Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://phys.msu.su/upload/iblock/b50/2009-00-00-rubtsov.pdf Дата изменения: Mon Mar 16 12:18:07 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:04:26 2012 Кодировка: Windows-1251

Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова кафедра квантовой электроники

На правах рукописи

Рубцов Алексей Николаевич

Методы реалистического описания систем с сильными корреляциями и нелокальностью
01.04.09 физика низких температур

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2009


Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор д.ф.-м.н., член-корреспондент РАН д.ф.-м.н., профессор
Ведущая организация:

Анисимов Владимир Ильич Арсеев Петр Иварович Ведяев Анатолий Владимирович

Институт физических проблем им. П.Л. Капицы
Защита состоится 16 апреля 2009 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.70 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, по адресу: Москва, Ленинские горы 1, стр. 35, конференц-зал центра коллективного пользования физического факультета МГУ С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ. Автореферат разослан 2009 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа тью, просьба высылать по адресу: Москва 119991 Легинские горы 1, физиче ский факультет МГУ, ученому секретаря диссертационного совета Д 501.001.70 Плотникову Г.С.. Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н., профессор

Плотников Г.С.


Общая характеристика работы
Актуальность работы Экспериментальный прогресс в области сканиру
ющей туннельной микроскопии (СТМ), исследовании фотоэмиссии (включая спектроскопию с угловым разрешением, ARPES) и других спектроскопиче ских методов позволяет получать существенную информацию об электрон ных и структурных свойствах нанообъектов. Физики научились манипули ровать нанообъектами вплоть до уровня отдельных атомов, что открывает принципиальную возможность конструирования наноструктур с наперед за данными свойствами. При этом, особенный интерес представляют исследо вания свойств систем с сильными электронными корреляциями при низких температурах, необычные свойства которых обусловлены физикой низкоэнер гетических многочастичных электронных возбуждений. Однако, этот прогресс в сильной степени сдерживается отставанием тео ретических и расчетных методов: серьезную проблему представляет количе ственно точное описание электронных свойств многих экспериментально реа лизованных наносистем, даже имеющих сравнительно простую структуру. В этом контексте можно упомянуть так называемые квантовые кораллы, кван товое изображение магнитного атома, кобальтовые кластеры на углеродных нанотрубках и другие объекты. В частности, СТМ-эксперименты с класте рами из атомов Cr и Co на поверхности Au(111)
1

демонстрируют сложную

связь между числом атомов, их взаимным расположением и наличием Кондо пика на уровне Ферми системы. Спектр одиночного атома Co содержит та кой пик, а спектр атома Cr нет. Димеры как атомов Cr, так и Co Кондо резонанса не показывают. Наличие пика в спектре тримеров Cr зависит от геометрии взаимного расположения атомов. Теоретический анализ и числен
1

T. Jamneala, V. Madhavan, and M.F. Crommie, Phys. Rev. Lett. 87 256804 (2001).

3


ные расчеты указанных систем должны принципиальным образом включать в рассмотрение эффекты межэлектронных корреляций. Это сразу означает недостаточность таких методов расчета, как, например, метод функционала плотности. Учет электронных корреляций необходим также при описании объемных свойств материалов с частично заполненными внутренними оболочками. Мож но упомянуть такие системы, как высокотемпературные сверхпроводники и магнетики с делокализованными электронами 3 . Некоторые многочастичные эффекты могут быть учтены в рамках про стых моделей, таких как модели Андерсона и Кондо, однако, в этом случае модели не содержат конкретной информации о соединениях и, соответствен но, расчеты не могут количественно описывать экспериментально наблюдае мые свойства реальных структур.
2

Цель диссертационной работы Основной задачей диссертации явля
ется построение методов реалистического описания систем с сильными элек тронными корреляциями. Под реалистическим понимается количественно точ ное описание в диапазоне параметров задачи, соответствующем эксперимен тальной ситуации (в противоположность модельному описанию, предполага ющему выбор вида и параметров модели, допускающий возможность точного решения или построения теории возмущений по тому или иному малому па раметру). В соответствии с установившейся терминологией, сильнокоррели ванными называют системы, в которых характерная величина кулоновского взаимодействия электронов сравнима с шириной зон. Основные требования к развиваемым аналитическим и численным методам состоят в следующем. Во-первых, существенно необходимым является включение в теорию много
2 3

D.J. Scalapino, Phys. Rep. 250 329 (1994) T. Moriya, Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism T. Berlin : Springer, 1985.

