В результате гравиразведки рассчитываются аномалии
силы тяжести, обусловленные теми или иными плотностными неоднородностями,
а влияние притяжения всей Земли и окружающего рельефа исключается
вычитанием нормального поля и введением редукций (см. 1.2.3). Поэтому
в математической теории гравиразведки расcчитываются аномалии от
тел простых форм: шара, горизонтального цилиндра, вертикального уступа,
вертикального цилиндра и т.д. без учета притяжения всей Землей.
Нахождение аномалий силы тяжести и вторых производных
потенциала от тел известной формы, глубины залегания, размера и
плотности носит название прямой задачи гравиразведки. Определение
местоположения, формы, глубины залегания, размеров и плотности тел
по известным аномалиям или вторых производных потенциала
силы тяжести называется обратной задачей гравиразведки.
Аномалия силы тяжести, вызванная притяжением
тел известной формы, размера и плотности, может быть вычислена на
основании закона всемирного притяжения (закон Ньютона).
Пусть в координатной системе
xyz ось z направлена вниз к центру Земли. Ставится
задача определить в точке наблюдения А(x,y,z) аномальную силу тяжести ( ), т.е. вертикальную
составляющую силы притяжения Землей единицы массы ( ) элементарной массой dm, находящейся в точке
M (x',y',z') (рис. 1.2).
![](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/fig1-2.gif) | Рис.1.2 К определению аномалий силы тяжести от элементарной массы |
По закону Ньютона притяжение единичной массы равно:
где - гравитационная постоянная, - расстояние
между точками (см. 1.4).
Аномалия является проекцией
вектора f на ось z:
![$\Delta g=f\cos\alpha =G \frac{dm}{{r}^{2}}\cdot\frac{({z'} -z)}{r},$](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/tex/formula933.gif) | (1.6) |
где из треугольника ABM . Это же выражение можно получить с помощью
потенциала W=Gdm/r. В самом деле:
![$\Delta g=- \frac{\partial W}{\partial z} = \frac{Gdm({z'} -z)}{{r}^{3} }$](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/tex/formula935.gif) | (1.7) |
Обозначив плотность притягивающей массы через
, а ее объем через dV, можно записать
![$\Delta g=G \frac{dv}{{r}^{3}} ({z'} -z)$](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/tex/formula936.gif) | (1.8) |
Такова будет аномалия силы
тяжести, обусловленная массой, расположенной в пустоте. В природных
условиях аномальные включения расположены во вмещающей среде с некоторой
плотностью , поэтому под массой dm надо понимать
избыточную массу .
Отсюда
![$\Delta g=G(\sigma -{\sigma}_{o} ) \frac{dv}{{r}^{3} } ({z'} -z),$](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/tex/formula939.gif) | (1.9) |
где
- избыточная плотность.
При имеет положительный знак, т.е. наблюдается увеличение притяжения
и положительные аномалии . При имеет отрицательный знак, т.е.
наблюдается уменьшение притяжения и отрицательные аномалии .
В принципе аномалия, созданная любым телом, может
быть определена интегралом по объему тела:
![$\Delta {g}_{v} =G(\sigma -{\sigma }_{o} ){\int }_{V} \frac{({z'} -z)dV}{{r}^{3} }$](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/tex/formula943.gif) | (1.10) |
т.е. суммой притяжений всех элементарных объемов, из которых состоит
тело.
Рассмотрим несколько прямых и обратных задач для
тел простой геометрической формы.
1. Прямая задача. Пусть однородный шар радиуса
и плотности расположен на глубине
в среде с плотностью (для простоты центр находится
на оси z, а наблюдения проводятся по оси x
в точке P) (рис. 1.3).
![](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/fig1-3.gif) | Рис.1.3 Гравитационное поле шара |
Формула для вычисления может быть получена
из (1.6) - (1.9) путем замены элемента массой шара в силу
того, что притяжение однородным шаром происходит так, как если бы
вся масса была сосредоточена в центре шара.
Учтя, что x'=y'=0,z'=h,y=z=0, получим для шара
![$\Delta g=GM \frac{h}{{r}^{3} } =G(\sigma -{\sigma }_{o} )V \frac{h}{{r}^{3} } =G(\sigma -{\sigma }_{o} )Vh/({x}^{2} +{h}^{2})^{3/2} $](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/tex/formula945.gif) | (1.11) |
График будет иметь максимум над
шаром (x=0) и асимптотически стремиться к нулю при удалении
от шара. В плане изолинии будут иметь вид концентрических
окружностей.
Вторая производная (градиент аномалии по профилю
наблюдений) равна:
Вид кривой Wxz может быть легко
получен путем графического построения из кривой .
График Wxz имеет перед шаром максимум, за шаром
- минимум, над центром шара - ноль.
2. Обратная задача. Из (1.11) максимум
над центром шара (x=0) равен .
Для точки, удаленной от максимума на расстояние
x1/2, имеющей , можно записать следующее
уравнение:
Решив последнее уравнение, получим формулу для
определения глубины залегания центра шара h=1,3x1/2. Зная , легко найти избыточную массу ( ):
.
Так как то, зная избыточную плотность , можно рассчитать объем ( ) и радиус
шара ( ). Так, радиус равен:
где - в миллигалах,
- в метрах, - в тоннах / куб. метр (г/см3).
1.Прямая задача. Рассмотрим бесконечно длинный круговой горизонтальный
цилиндр радиуса , расположенный вдоль оси y (рис.
1.4). Ось наблюдений ( x) направим вкрест простирания цилиндра.
![](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/fig1-4.gif) | Рис.1.4 Гравитационное поле бесконечно длинного кругового горизонтального цилиндра |
Притяжение однородным цилиндром
происходит так же, как если бы вся его масса была сосредоточена вдоль
вещественной линии, расположенной вдоль оси цилиндра, с массой единицы
длины, равной . Используя (1.10), можно получить формулы для и :
![$ \Delta g = Gh\lambda {\int\limits }_{-\infty }^{+\infty } \frac{dy}{({x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} {)}^{3/2} } = \frac{2Gh\pi {R}^{2} (\sigma - {\sigma }_{o} )}{{x}^{2} + {h}^{2} } ,$](http://images.geo.web.ru/pubd/2001/11/05/0001161636/tex/formula959.gif) | (1.12) |
Графики и
над цилиндром и шаром внешне похожи (см. рис. 1.3 и 1.4). В плане
изолинии над цилиндром будут вытянутыми параллельными
линиями.
2. Обратная задача.
Из (1.10 и 1.12) можно при х=0 получить . Отсюда
и , ,
т.е. глубина залегания цилиндра равна расстоянию от точки максимума
до точки, где .
Определив и зная
избыточную плотность, можно рассчитать
и радиус цилиндра:
Зная , можно получить глубины залегания
верхней hв=h-R и нижней
hн=h+R кромок цилиндра. Нетрудно
вычислить выражение и для .
Назад| Вперед
|