Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://polly.phys.msu.ru/~gamov/OMM1.pdf Дата изменения: Wed Nov 4 16:23:44 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:20:50 2016 Кодировка: Windows-1251

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет

Решение задачи переноса на прямой используя схему бегущего счета и итерационные методы.

Выполнил студент 417 группы Гамов А. Л.

Москва, 2015


Решение задачи переноса на прямой используя схему бегущего счета и итерационные методы.

Необходимо решить следующую задачу:

u - 2ue- t

u2

u =0 , x u
t=0

-1 < x < 0 , = - sin x , 2

0 < t < T,

(1) (2) (3)

u
x=0

= 0.

Первым шагом ее численного решения является введение равномерное сетки

G = {x; 0 < x < 1 xn = nhx , t = mdt, m = 0, 1, 2...M ;

n = 0, 1, 2...N }; um n
Воспользуемся схемой бегущего

Будем рассматривать сеточные функции шаблона.

счета, чтобы решить численно задачу. Считать будем с помощью прямоугольного

Figure 1: Шаблон Данная неявная схема имеет точность

O( 2 +|h|2 )

и безусловно устойчива.

Перепишем уравнение (1) в другом виде.
2 -u2 u e-u x . = -2ue x

(4)

u e-u + = 0. t x
Запишем разностную апроксимацию для центральной точки шаблона

2

(5)

(xi +

0.5hx , tj + 0.5dt). um+1 - um + um+1 - um e n n n+1 n+1 + 2dt
-(um )2 n+1

-e

-(um )2 n

+e 2hx

-(um+1 )2 -e n+1

-(um )2 n+1

= 0;
(6)

1


Поскольку схема неявная, необходимо решить нелинейное уравнение

f (um+1 ) = n+1

0,

чтобы найти

um+1 n+1

. Используем для этого метод Ньютона.
m+1 n+1

f (um+1 ) = n+1

u

m+1 n

- um + u n 2dt

- um n+1

+

e

-(um )2 n+1

-e

-(um )2 n

+ e- 2hx

(um+1 ) n+1

2

-e

-(um )2 n+1

= 0;

f(

um+1 n+1

um+1 e-(u 1 )= - n+1 2dt hx (um+1 )0 = u n+1
m n+1

m+1 2 n+1 )

;

(7)

Возьмем в качестве начального приближения

um+1 n+1
В нашем случае

,k+1

= um+1,k - n+1

f (um+1,k ) n+1 f (um+1,k ) n+1 u(x)

(8)

u > 0, hx < 0

поэтому

f > 0.

Поэтому можно использовать для разных t. А так же

метод Ньютона. Ниже представлены графики графики при различных dt.

2


1 ,0 0 ,8 0 ,6

u (x )
0 ,4 0 ,2 0 ,0 -1 ,0

-0 ,8

-0 ,6

x

-0 ,4

-0 ,2

0 ,0

Figure 2: T=0, dt=0.01

1 ,0 0 ,8 0 ,6

u (x )
0 ,4 0 ,2 0 ,0 -1 ,0

-0 ,8

-0 ,6

x

-0 ,4

-0 ,2

0 ,0

Figure 3: T=0.2, dt=0.01

3


1 ,0 0 ,8 0 ,6

u (x )
0 ,4 0 ,2 0 ,0 -1 ,0

-0 ,8

-0 ,6

x

-0 ,4

-0 ,2

0 ,0

Figure 4: T=0.5, dt=0.01

1 ,1 1 ,0 0 ,9 0 ,8 0 ,7 0 ,6 0 ,5 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0 ,0 -1 ,0 -0 ,8 -0 ,6 -0 ,4 -0 ,2 0 ,0

u (x )

x

Figure 5: T=1, dt=0.01

4


1 ,0 0 ,8 0 ,6

u (x )
0 ,4 0 ,2 0 ,0 -1 ,0

-0 ,8

-0 ,6

x

-0 ,4

-0 ,2

0 ,0

Figure 6: T=2, dt=0.01

1 ,0 0 ,8 0 ,6

u (x )
0 ,4 0 ,2 0 ,0 -1 ,0

-0 ,8

-0 ,6

x

-0 ,4

-0 ,2

0 ,0

Figure 7: T=10, dt=0.01

5


1 ,0 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 ,0

u (x )

-1 ,0

-0 ,8

-0 ,6

x

-0 ,4

-0 ,2

0 ,0

Figure 8: T=0.5, dt=0.1

1 ,0 0 ,8 0 ,6

u (x )
0 ,4 0 ,2 0 ,0 -1 ,0

-0 ,8

-0 ,6

x

-0 ,4

-0 ,2

0 ,0

Figure 9: T=0.5, dt=0.01

1 ,0 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 ,0

u (x )

-1 ,0

-0 ,8

-0 ,6

x
6

-0 ,4

-0 ,2

0 ,0

Figure 10: T=0.5, dt=0.001