4


электронных эффектов в низкоэнергетической области спектра, соответству ющей случаю низких температур. Во-вторых, поскольку коррелированные оболочки являются многоорбитальными, теория должна быть пригодной для описания термовых эффектов для таких оболочек. В-третьих, поскольку во многих экспериментально важных системах существенны корреляции элек тронов, находящихся на различных узлах решетки, теория должна описывать такие нелокальные эффекты. Наконец, точность развиваемых методов долж на быть достаточной, чтобы рассматривать (хотя бы в перспективе) возмож ность прямого сравнения результатов первопринципных расчетов с экспери ментальными данными. Представленные в диссертации подходы решают эти задачи, открывая, таким образом, новое научное направление реалистиче ское описание нелокальных эффектов в системах с сильными корреляциями.

Научная новизна
В работе представлено два новых взаимодополняющих метода метод дуаль ных переменных и квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени. Эти методы в совокупности позволяют количественно точно определять свой ства решеточных моделей с кулоновским взаимодействием на узле. Хотя решеточные модели являются базовыми для описания систем с кор релированными электронами, задача анализа их свойств до сих пор представ ляет существенные трудности. Это связано, с одной стороны, с неприменимо стью асимптотических разложений, построенных вблизи пределов сильной и слабой связи и, с другой стороны, с невозможностью прямых численных рас четов на решетке из-за проблемы экспоненциальной сложности известных ал горитмов. Автору представляется, что в этой ситуации следует использовать приближения, позволяющие непрерывным образом интерполировать между предельными случаями, допускающими явный анализ. Такие интерполирующие теории действительно известны. Они представ

5


ляют собой комбинированные схемы, в рамках которых решеточная задача приближенно сводится к проблеме одного коррелированного узла, помещен ного в эффективное окружение с гауссовой статистикой (так называемая при месная задача). Предполагается, что задача определения свойств примесной задачи гораздо проще расчетов для решетки. Корректное поведение таких схем в предельных случаях гарантируется их построением. Поскольку наиболее интересные и важные эффекты в спектрах квазича стиц связаны со спиновыми и орбитальными флуктуациями, требуется ис пользование приближений, в которых собственная энергия зависит от часто ты. Включение в рассмотрение эффектов временной дисперсии приводит к динамическому приближению среднего поля (DMFT) 4 . Физически, основное приближение DMFT заключается в предположении о том, что корреляции в системе локализованы в пространстве (то есть, на узле решетки), но нело кальны во времени. Применительно к методу DMFT можно поставить два вопроса. Во-пер вых, необходимо указать, каким именно образом решать примесную зада чу. Во-вторых, необходимо определить, в какой мере оправданным является предположение о пространственной локализации корреляций и рассмотреть возможные обобщения. Решению этих вопросов и посвящена диссертация. Предложенный в диссертации квантовый метод Монте-Карло в непрерыв ном времени (CT-QMC) новый метод численного решения примесной задачи, основанный на случайных блужданиях в пространстве членов ряда тео рии возмущений по степеням взаимодействия. В отличие от использовавше гося ранее алгоритма Хирша-Фая, предложенный метод не содержит иску ственной дискретизации времени и вводимых посредством преобразования
4

A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, and M.J. Rozenberg, Rev. Mod. Phys. 68 13 (1996); V. I. Anisimov,

A. I. Poteryaev, M. A. Korotin, A. O. Anokhin, and G. Kotliar, J. Phys.: Condens. Matter. 9 7359 (1997).

6


Хаббарда Стратоновича классических полей. Это позволяет избавиться от систематической ошибки в полученном результате и рассматривать системы со взаимодействием, нелокальным в пространстве спиновых и орбитальных индексов. Последнее является принципиальным для корректного учета вра щательной симметрии коррелированных оболочек. Алгоритм был предложен в 2004 году; в последующие годы появились и другие родственные методы, в частности использующие случайные блуждания по степеням гибридизации 5 . В настоящее время алгоритмы семейства ct-qmc стали стандартным методом решения примесных задач. Далее, в настоящее время наиболее распространенным методом описания пространственной нелокальности является использование так называемых кластерных методов, подразумевающих решение примесной задачи для состо ящего из нескольких атомов решетки кластера. Кластерные методы страда ют рядом недостатков; в частности, потерянной оказывается дальнодейству ющая часть корреляций, отвечающая, например, за такие эффекты, как пе ренормировку электронного спектра в окрестности сингулярностей ван Хова или формирорование латтинжеровской жидкости в низкоразмерных систе мах. В диссертации предложен новый подход к проблеме пространственной нелокальности корреляций метод дуальных фермионов, свободный от ука занного недостатка. Этот метод представляет собой диаграммную технику специального вида, в которой результат метода DMFT является нулевым при ближением теории. Последующие диаграммные поправки позволяют строить регулярное разложение, включающее одновременно близко- и дальнодейству ющую часть корреляций Развитые методы позволили также получить ряд новых результатов, относящихся к анализу конкретных моделей. В частности, объяснено появле
5

P. Werner, A. Comanac, L. de' Medici, M. Troyer, and A. J. Millis, Phys. Rev. Lett. 97, 076405 (2006).

7


ние/исчезновение Кондо-пика в плотности состояний тримеров магнитных атомов на металлической подложке в зависимости от геометрии тримера. Рас смотрены свойства изоляторной фазы V2 O3 ; описан феномен анизотропного разрушения поверхности Ферми ВТСП-керамиках; исследована и объяснена фазовая диаграмма дискретной 4 модели.

