Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://phys.msu.su/upload/iblock/bbc/2013-00-00-yushkov.pdf Дата изменения: Mon Jun 3 15:50:38 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 02:26:39 2014 Кодировка: Windows-1251

На правах рукописи

ЮШКОВ Егор Владиславович

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.03 - ?Математическая физика?

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2013


Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Корпусов Максим Олегович

доктор физико-математических наук, доцент Официальные оппоненты:
Гольдман Михаил Львович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов
Шафаревич Андрей Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и математических методов физики Московского физико-технического института Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук Защита состоится 21 февраля 2013 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический ф-т, ЮФА.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан

?

?

2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук профессор 2 П. А. Поляков


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена математическому исследованию вопроса о неограниченном росте за конечное время решений начально-краевых задач гидродинамического типа для уравнений, содержащих нелинейные слагаемые (u,

)u или (uux ).

Феномен неограниченного роста решений за конечное время, называемый разрушением (blow-up), характеризует временное ограничение корректности используемых моделей и описывает широкий круг явлений как в гидродинамике, так и в других областях физики ударные волны, уединенные волны аномальной амплитуды, пробои в полупроводниках, неустойчивость в плазме, слом конструкций. В работе исследуется появление разрушения в нелинейных моделях идеальной жидкости, вязкой ньютоновской жидкости, вязкоупругой неньютоновской жидкости Кельвина-Фойгта. Для рассматриваемых задач методом конечномерной аппроксимации Галеркина решаются вопросы локальной разрешимости, гладкости и единственности. С помощью модификации энергетического метода Х. Левина вычисляются достаточные условия разрушения решений, строятся двухсторонние оценки на время и скорость разрушения, демонстрируется переход к глобальной разрешимости при изменении начальных данных. Для одномерных приближений задач гидродинамки, приводящих к нелинейным уравнениям Кортвега-де Фриза, КдФ-Бюргерса, Бенжамена-Бона-Махони, РозенауБюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Линя-Рейснера-Цзяня доказывается наличие разрушения при определенных граничных и начальных условиях. С помощью метода нелинейной емкости, развитого в работах С.И. Похожаева и Х. Митидиери, исследуется влияние граничных условий на возникновение разрушения, время разрушения и его скорость.
Современное состояние проблемы и актуальность ее исследования

Изучение движения жидкостей является источником большого числа математических задач. Однако, при попытках изучения даже самых простых теоретических моделей возникают проблемы, многие из которых не удается решить до сих пор. К примеру, пока остаются открытыми вопросы глобальной по времени разрешимости начальнокраевых задач для классических систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса при гладких начальных данных. Значительного прорыва в изучении разрешимости удалось достичь во второй половине XX века с применением обобщенной постановки начально-краевых задач и использованием равенства соответствующих функционалов. Многие вопросы теории обобщен3


ных решений для задач гидродинамики, а также первые функциональные методы их исследования были предложены и изучены в работах выдающихся математиков: Ж. Лере, О.А. Ладыженской, Ю. Шаудера, С.Л. Соболева и Р. Темама. Обычно переход от классической постановки к обобщенной обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность, обобщенного решения доказывать значительно проще с помощью идей функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Например, О.А. Ладыженской удалось получить наиболее полные и математически строгие результаты по разрешимости начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса в некоторых областях фиксированной формы в классе функций с конечным интегралом Дирихле, что стимулировало в последующие годы исследование течений в областях со свободными границами, развитие теории устойчивости и бифуркации вязких жидкостей, исследование задач статистической гидромеханики и гидромеханики неньютоновских жидкостей. Но несмотря на всестороннее изучение эволюционных задач гидродинамики в этом направлении, доказать общую глобальную во времени разрешимости так и не удалось. После перехода к обобщенной постановке задач появились первые методы функционального анализа, позволяющие исследовать необычное явление, в определенном смысле противоположное глобальной во времени разрешимости явление разрушения решения. Под разрушением решения понимается его неограниченный рост в некоторой норме на конечном промежутке времени, то есть отсутствие глобальной разрешимости при наличии локальной. В настоящее время теория разрушения, зародившаяся как вопрос об ударной волне, привлекает все большее внимание. В наше стране к классикам теории разрушения можно отнести А.А. Самарского, О.А. Ладыженскую, А.Г. Свешникова, С.А. Габова, С.И. Похожаева, М.О. Корпусова, А.П. Осколкова, А.И. Кожанова, В.К. Калантаров и С.П. Курдюмов. За рубежом широко известны H.A. Levine, E. Mitidieri, S.A. Messaudi, V.A. Galaktionov, D. Chae, E. Tadmor, R.B. Pelz, J. Deng, J. Evans P. Souplet, H. Fujita, G. Todorova, Zhang Jian, L. Pain, D.H. Sattinger, J.J. Rasmusen, A. Constantin. К сожалению, не существует справочников, классифицирующих основные результаты этих исследований, но некотрые обзоры можно найти в монографиях А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, В.А. Галактионова и С.И. Похожаева. Из-за сложность аналитического изучения нелинейных уравнений и их многообразия к сегодняшнему дню не разработано единого подхода к исследованию проблематики разрушения. Однако, можно выделить три наиболее развиваемых метода: энергетический метод Х.А. Левина, метод нелинейной емкости С.И. Похожаева и Э.Л. Митидиери 4


