практической работой внешней силы (то есть энергией, затраченной мышцей на эту внешнюю силу) будем называть величину
T

W=
0

|ux| dt,

и абсолютной работой Aw будем называть сумму выражений такого вида для всех мышц. Отметим, что в описанном эксперименте управления задаются как ui = vi - wi при неотрицательных управляющих силах ui , wi каждой из антагонистических групп мышц, поэтому положим T T
n

Aw =
i=1


0

|vi x| dt +
0

|wi x| dt .

Наша теория содержит два основных результата: 1. Используя соображения трансверсальности, мы показываем, что для существования интервалов бездействия целевой функционал (если конечно он существует) не может быть гладким при u = 0. Другими словами, наличие бездействия означает, что целевой функционал содержит члены, подобные абсолютной работе. 2. Используя Принцип Максимума для функционала, являющегося комбинацией абсолютной работы и некоторого другого члена (комфортности), мы доказываем, что промежутки бездействия, и даже одновременного бездействия всех групп мышц обязаны появляться при оптимальном движении. Отметим, что наш подход объясняет и ряд других классических явлений в биомеханике. 2