Практическая значимость Развитые в диссертации методы имеют хо
рошую перспективу применения для задач квантовой химии и физики корре лированных наноструктур, поскольку позволяют говорить об имеющих пред сказательную силу расчетах электронных свойств таких объектов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло жения:
1. Разработан новый алгоритм численного моделирования систем сильно коррелированных фермионов квантовый метод Монте-Карло в непре рывном времени (CT-QMC). В программе используется случайное блуж дание по членам ряда теории возмущений в представлении взаимодей ствия. Метод не включает вспомогательных бозонных полей и не ис пользует дискретизации времени. 2. Программа, реализующая алгоритм CT-QMC, позволяет проводить рас четы для негамильтоновых систем с несколькими электронными орби талями и оператора взаимодействия, нелокального в пространстве коор динатных, спиновых и орбитальных индексов. В проведенных расчетах функции Грина на частотах Мацубары была достигнута точность на уровне 10
-3

и выше, что позволяет разрешать особенности электрон

ного спектра с точностью около 5-10% для положения и 20-30% для амплитуды пиков для систем с температурой 100-300 К. 3. По результатам тестовых расчетов для систем с диагональным операто 8


ром взаимодействия, CT-QMC по сравнению с использовавшимся ранее алгоритмом Хирша-Фая 6 , обеспечивает уменьшение требуемого числа операций в 3-5 раз, и улучшение показателя спадания среднего знака на 20 %, что позволяет моделировать системы при температурах 100 K и ниже. 4. С использованием метода CT-QMC проведено моделирование коррели рованного тримера на поверхности металла; получены графики плотно сти состояний. Показано, что для объяснения подавления Кондо-резо нанса, экспериментально наблюдаемого в кластерах Cr на поверхности Au, необходимым условием является учет недиагональных матричных элементов гейзенберговского оператора обмена. 5. Развит новый подход метод дуальных переменных позволяющий регулярным образом учитывать эффекты пространственной нелокаль ности сильных электронных корреляций. Метод основан на переходе к ансамблю новых переменных, при этом локальная часть корреляций учитывается непосредственно в процедуре замены переменных. В пре дельных случаях слабой и сильной связи теория содержит явный малый параметр, а в промежуточной области может быть описана как диа граммная техника, описывающая нелокальные поправки к результату динамического приближения среднего поля. 6. Рассмотрены эффекты пространственной нелокальности корреляций в модели Хаббарда без допирования. Показано, что эти эффекты игра ют наибольшую роль на начальных стадиях формирования антифер ромагнитной псевдощели. По сравнению с расчетом в пренебрежении нелокальными корреляциями, учет первых членов лестничного ряда ду
6

J. E. Hirsch and R. M. Fye, Phys. Rev. Lett. 56 2521 (1986).

9


альных диаграмм для модели Хаббарда с параметрами U = 1.0, t =

0.25, = 20 позволил улучшить точность определения локальной плот
ности состояний в 3-4 раза (приблизительно, от 20 до 5%). 7. Показано, что феномен анизотропного разрушения поверхности Фер ми в купратах связан с эффектами пространственной нелокальности корреляций. Учет первой нелокальной поправки к динамическому при ближению среднего поля для t - t модели Хаббарда с допированием 14% позволяет качественно экспериментально наблюдаемую картину частичного разрушения поверхности Ферми в антинодальном направ лении при параметрах модели U = 4.0, t = 0.25, t = -0.075, = 80 (что соответствует температуре около 140 К). 8. Развит метод описания моделей решеточных степеней свободы, осно ванный на перенормировке теории в терминах восприимчивостей одно узельной задачи. Метод применим для переходов типа `порядок-беспо рядок', `мягкая мода' и в промежуточной области. Нулевой порядок теории воспроизводит результат приближения среднего поля. Учет пер вой поправки позволяет улучшить точность вычисления критической температуры (в случае температурных флуктуаций) и критической мас сы (в случае нулевых квантовых флуктуаций) дискретной 4 модели с примерно 30% до 0-7 % (в зависимости от типа перехода). 9. Развит аналог метода дуальных фермионов для классических решеточ ных моделей с локализованной нелинейностью. На его основе построен метод ренормализационной группы, включающий переход к новым пе ременным на каждом шаге ренормгруппового преобразования. В случае трехмерной модели Изинга, нулевое (гауссово) приближение метода ока зывается совместимым с гипотезой подобия и воспроизводит значения 10


критических индексов с точностью около 1%.