и метод автомодельных режимов, основанный на различных признаках сравнения и развитый в работах А.А. Самарского, В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова и А.П. Михайлова. Помимо этих методов существует большое количество сильно различающихся подходов к частным задачам, которые трудно обобщить или классифицировать. Актуальность исследования явления разрушения обусловлена возможностью теоретического получения оценки времени разрушения решения модели, которая по существу дает оценку на время корректности ее использования. Однако, если модель является детально проработанной, то само явление неограниченного роста может иметь прямые физические аналоги, например, в виде перехода от ламинарного к турбулентному течению или возникновения волн аномально большой амплитуды. Слабая изученность этого явления для задач гидродинамики, вероятно, связана с отсутствием единого метода анализа. Представленная работа в некотором смысле является продолжением серии работ А.Г. Свешникова, С.И. Похожаева и М.О Корпусова, в которых удалось получить достаточные и близкие к достаточным условия разрушения, оценки на времена разрушений, асимптотики сингулярных решений в задачах для идеальных и вязких стратифицированных, вращающихся жидкостей, скалярного приближения мелкой воды уравнения Кортвега-де Фриза. В работе также предлагаются общие методы исследования разрушения: модифицированный энергетический метод М.О. Корпусова и А.Г. Свешникова для начальных задач и метод нелинейной емкости С.И. Похожаева для краевых, что повышает ее практическую ценность.
Целью диссертационной работы

является

1. Изучение локальной и глобальной разрешимости широкого класса начальных и начально-краевых нелинейных задач гидродинамики для системы дифференциальных уравнений Осколкова, интегро-дифференциальных систем Кельвина-Фойгта и предложенных в 1967 году О.А. Ладыженской систем с нелинейной вязкостью, а также задач для скалярных нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза. 2. Исследование влияния нелинейных сингулярных и регулярных источников на появление феномена разрушения решения данных задач в неограниченных и ограниченных областях, при различных начальных и граничных условиях. 3. Получение необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений, двусторонних оценок времени разрушения, оценок на скрость разрушения. 4. Исследование возможности глобальной разрешимости при наличии степенных и сингулярных источников. Изучение гладкости получаемых сингулярных и регулярных ре5


шений.
Научное значение, новизна и практическая значимость работы.

1. В работе изучались задачи, описывающие процессы в вязко-упругой жидкости Кельвина-Фойгта, в ограниченной и неограниченной области. Впервые показано наличие явления разрушения для задач такого типа и влияние на него внешних и интегральных слагаемых. 2. Показано наличие разрушения решений задач для систем Навье-Стокса и Эйлера при специальных граничных условиях, что является существенным вкладом в изучение вопроса о глобальной неразрешимости этих задач. 3. Рассмотрен класс начально-краевых задач для нелинейных уравнений типа Кортвегаде Фриза на ограниченных и неограниченных областях, включающий в себя широко используемые в настоящее время уравнения Бенжамена-Бона-Махони-Бюргерса, РозенауБюргерса, КдФ-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, ХохловаЗаболоцкой, Островского, Линя-Рейснера-Цзяня. Для этого класса впервые найдены достаточные условия разрушения решений задач с естественными граничными условиями. 4. Получены оценки времени разрушения решений рассматриваемых задач, то есть времени корректного описания данными моделями соответствующих физических явлений. 5. Полученные результаты и предложенные методики, позволяют получать временные оценки корректности решений прикладных задач нелинейной физики, использующих данные модели.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Впервые исследовано явление разрушения в задачах для систем уравнений типа Осколкова с источниками, описывающих процессы в неньютоновских жидкостях. Изучены достаточные условия разрушения, получены оценки на время и скорость разрушения решения задач с сингулярными и регулярными источниками. 2. Доказана теорема о разрушении для задачи Навье-Стокса со специальными граничными условиями. На примере задачи Эйлера показано различие между эффектами разрушения в ограниченных и неограниченных областях. 3. Для ряда уравнений типа Кортвега-де Фриза доказаны теоремы разрушения решений и получены оценки времени разрушений. 4. Для уравнений Бенжамина-Бона Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвегаде Фриза-Бюргерса доказана локальная разрешимость начально-краевых задач с естественными граничными условиями. Получена зависимость времени обострения от на6


чальных условий.
Апробация результатов диссертации.