Структура и объем диссертации Текст диссертации включает вступ
ление, четыре главы и заключительные разделы. Общий объем диссертации 179 страниц, без учета 26 рисунков, вынесенных на отдельные листы. Спи сок цитированной литературы включает 101 наименование.

Содержание работы
Глава 1 представляет собой введение в проблемы теории систем с сильны
ми электронными корреляциями и обзор работ, имеющих наибольшее значе ние для темы диссертации. Основной упор делается на вопросе реалистично сти теоретического описания. Под реалистическим понимаестся количествен но точное описание в диапазоне параметров задачи, соответствующем экспе риментальной ситуации (в противоположность модельному описанию, пред полагающему выбор параметров модели, допускающий возможность постро ения теории возмущений по тому или иному малому параметру). В соответ ствии с выбранной парадигмой, важность представляет метод динамического среднего поля (DMFT) приближение, позволяющее свести исходную задачу на решетке к задаче об одном коррелированном узле в эффективном окруже нии. Это приближение за последние 15 лет стало основным методом анализа систем с сильными электронными корреляциями. В работе проанализирована физическая природа, достоинства и недостатки метода, и поставлено два ос новных вопроса вопрос улучшения алгоритмов решения примеcной задачи и вопрос построения теории возмущений, стартующей с DMFT и учитываю щей нелокальность корреляций в системе.

Глава 2 посвящена формулировке и практическому применению ново
го типа алгоритмов для решения примесной задачи квантовому методу 11


Монте-Карло в непрерывном времени (CT-QMC). В отличие от использо вавшихся ранее алгоритмов, предложенный метод не содержит искуственной дискретизации времени и вводимых посредством преобразования Хаббарда Стратоновича классических полей. Это позволяет избавиться от системати ческой ошибки в полученном результате и рассматривать системы со взаимо действием, нелокальным в пространстве спиновых и орбитальных индексов. Последнее является принципиальным для корректного учета вращательной симметрии моделируемых систем. Рассмотрим ансамбль фермионов с парным взаимодействием. В случае лагранжевой системы, статистическая сумма можно представить в виде:

Z = TrT e S= tr c cr drdr + rr w

-S

,
1

(1)

r1 r2 r1 r2 cr

cr1 c cr2 dr1 dr1 dr2 dr2 . r
2

Разделим действие на гауссову часть S0 и взаимодействие W следующим образом

Z = TrT e S0 = W= tr + r w
r1 r2 r1 r2 r r2 (w
2

-(S0 +W ) r2 r r2 r

, c cr drdr , r

(2)

r r2 r r2

+w
1

)dr2 dr2
2

(

c cr r1

1

r r - r1 )(c cr2 - r2 )dr1 dr1 dr2 dr2 . r
2

Здесь обобщенная координата r = { , , j } представляет собой комбина цию непрерывного аргумента - мнимого времени - и дискретных индексов

, j , нумерующих, соответственно, проекцию спина и узлы решетки. Интегри
рование по r определено естественным образом:

dr

i



0

d . Величи

r ны r представляют собой, в общем случае, функции обобщенных координат.

Их значения не входят в полное выражение для действия S0 + W , однако над лежащий выбор в дальнейшем позволяет оптимизировать структуру рядов теории. 12


Рассмотрим W в качестве возмущения и запишем разложениe Z по степе ням W в представлении взаимодействия:

Z=

k =0

Zk =

k =0

dr

1
k

dr1 ... dr w
r1 r2 r1 r2

2k

dr2k k (r1 , r1 , ..., r2k , r2k ),
r2k-1 r2k r2k-1 r2k

(3)

k = Z0
Здесь Z0 = TrT e
-S
0

(-1) k!

ћ ... ћ w

D

r1 r2 ...r2k r1 r2 ...r2k

.

стат. сумма гауссовой системы, а величины D опреде

лены как средние следующего вида:

D

r1 ...r2k r1 ...r2k

r r =< T (c cr1 - r1 ) ћ ... ћ (c cr2k - r2k ) >0 . r r
1 1 2k 2k

(4)

Здесь символ <

>0 означает усреднение по гауссовому ансамблю, то есть
-S
0

- < ... >= Z0 1 TrT ...e

. Заметим сразу, что гауссов характер S0 позволяет вы

писать явные формулы для величины D; технически, вычисление D сводится к расчету детерминанта матрицы 2k Ч 2k . Выписанные формулы можно представить в более компактной форме. За метим, что порядок аргументов в подынтегральных выражениях не важен, то есть величины K остаются неизменными при перестановках аргументов вида ri , ri , r
i+1

,r

i +1

rj , rj , r

j +1

,r

j +1

. Это означает возможность ввести ве

личину K , которую мы будем называть состоянием системы, и которая пред ставляет собой комбинацию порядка разложения k и неупорядоченный набор из k четверок координат операторов. В этой нотации можно записать

Z = K D[K ],
где

K = k !k

D[K ] подразумевает интегрирование по всем возможным реализациям

неупорядоченного набора четверок координат для каждого заданного поряд ка разложения k , и последующее суммирование по всем k . Полностью аналогично можно записать и формулы для средних, в част

13


ности для функции Грина:

Gr = Z r

-1

GK K D[K ].

(5)

Несмотря на то, что выражение (5) выглядит довольно формально, оно может быть непосредственно использовано для организации вычислений ме тодом Монте-Карло. Идея алгоритма состоит в организации марковских слу чайных блужданий в пространстве всех возможных K . Обратим внимание на некоторую необычность ситуации, состоящую в том, что K представляет собой множество с переменным числом элементов. Тем не менее, в работе показано, что это обстоятельство не препятствует организации марковского процесса по аналогии с алгоритмом Метрополиса то есть, с выполнением условия детального равновесия и плотностью вероятности P
K

|K |. Эле

ментарный шаг этого случайного процесса состоит в уменьшении или уве личении текущего порядка разложения на 1. В первом случае из системы удаляется случайно выбранная четверка координат, во втором добавляет ся новая. Шаги принимаются или отвергаются в соответствии с критерием Метрополиса. С точки зрения организации вычислений, необходимыми условиями явля ются сходимость рядов и практическое знакопостоянство K (то есть, среднее по марковским блужданиям значение знака K должно существенно отли чаться от нуля). В диссертации показано, что ряды вида (5) действительно сходятся. Величина же среднего знака K может быть оптимизирована вы бором параметров K . В работе на практических примерах показано, что при правильном выборе K средний знак K в развитом методе оказывает ся во всяком случае не хуже, чем в ранее использовавшихся алгоритмах с дискретизацией времени. Разобран ряд модельных задач, показавший рабо тоспособность написанного на основе алгоритма программного кода. 14


Практическая реализация алгоритма позволила получить новые важные результаты, относящиеся к свойствам кластеров магнитных атомов вблизи подложки, а также к описанию изоляторной фазы оксидов переходных метал лов (на примере V2 O3 ). Полученные для этих систем результаты приведены на рисунках 1 и 2.

Глава 3 посвящена диаграммной технике специального вида (диаграмм
ной технике в дуальных переменных), предназначенной для описания нело кальных эффектов в системах сильнокоррелированных фермионов. Этот но вый метод основан на переходе к специальному набору переменных, такому что локальная часть корреляций учитывается непосредственно в процедуре замены переменных, а нелокальная посредством разложения в диаграмм ный ряд. Формальным малым параметром разложения оказывается вершин ная часть примесной задачи DMFT. Теория непрерывным образом интерпо лирует между атомным пределом и пределом слабой связи; в предельных случаях малый параметр разложения может быть указан явно. Сформулируем основные идеи вывода применительно к модели Хаббарда

H=
jj

tr

=j -j cj cj

+U
j

nj nj - ч
j

(nj + nj ).

(6)

Здесь величины U и t определяют, соответственно, кулоновское отталкивание на узле и переходы электронов между различными узлами решетки из-за перекрытия орбиталей, ч - химический потенциал, индекс j пробегает узлы решетки, =, - величина проекции спина на выбранную ось. Нас будут интересовать равновесные свойства системы при заданной об ратной температуре . Соответствующее действие в представлении Мацуба ры имеет вид


S [c, c ] =
k

(

k

- ч - i ) c k c

k

+U
i 0

ni ni d .

(7)

15


[eV]
Рис. 1. Результаты CT-QMC расчета плотности состояний коррелированного кластера в форме равностороннего (обозначены на графиках ET, equilateral triangle) и равнобед ренного (обозначены IT, isosceles triangle) треугольников на поверхности подложки, для антиферромагнитного характера обменного взаимодействия. В случае равнобедренного треугольника, вершины неэквивалентны, поэтому на графиках приведено по две зави симости для атомов основания 2,3 и для вершины 1. Кондо-пик в плотности состояний проявляется для для вершины 1 и полностью подавлен в случае равностороннего треуголь ника (кривая 1-2-3). Работа мотивирована результатами экспериментов по СТМ-исследо ваний кластеров магнитных атомов на поверхности немагнитных металлов. В частности, в работе ? показано, что свойства кластеров атомов Cr на поверхности Au существенно зависят от геометрии кластера: Кондо-пик отсутствует в плотности состояний кластера, если атомы расположены в вершинах равностороннего треугольника, но появляется для равнобедренного кластера со стороной, не равной основанию. На момент опубликования результатов данной работы (2005 г.), это было первое исследование данной модели, учиты вающее полную матрицу оператора взаимодействия (что было невозможно для предыду щего поколения алгоритмов). Правильный учет вращателной симметрии задачи оказался принципиальным для описания эффекта. Расчет выполнен в соавторстве с В.В.Савкиным.