Основные результаты опубликованы в 9 работах в реферируемых журналах. Список этих работ приведен в конце автореферата. Отдельные результаты также докладывались на 1. научном семинаре профессора И. А. Шишмарева по нелинейным дифференциальным уравнениям (фак.-т ВМиК МГУ); 2. научном семинаре профессора А. Н. Боголюбова по математическим методам в естественных науках (физ. фак.-т МГУ); 3. научном семинаре по ассимптотическим методам математической физики под руководством академика В. П. Маслова и профессора С. Ю. Доброхотова (ИПМ РАН); 4. научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова; 5. международных научных конференциях молодых ученых ?Ломоносов-2011, -2012?.
Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, математического дополнения и списка литературы, включающего 101 наименование, и изложена на 183 страницах.

7


ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

содержит обзор используемых методов иследования феномена разруше-

ния: метода нелинейной емкости С.И. Похожаева, развитого в совместных работах с Э. Митидиери, и энергетического метода Х. Левина, модифицированного М.О. Корпусовым и А.Г. Свешниковым и впервые предложенного для задач гидродинамики в 2009 году при изучении разрушения в системе Осколкова с кубическим источником. Подробно представлены основные шаги доказательства разрушений: для метода нелинейной емкости на примере доказательства разрушения решения уравнения Кортвега-де Фриза, проделанного в 2011 году С.И. Похожаевым, и для энергетического метода на примере априорных энергетических оценок, предложенных О.А. Ладыженской для исследования локальной и глобальной разрешимости задач гидродинамического типа. Приведены классы уравнений гидродинамического типа, для которых удается исследовать вопросы разрешимости, единственности и разрушения. Кратко описаны основные результаты диссертации.
Первая глава

посвящена постановке и формулировке исследуемых начально-

краевых задач гидродинамического типа. Выделено два основных класса: задачи для систем уравнений, в которые неизвестная функция вектор, при этом одно уравнение содержит слагаемое (u, ное слагаемое uux . Первая часть первой главы посвящена задачам, моделирующим процессы в несжимаемых сплошных средах. В общем случае такие модели описывются системой уравнений:

)u, а второе является уравнением неразрывности div

u

= 0, и

класс задач для скалярных уравнений типа Кортвега-де Фриза, содержащих нелиней-

u + (u, )u - Div = - p, t
где вектор
u

div u = 0,

(1)

характеризует скорость жидких частиц сплошной среды, p(x, t) функция
x

давления в точке

в момент времени t, а тензор касательных напряжений:
3

Div ij =
j =1

ij . xj

Здесь и далее во всей работе уравнения записываются в безразмерном виде. Введение девиатора ставит своей целью учет реакций, возникающих в жидкости в процессе ее движения, то есть определяет тип жидкости [А.П. Осколков]. Например,

8


система Эйлера получается из общей системы (1) при равенстве тензора нулю:

u + (u, )u = - p, t

div u = 0;

(2)

а система Навье-Стокса при линейной связи тензора напряжений с тензором скоростей деформаций:

= 2 E =

ui uj + xj xi

, div u = 0. (3)

u + (u, )u - u = - p, t

Задачи для классических систем Эйлера и Навье-Стокса (1-2) на протяжении полутора столетий являлись основными моделями вязкой несжимаемой жидкости. Между тем, уже в середине XIX в. были известны вязкие несжимаемые жидкости, не подчиняющиеся этим уравнениям. Первые модели таких жидкостей, которые учитывают предысторию течения, были предложены Дж. Максвеллом, В. Кельвином, В. Фойгтом и Дж. Олдройтом. Одним из примеров такой жидкости может служить вязкоупругая жидкость Фойгта, описывающая раствор полимеров, в котором напряжения после прекращения движения не обращаются мгновенно в нуль, а спадают по некоторому экпоненциальному закону и описываются реологическим соотношением:

= 2 E + 2
В этом случае система (1) принимает вид

E . t

(u - t

u) + (u, )u = - u -

p,

div

u

= 0.

(4)

Кроме полимерных растворов к жидкостям такого типа относятся эмульсии и суспензии одной жидкости в другой, сильно разбавленные суспенции твердых частиц. В общем случае вязкоупругих жидкостей реологическое соотношение задает не дифференциальную, а интегро-дифференциальную связь между и E . Поэтому наряду с задачей (2) в диссертационной работе рассматривается интегро-дифференциальная система Кельвина-Фойгта:
t

(u - t

u

)-

u

+ ( u, ) u -
0

e

t-s

u

ds = - p,

div u = 0.

(5)

Главной особенностью начально-краевых задач для уравнений (4-5) является их глобальная разрешимость при достаточно гладких начальных данных и нулевых условиях Дирихле на границе, что делает их корректными для глобального во времени описания 9


несжимаемых жидкостей, наравне с предложенными О.А. Ладыженской системами с нелинейной вязкостью:

(u - t

3
u

)-

u

-

1 i,j =1

ui xj

2

d

x

u

+ (u, )u = - p,

div u = 0.

(6)

В диссертационной работе для корректно разрешимых задач (4-6) исследуется появление разрушения при наличии внешних нелинейных источников f (u). Так как во многих случаях нелинейная функция f (u) может быть разложена по степеням, то традиционно задачи ставятся для степенных источников. Кроме того, при неклассических граничных условиях удается исследовать вопрос о разрушении, порождаемом нелинейностью

(u, )u при отсутствии внешнего влияния.
Вторая часть первой главы посвещена постановке задач для одномерных приближений систем гидродинамики, приводящих к уравнениям типа Корвега-де Фриза:

ut + uux + u

xxx

= 0.

(7)

В гидродинамике эти уравнения соответствуют двумерным и трехмерным приближениям мелкой воды, приближениям в которых малым параметром является отношение глубины слоя жидкости к характерной длине волн. В этой части основное внимание уделено выводу моделей для уравнений Кортвега-де Фриза-Бюргерса, КадомцеваПетвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Линя-Рейснера-Цзяня, Островского, Бенжамена-Бона-Махони-Бюргерса, Розенау-Бюргерса, Кортвега-де ФризаБенжамена-Бона-Махони.
Во второй главе

рассматриваются начально-краевые задачи в ограниченных обла-

стях с условиями Дирихле на гладких границах. Задачи ставятся для систем, моделирующих несжимаемые неньютоновские жидкости, с внешними источниками степенного вида |u|q
u

и сингулярного степенного |u|q u/|x| .

Первой ставится задача Осколкова со степенным источником произвольного порядка, являющаяся логическим продолжением работы М.О. Корпусова и А.Г. Свешникова по разрушению решения системы Осколкова с кубическим источником.

(|u|q1 u - t div
u

u

)- |

u

+ (u, )u + |u|q2 u =
u0

p,

(8) (9)

= 0,

u t=0

=

(x),

u Ч[0,T]

|

= 0.

Помимо действия источника рассматривается нелинейное взаимодействие в жидкости в процессе движение, что характеризуется нелинейностью под производной по времени. Основной результат касается влияния одной нелинейности на другую и на сам эффект 10


разрушения. Вопрос о локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле решается с помощью метода аппроксимаций Галеркина и вывода априорных оценок, вопрос единственности решается через лемму Гронуолла-Белмана. Конечный результат о единственности и локальной разрешимости может быть сформулирован в виде следующей теоремы:
Теорема.

Для любой начальной функции

u

0



H()

при условии q

q1 [0, 4) существует единственное слабое обобщенное решение класса { : L (0, T ;

H

());

u

(x)(t) L2 (0, T ;

H

uu

2

[0, 4), (x)(t)

())}, T (0, T0 ). Причем момент времени T0 > 0

максимален в том смысле, что либо T0 = +, либо T0 < + и тогда имеет место предельное равенство
tT0

lim sup ((u, u)) = +.

С помощью априорных энергетических оценок можно доказать справедливость обыкновенного дифференциального неравенства вида:
2

-

+ 2 + 4/(

q1 +2)+1

0

(10)

для некоторой энергетической функции, записываемой через нормы в соответствующих пространствах:

1 q1 + 1 (t) ((u, u))H + ||u||q1q+2 . L 1 +2 2 q1 + 2
При определенных предположениях на (t) в начальный момент времени, из обыкновенного дифференциального неравенства может быть получены оценки снизу, а из них результат о разрушении, собственно, в этом и заключается общая идея энергетического метода. Наоборот с помощью оценок сверху решается вопрос о глобальной во времени разрешимости. Общая теорема о разрушении и разрешимости имеет вид:
Теорема о разрушении.

Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы. То-

гда при условии q1 q2 > 0 задача разрешима в классе u(x, t) C ([0, T ], справедливы оценки сверху:

H

()), причем

(t) exp(B t) при q1 = q2 , (t) (0 + (1 - )B t)1/(1
- )

при q1 > q2 ,

Если 0 < q1 < q2 и выполнены следующие условия

q1 > 2,
11


|| 0 >

u

q2 +2 0 ||q2 +2

((

u ,u
0

0

)), 0
q1 +6 q1 +2 1 2

1 21 2 + 0 1 - 1 21 - q1 q1

+6 +2

> 0,

тогда решение задачи разрушается за конечное время T0 > 0, то есть имеет место предельное равенство
tT0