16


+ I



6

Рис. 2. Плотность состояний (V

0.962

Cr

0.038 )2

O3 для T =580 K ( = 20 eV

-1

). Кристалл

находится в фазе моттовского изолятора. Результаты расчетов методом DMFT с исполь зованием CT-QMC для значений параметров U =4.2 eV, J =0.7 eV, и t2g функций Ванье, рассчитанных методом LDA. На вставке приведено сравнение известными данными по спектроскопии фотоэмиссии (теоретическая кривая получена сверткой плотности состоя ний с фермиевской функцией для заданной температуры, после чего была уширена на ве личину разрешения оборудования, использовавшегося в эксперименте (90 meV), U =4.2 eV, и J =0.7 eV. Сложность моделирования этой системы состояла в необходимости учета на рушения вырождения t
2g

орбиталей в сочетании со сложной структурой пространства со

стояний системы (наличия неэквивалентных изолированных минимумов). Проблема была решена введением шагов специального типа (одновременная перестановка всех орбиталь ных индексов). Расчет выполнен в соавторстве с А.И. Потеряевым.

17


= (2j + 1) / , (j = 0, +1, ...) частоты Мацубары, `мнимое время', k
волновое число. Следуя парадигме DMFT, введем вспомогательную одноузельную примес ную задачу


Simp =
,

( - ч - i )c

, c ,

+ U n n d ,
0

(8)

где (пока не определенная) функция гибридизации описывает взаимодей ствие выбранного узла с эффективным гауссовым окружением. Обозначим одночастичную функцию Грина примесной задачи и ее вершинные части высших порядков, соответственно, как g и
(4)

, (6) , .... Определение этих

величин гораздо проще расчетов для исходной системы (7); в частности, их несложно вычислить численно с использованием алгоритмов семейства CT QMC. Задачей теории является определение свойств системы (7), а именно функ ции Грина G
k

и вершинных частей

(n)

, через свойства примесной задачи,

которые мы будем считать известными. Поскольку величина является локальной (то есть, не зависит от k ), действие (7) можно представить в следующем виде

S [c, c ] =
i

Simp [ci , c ] - i
k

( -

k

)c k ck .

(9)

Последующие выкладки определяют переход к новому ансамблю грассмано вых переменных f , f . Поскольку этот переход не содержит приближений, мы называем новые переменные дуальными. Отправной точкой является тождество

e

A2 c

k

c

k

=

A

2

e

-(c

k f k

+f

k c k

)-2 A

-2 fk fk

dfk dfk ,

(10)

18


которое выполняется для произвольных комплексных коэффициентов A и . Выберем A2 = -
k

, = g

-1

для каждой фермионной моды.

Подставляя указанное тождество в выражение Z = ющее как исходные, так и новые переменные: Z =

e

-S [c,c ]

Dc Dc для

статистической суммы модели (6), получим выражение для действия, включа

e

-S [c,c ,f ,f ]

Df Df Dc Dc,

S [c, c , f , f ] = - +
- g 1 (f

k

2 ln g ( -

k

)+

i

Simp [ci , c ]+ i
(11)
- )-1 g 1 fk f

k

k c k

+c

k f k

- ) + g 1 ( -

k

k

.

Смысл перехода к действию S [c, c , f , f ] заключается в том, что, посколь ку
-1 k g (fk c k

+c

k f k

)=

j

- g 1 (fj c

j

+ c j fj ), выражение (11)

не содержит нелокальных членов по отношению к переменным c, c . Поэтому интегрирование по этим переменным в стат. сумме с действием (11) сводится к решению одноузельной задачи. Формально, результат такого интегрирова ния можно представить в виде выражения

S [f , f ] = - +
в котором zi
imp

k

2 ln g ( -

k

)-

i

ln ziimp +
(12)
k f k

k -S
imp

g

-1

( -

k

)

-1

- + g g 1 f

+

i

Vi ,

=e

[c ,ci ] i

Dc Dci представляет собой статистическую сум i

му примесной задачи, а дуальный потенциал Vi V [fi , fi ] определяется вы ражением, включающим интегрирование по переменным, относящимся толь ко к одному узлу. Коэффициенты Тейлора для V [fi , fi ] с точностью до знака оказываются равны вершинным частям примесной задачи
(4)

, (6) , ....