lim sup(( , )) = +,

uu

причем имеют место двухсторонние оценки на время разрушения решения T0

[T1 , T2 ]. Здесь введены обозначения
- T1 = B0 1 , B0 = q2 2q2 /2 C q2 +2 2

02 , T2 = A-1 1

q /2

1- 0

1

,
q1 +6

A2 = (1 - 1)2 1 q2 + 2 1 = q1 + 2

-2 0

1

((0 )2 - , 1 =

1 21 2 - 0 q1 1 - 1 21 - q1 q
2

+6 +2

q 0 1 +2 ),

2q2 + 3 1- q2 + 2 ). C2 , C () в
3 q1 +2

3 , 1 = C 2

4 3

q1 + 2 q1 + 1

4 q1 +2

(q2 + 2),

H

здесь
1 0

() в

L

(0,
q2 +2

q2 -q1 2q2 +3

(),

L

L

наилучшие константы вложения соответсвенно

4

(). Если же выполнены условия: q2 > ||
2 2q1 - 4q1 - 4 , q1 - 4

u

q2 +2 0 ||q2 +2

((

u ,u
0

0

)),
12-4q1 4-q1 1 2

0 >

2 2 2 + 0 2 - 1 2 - 64-2qq11 -

0

> 0,

тогда решение задачи разрушается за конечное время T0 > 0, и двухсторонние оценки на время разрушения решения имеют вид T0 [T1 , T2 ],
- T2 = A-1 1-2 , T1 = B0 1 , 0 2

A = (2 - 1) 2 =
где (0,

2 2

2

-2 0

2

12 2 2 4 2 ((0 ) - 0 - 6-2q1 0 2 - 1 2 - 4-q1

2

-4q1 -q1

),

q2 + 2 2q2 + 3 q2 1 3K q2 + 2 - , 2 = , 2 = , q1 + 1 q1 + 2 q1 + 2 2 q1 + 2 ), K =

2 2q1 -4q1 -q1 q2 +4q2 -4 (2q2 +3)(4-q1 )

янная вложения

H

1 0

() в

L

q1 +2 q1 +1

2 4-q1

8

2-q1 4-q1

C

6(2-q1 ) 4-q1

4

, здесь C4 наилучшая посто-

6

().

Вторая задача ставится для интегро-дифференциального уравнения КельвинаФойгта, то есть для модели, описывающей вязкоупругую жидкость с реологическим соотношением общего интегро-дифференциального вида и с кубическим источником:
t

(u - t

u

)-

u

+ (u, )u - |u|
12

2

u

-
0

e-

(t-s)

u

ds =

p,

(11)


div

u

= 0,

u t=0

|

=

u0

(x),

u Ч[0,T]

|

= 0,

(12)

область R3 является ограниченной с локально липшицевой границей на промежутке времени [0, T ], T > 0. Локальная разрешимость данной задачи может быть доказана, как и выше, методом Галеркина. Однако чтобы не доказывать отдельно единственность и разрешимости, вопрос о существовании слабого обобщенного решения локально во времени решается с помощью теории степени Лере-Шаудера. Этот пример позволяет сравнить предложенный метод Галеркина с другим, не менее мощным методом функционального анализа, но дающим более слабый результат для решения в слабом смысле.
Определение.

решение (x, t) W для любого () и почти всех t (0, T ) следующей задачи t ( - )- + ( , ) - | |2 - e-(t-s) ds dx = 0, |t=0 = 0 (x); t

u

Под слабым обобщенным решением задачи (11)-(12) мы понимаем

H

u

u

u u u uu

u

u

u



0

Также можно доказать разрушение при достаточно больших начальных данных.
Теорема о локальной разрешимости и разрушении.

Пусть

u

0



H()

и

выполнены начальные условия

(0) >

(0) + -1

-1

1/2

(0).

Тогда существует единственное слабое обобщенное решение (x) задачи (11)-(12), принадлежащее классу {

u:u

(x)(t) C (0, T ;

H

());

u

u

(x)(t) L2 (0, T ;

H())}

, T

(0, T0 ). Имеет место разрушение решения за время T0 , причем для этого времени
справедлива следующая оценка T0 (T1 , T2 ). Для T1 и T2 имеют место следующие выражения:
4 (1 + 2C7 )(||

u

0

||2 () + || H

u

0

||2 () + (1 + T1 )2 T1 )T1 = 1, X
- 1

T2 = ( - = 2(1 - ), = 15 , 4 1)(0)- =2+ 1145 , 32

1- (0) (0) - (0)
2

-

- 1

1/2

,

(0)2

(0, 1/2),

(0) = ||
4

u

0

||2 H

()

+ ||

u

0

||2 () , X

где C7 постоянная наилучшего вложения

H

() в

L

().

Данная задача показывает не только разрушающий характер источников в интегродифференциальных задачах гидродинамики, но и демонстрирует возможность применения к задачам о вязкоупругих жидкостях в ограниченных объемах, обширной теории разрушений, созданной для дифференциальных уравнений соболевского типа. 13


В третьей задаче о движении жидкости Кельвина-Фойгта в ограниченной области исследовано влияние сингулярных источников на примере задачи

(u - t

u

)- | =

u

+ ( u, ) u - ( ), div
u

|u|q |x| = 0.

u

= - p,

(13) (14)

u t=0

u0 x

Совместным применением метода Галеркина и энергетических оценок для сингулярных источников доказывается локальная разрешимость, единственность и разрушение за конечное время:
Теорема о разрешимости.