Переход к новым переменным f , f привел к выражению для действия (12), напоминающему исходное действие (7). Выражения для средних в новых и исходных переменных удается связать посредством точных соотношений. В частности, можно получить тождество, связывающее функцию Грина ис 19


ходного ансамбля G

k

и собственно-энергетическую дуальной системы dual : k

G

k

=

1
- g 1 + - k

- g + (

dual )-1 -1 k

.

(13)

Разумеется, поскольку переход к новым переменным является точным, он не упрощает задачу с точки зрения формального анализа. Идея замены перемен ных состоит в том, что при оптимально выбранной функции гибридизации

, действие (12) допускает построение теории возмущений (диаграммной тех
ники), более эффективной, чем для исходной задачи (7). Это предположение оправдывается тем фактом, что при соответствующем выборе уже гауссо во приближение для дуальной системы dual = 0 позволяет воспроизвести k результат расчета методом DMFT, который полностью включает эффекты локализованных на узле корреляций. Дальнейшие диаграммные поправки по степеням нелинейности V [f , f ] улучшают результат DMFT, позволяя вклю чить в рассмотрение нелокальную часть корреляций. Диаграммы по степеням нелинейности дуального потенциала строятся стандартным образом. Их узлы соответствуют членам ряда Тейлора для V , то есть вершинным частям примесной задачи, а линии - функции Грина ду альных переменных Gdual (рисунок 3). В качестве критерия выбора функции гибридизации в общем случае предложено требовать обращения в нуль простых петель на диаграммах (диаграмма a на рисунке 3), что существенно упрощает структуру диаграмм и позволяет воспроизвести результат DMFT для нулевого порядка теории. В работе проанализированы свойства полу ченной диаграммной техники. Рассмотрение модельных примеров показало очень быструю практическую сходимость - хорошие результаты дает уже учет первой нелокальной поправки (диаграмма b на рисунке 3). Конкретные результаты, полученные для модели Хаббарда, приведены на рисунках 4, 5. Наконец, в главе 4 рассмотрено применение метода дуальных перемен 20


a

c

e

b

d

f

Рис. 3. Некоторые диаграммы, дающие вклад в дуальную собственно-энергетическую функцию.

ных к моделям, описывающим решеточные степени свободы, а также некото рые родственные теории. Упор сделан на построение подходов, применимых для широкого диапазона режимов рассматриваемых моделей и интерполяции между физически различными предельными случаями (например, перехода ми ?мягкая мода? и ?порядок-беспорядок?). Формальная процедура замены переменных в целом повторяет представленную в Главе 3, однако присутству ют существенные технические отличия: для классических ансамблей и кван товых систем без вторичного квантования корреляторы нечетных порядков могут отличаться от нуля. Также, дополнительного анализа потребовали во просы сходимости интегралов. Исследована важная проблема фазовой диаграммы дискретной 4 моде ли. Эта классическая решеточная модель с температурными флуктуациями и потенциальной энергией

E=
j

A B - 2 + 4 + C j 2 4j

(j - j )2 ,


(14)

A, B , C > 0 параметры модели. Соответствующий выбор единиц измерения
энергии и позволяет избавиться от двух из этих величин, так что модель 21


Im

k
Im (0, ) -0.08
Im (0 , ) -8

U=1

U=2

Im

(0,0) -0.04

Im

(0,0) -0.06

4

k

+R e

k

2

0

U=1

-2

U=2

-4

( 0 ,0 )

(,)

Рис. 4. Результаты расчета пространственной дисперсии собственно-энергетической функ ции модели Хаббарда без допирования методом дуальных переменных, с использованием диаграммы (b). Данные получены для модели Хаббарда при t = 0.25, = 20, для зна чений U = 1.0 и U = 2.0. Приведенные данные относятся к энергии Ферми и получены полиномиальной экстаполяцией с частот Мацубары. Верхняя часть: дисперсия мнимой части собственной энергии. При переходе от U = 1.0 к U = 2.0 величина Im в максимуме возрастает на два порядка и существенно меняет характер своего пространственного рас пределения от металлического к характерному для антиферромагнетика. Нижняя часть: перенормированный закон дисперсии
k

+ Re

=0,k

, в сравнении с контрольными данными

для решетки 10 Ч 10. Следует заметить, что без учета диаграммной поправки, то есть в приближении одноузельного DMFT, перенормировка закона дисперсии отсутствует (соб ственная энергия является локальной).