Для любого

u

0



H

() при условии q [0, 4),

[0, (4 - q )/2) существует слабое обобщенное решение задачи (13)-(14) класса u L (0, T;

H

()),

u L2 (0, T;

H

()),

T (0, T0 ),

причем момент времени T0 > 0 максимален в том смысле, что либо T0 = +, либо

T0 < + и тогда имеет место предельное равенство lim sup (( , )) = +.
tT0

uu

Результат о разрушении слабого обобщенного решения формулируется в виде:
Теорема.

При выполнении условий теоремы о разрешимости и при условии на

начальную функцию

(0 )2 >

2 2 + 3- 0 -1 2 - 3 0

2

слабое обобщенное решение задачи (5)-(6) существует и разрушается за конечое время

T0 > 0, другими словами имеет место предельное равенство
tT0

lim sup(( , )) = +,

uu

и двухсторонние оценки на время разрушения T0 [T1 , T2 ].
- T1 = B0 1 = (q 2q/2 C q +2 2

0 q /2)-1 ,

1 T2 = A-1 0- , -2

A2 = ( - 1)2 = q+2 2

-2 0

(0 )2 -

2 2 - 3 0 -1 2 - 3 0

,

1-

+3 2

, =

здесь C3 постоянная вложения

H

1 0

() в

L

4 q+2 6C3 (q + 2) , = , 2 2

4

(),

(0,

q -1 2 q +2 +3

).

В последней, четвертой задаче исследуется разрушение решений систем с нелинейной вязкостью, предложенных О.А. Ладыженской в 70-х годах прошлого века:

(u -

ut

) + (u, )u - V is(u)
14

u

-

u

3

= - p,

div

u

= 0,

(15)


u

|

= 0,

u t=0

|

=

u0 x

( ),

(16)

где нелинейная вязкость V is(u) характеризуется функцией:
3

0 + 1
i,j =1

ui xj

2

d

x

или, что то же,

0 +

1

rot

2

u

dx .

Опираясь на глобальную разрешимость, в 1966 была подтверждена возможность использования этой системы заместо некорректной системы Навье-Стокса. Таким образом, во второй главе показано, что для задач гидродинамического типа в ограниченной области метод энергетических оценок оказывается не только применим для исследования явления разрушения, но и удобен для получения достаточно точных оценок времени неограниченного роста.
В третьей главе

исследуется влияние граничных условий на разрушения реше-

ний начально-краевых задач гидродинамического типа. Основной метод исследования метод нелинейной емкости, но в отличие от его оригинального применения для задачи Кортвега-де Фриза, вопрос о разрушении решается для классических систем НавьеСтокса и Эйлера, а также модельной системы с производными четвертого порядка. Основной недостаток метода отсутствие доказательства разрешимости, однако для решения этого вопроса в локальном смысле могут быть привлечены результаты О.А. Ладыженской о локальной разрешимости гидродинамических систем.

Первой рассматривается система Навье-Стокса в цилиндре высотой H радиуса R:

u + (u, )u - t

u

+

p = 0, div(u) = 0,

u t=0

|

=

u0 x

( ),

(17) (18)

uz (, , 0) = 0, u (R, , z ) = u (0, , z ) = 0,
2 H 2 R

uz (R, , z )ddz + R
0 0 0 0

uz (, , H ) - H

uz (, , 0) dd = h(t) C [0, +). z (19)

в которой удается с помощью метода С.И. Похожаевым показать наличие разрушения решения при специальных граничных условиях. Основной результат можно сформулировать в виде теоремы:
Теорема о разрушении.

Классическое решение задачи Навье-Стокса не суще-

ствует глобально во времени при выполнении следующих условий: 1. Пусть f (t) 0, тогда при условии J (0) > 0 имеет место оценка снизу

J (t)

J (0) , J (t) = 1 - J (0)k 2 t


uz ( , t)(H - z )d ,

x

x

15


имеет место оценка на время разрушения

T
2. Пусть f (t) a2 > 0, тогда

1 ; J (0)k 2

J (t)

a tan(ak t + c0 ), c0 = arctan k

k J (0) a

,

имеет место оценка на время разрушения

T

/2 - c0 ; ak

3. Пусть f (t) -a2 > 0, тогда при условии k J (0) > |a| имеет место оценка снизу

J (t)

k J (0) - a a 1 + c0 eakt , , c0 = akt k 1 - c0 e k J (0) + a

имеет место оценка на время разрушения

T
Здесь f (t) = g (t) + h(t), где

1 ln 2ak

k J (0) + a k J (0) - a

.

R 2

g (t) -
0 0

H p(, , 0)dd.

Вторая задача ставится для модельной системы

( t

2

u

-

u

+ u) + (u, )u +

p = 0, div

u

= 0,

u t=0

|

=

u0 x

( ),

(20)

сходной с системой для спиновых волн в параллелепипеде = [0, L1 ] Ч [0, L2 ] Ч [0, L2 ]. Таким образом, в третьей главе показана возможность использования метода нелинейной емкости для анализа начально-краевых задач гидродинамики. Поскольку данный метод чуствителен к граничным условиям, сформулировать общие теоремы представляется затруднительным и каждый случай приходится анализировать отдельно. В
четвертой

главе диссертационной работы основным рабочим методом для иссле-

дования разрушения также является метод нелинейной емкости, но начально-краевые задачи ставятся для скалярных уравнений типа Кортвега-де Фриза. Заметим, что многие из этих уравнений встречаются в областях нелинейной физики, никак не связанных с гидродинамикой, в которой исследуемые модели описывают, в основном, различные приближения модели мелкой воды.

16


В первой части рассматриваются начально-краевые задачи, соответствующие обобщенной системе Кортвега-де Фриза:

t uk + x
системе КдФ-КдФ:

1 uk 2

N 2 akj uj + x uk = 0, j =1

k = 1, ..., N ,

(21)

1 t + ux + ( u)x + uxxx = 0, 6 1 ut + x + uux + xxx = 0 6
и ее симметричному аналогу:

(22) (23)

1 1 t + ux + ( u)x + u 2 6

xxx

= 0,

(24) (25)

3 1 1 ut + x + uux + x + xxx = 0. 2 2 6
при естественных граничных условиях.

Методом нелинейной емкости доказывается разрушение решений за конечное время Разрушение в задачах (21-25) является вполне ожидаемым, так как для соответствующих квазилинейных гиперболических систем результат о глобальной неразрешимости был получен в середине прошлого века. В диссертационной работе проведен анализ основных отличий: во-первых, методом нелинейной емкости доказано разрушение не задачи Коши, а начально краевой задачи, во-вторых, метод является универсальным и удобным с практической точки зрения. Наконец, он позволяет вычислять оценки времени и скорости разрушения. Например, для системы (21) результат формулируется следующим образом:
Теорема о разрушении.

Предположим, что существуют такие константы

и , что для начальных и граничных данных задачи (21) выполнено неравенство

2 J (0) L2 , 3 1 - ux |x L a

N

и для u =
k=1

uk выполнены неравенства

=L

1 - ux |x L
N

=0

1 - 2
N

N

akj uk uj |x
k,j =1

=0

- uxx |x

=0

- 2 ,

kk

-
j

b2 a 2

kj

-
j

aj k 2 для всех k = 1, ..., N . 2b2

Тогда не существует глобального во времени классического решения на отрезке [0,L], причем имеет место следующая оценка:

17


2 1 + C0 e2 t J (t) L2 , где = 3 1 - C0 e2 t



3 , 2L

3J (0) - 2 L2 C0 = , 3J (0) + 2 L2

L

J (t) =
0

(L-x)udx.

Во второй части рассмотрен широкий класс задач, для которых удается исследовать разрушение за конечное время. Этот класс включает в себя уравнения Кадомцева Петвиашвили:

(ut + uux + u

xxx

)x = +

y

u

y



2 2 +ћћћ+ 2 , 2 y1 y N -1

N

2,

(26)

сильно диссипативные уравнения КадомцеваПетвиашвили:

(ut + uux - u
уравнение ЗахароваКузнецова:

xxxx )x

=+

y

u,

(27)

ut + uux + u

xxx

+

y ux

= 0,

(28)

уравнение ХохловаЗаболоцкойКузнецова:

(ut - uux - uxx )x =
уравнение ХохловаЗаболоцкой

y

u,

(29)

(ux - uu ) =
и уравнение Линя-Рейснера-Цзяня:

y

u,

= t - x,

(30)

(ut + (K + u)ux )x =
Также проанализировано уравнение Островского:

y

u.

(31)

(ut + uux + u

xxx )x

= u.

(32)

Для этих уравнений результат о разрушении удается получить для трех типов начальнокраевых задач: в слое (x, y ) (0, L) Ч R
N -1

, в полупространстве x > 0, y

RN

-1

и во всем пространстве (x, y ) R Ч RN

-1

при t > 0 и при N

2. Во всех этих

случаях, используя метод нелинейной емкости, получены достаточные условия разрушения решений за конечное время.

Третья часть четвертой главы посвящена анализу уравнений типа Кортвега-де
Фриза с диссипацией: например, магнитозвуковые и альфвеновские волны описывает модифицированное уравнение КдФ:

ut - u2 ux + u

xxx

= uxx ,
18

x (0, L),

(33)


u|t=0 = u0 (x),

u|x

=0

= ux |x

=0

= u|x

=L

= 0,

> 0, > 0,

(34)

Методом нелинейной емкости удается получить следующий результат:
Теорема о разрушении.

Пусть начальная функция u0 (x) L1 ([0, L]) задачи удо-

влетворяет неравенству
L

u2 (x, t) exp -
0

2 x 3

dx >

8 2 9

при t = 0,

тогда не существует глобального во времени классического решения, причем имеет место следующее неравенство

J (t)

a 1 + c0 exp(2ak t) , lim J (t) = +, k 1 - c0 exp(2ak t) tT

T

-

1 ln 2ak

k J0 - a k J0 + a

,

c0 =

k J0 - a . k J0 + a

В этой же части работы решается вопрос существования решений в неограниченных областях: на полупрямой и прямой.

В четвертой части получено разрушение и оценки на время разрушения для уравнения БенджаменаБонаМахониБюргерса:

(uxx - u) + uxx + uux = 0, t
уравнение РозенауБюргерса:

(35)

(uxxxx - u) + uxx + uux = 0, t
и уравнение Кортевега де-ФризаБенджаменаБонаМахони:

(36)

(u t

xx

- u) + u

xxx

+ uux = 0,

(37)

и доказана локальная разрешимость при естественных граничных условиях, методом сжимающих отображений. Результаты о разрешимости и разрушении, например, для задачи Бенжамена-Бона-Махони-Бюргерса:

(uxx - u) + uxx + uux = 0, t u(0, t) = ux (0, t) = 0,

x (0, L),

t > 0, t 0,

(38) (39)

u(x, 0) = u0 (x),

x [0, L],

могут быть сформулированны в следующем виде:
Теорема о разрешимости

Для любого u0 C0 ([0, L]) найдется такое T0 > 0,

(2)

что либо T0 = +, либо T0 < + и существует единственное решение задачи ББМБ класса

u(x)(t) C(1) ([0, T0 ); C0 ([0, L])),
19

(2)


причем в случае T0 < + имеет место предельное равенство

lim sup sup |u(x)(t)| = +.
tT0 x[0,L]

Теорема о разрушении

Пусть для некоторого положительного числа

3

начальная функция удовлетворяет условию при t = 0 :
L

J (t) =
0

(L - x)-3 [( - 1) - (L - x)2 ]((L - x)u(x, t) - ( - 1)) dx >

m k

или, что тоже самое
L

(L - x)-2 [( - 1) - (L - x)2 ]u0 dx >
0 -1

> ( - 1)L

( - 1)2 1 L4 - 2 ( - 1)L2 + + -2 ( + 2) ( - 1)2 + L -2

1/2

-2

-

-1 L,

тогда не существует глобального во времени классического решения задачи ББМБ, причем имеет место оценка снизу

J (t)
и, значит,
tTb 2

m (k J (0) + m) + (k J (0) - m) exp(2mk t) , k (k J (0) + m) - (k J (0) - m) exp(2mk t) 1 ln 2mk k J (0) - m k J (0) + m

lim J (t) = +,
2

T

Tb

-

,
-1

( - 1)2 L m= , 2

L2- ( - 1)2 1 L4 k= - 2 ( - 1)L2 + 2 -2 ( + 2)

.

Для всех проанализированных задач в этой части работы получены оценки на время разрушения, оценки скорости разрушения, также рассмотрены вопросы о разрушении и в неограниченных областях. В
Заключении

диссертационной работы сформулированы основные результаты.

20


Библиография. Основные результаты, полученные автором и опубликованные в реферируемых журналах, представлены следующими работами:

1. Юшков Е. В., Альшин А.Б., Корпусов М.О. Бегущая волна как решение нелинейного уравнения в полупроводниках с сильной пространственной дисперсией. ЖВиМФ, 2008, т.48, 5, с. 764-768. 2. Юшков Е.В. Исследование разрушения решения одной системы уравнений гидродинамического типа. Матем. заметки, 2011,
90

:4, с. 613-629.

3. Юшков Е.В. Исследование существования и разрушения решения одного уравнения псевдопараболического типа. Дифференциальные уравнения, 2011, т.47, 2, с. 291295. 4. Юшков Е.В., Юшков В. П. Рассеяние акустический волн на турбулентных флуктуациях давления и энтропии. Вестн. Моск. Унив., Сер. 3, Физ. Астр., 6, 2011, с. 114-120. 5. Юшков Е.В. О разрушении решений уравнений гидродинамического типа при специальных граничных условиях. Дифференциальные уравнения, 2012, Т.48, 9, C. 12-34. 6. Юшков Е.В. О разрушении решения задач гидродинамического типа с сингулярным источником. ЖВМиМФ, Т.52, 8, с. 1-13, 2012. 7. Юшков Е.В. О разрушении решения уравнения родственного уравнению Кортвега-де Фриза. ТМФ, 2012, 2012,
172

:1, с.64-72.

8. Юшков Е.В. О разрушении решения в системах типа Кортвега-де Фриза. ТМФ,
173

:2, с.197-206. :1, c. 201-224.

9. Юшков Е.В. О разрушении решения нелокальной системы уравнений гидродинамического типа. Изв. РАН. Сер. матем., 2012,
76

21