22


Рис. 5. Дисперсия спектральной функции допированной модели Хаббарда A

=0,k

на уровне

Ферми: расчет методом дуальных переменных, с использованием диаграммы (b). Исполь зована tt модель Хаббарда с параметрами t = 0.25, t = -0.075, U = 4.0, = 80. Величи на допирования дырками 14%. Применительно к реальным ВТСП-керамикам эта область параметров соответствует так называемому режиму псевдощели. Плотность состояний, измеряемая экспериментально, в этом случае показывает провал вблизи уровня Ферми, хотя перехода в сверхпроводящее либо антиферромагнитное состояние не наблюдается. Существенной особенностью псевдощели является ее анизотропия: как следует из данных ARPES (M. R. Norman, A. Kanigiel, M. Randeria, U. Chatterjee, J. C. Campuzano, Phys. Rev. B. 76 174501 (2001)), поверхность Ферми разрушается, в первую очередь, вблизи границы зоны Бриллюэна (антинодальное направление), в то время для нодального на правления экспериментальные данные по-прежнему содержат отчетливый пик на уровне Ферми. Приведенные теоретические результаты находятся в хорошем соответствии с этой картиной.

23


характеризуется единственным безразмерным параметром a = A/C . Параметр a управляет типом перехода в системе (то есть фактически, величиной корреляций). В случае трехмерной системы, модель показывает фазовый переход второго рода при конечной температуре любом положитель ном значении a. При a +, потенциал на узле содержит два резких глу боких минимума при = +

A/B , и система (с точностью до тривиальных

численных факторов) переходит в модель Изинга, показывающую переход `порядок-беспорядок'. В случае же малой нелинейности a +0, фононы остаются хорошо обусловленными квазичастицами вплоть до точки перехо да, то есть имеет место переход типа мягкая мода. Изменение величины a позволяет непрерывным образом переходить от одного предельного случая к другому. В работе получены надежные численные данные для фазовой диаграм мы модели. Показано, что метод среднего поля обеспечивает ее описание во всем диапазоне параметров (с погрешностью около 30%). Построено обобще ние этого метода, использующее разложение по степеням нелинейности от клика одноузельной задачи метода среднего поля и позволяющее уменьшить погрешность до 7%. Эти результаты приведены на рис. 6. Далее, для описания окрестности критической точки предложен новый метод, включающий переход к дуальным переменным как элемент ренорм групового преобразования. Рассмотрен нулевой (гауссов) порядок теории. Фактически, речь идет о ренормгрупповом преобразовании, учитывающем (в процедуре замены переменных) только локальную на узле часть корреля ций. Такая теория позволяет с неожиданно хорошей точностью воспроизвести значения критических индексов трехмерной модели Изинга. Например, для индекса получается величина 0.652 (литературные данные 0.63). Теория позволяет также вычислять неуниверсальные характеристики; точность та

24


Рис. 6. Температура фазового перехода в дискретной 4 модели, как функция парамет ра модели a. Величина температуры перехода приведена в единицах C |A|/B . Точки результаты прямого расчета на решетке методом Монте-Карло. Пунктир приближение среднего поля. Сплошная линия приближение независимых мод, перенормированное в терминах восприимчивости примесной задачи метода среднего поля).

25


ких вычислений легко повысить учетом нелокальных поправок. Из получен ных результатов можно заключить, что метод дуальных переменных действи тельно позволяет построить не только эффективные диаграммные техники, но и ренормгрупповые теории.

Апробация работы
1. Savkin, V.V. A continuous time QMC study of the correlated adatom trimer / V.V.Savkin, A.N.Rubtsov, M.I. Katsnelson, A.I.Lichtenstein // Nano structures, St. Peterburg 2005. 2. Рубцов, А.Н. Нелокальная физика сильных электронных корреляций / А.Н. Рубцов // Ломоносовские чтения, Москва. 2008. 3. Рубцов, А.Н. Серия докладов по методу дуальных фермионов // Семи нар по теории конденсированного состояния, ФИАН, Москва. 2006-2007. 4. Рубцов, А.Н. Локальные и нелокальные эффекты в системах с сильны ми электронными корреляциями: можно ли объединить приближения слабой и сильной связи? // Семинар отделения теоретической физики ФИАН (руководитель Л.В. Келдыш), Москва. 2006. 5. Рубцов, А.Н. Новое поколение методов Монте-Карло для расчета со единений и наноструктур с сильными электронными корреляциями / А.Н. Рубцов // Тематический семинар РНЦ Курчатовский институт (руководитлеь А.А. Солдатов), Москва. 2007. 6. Rubtsov, A.N. Continuous time QMC for fermions // PSI-K LDA+DMFT school, Hamburg. 2005. 7. Rubtsov, A.N. Continuous time QMC methods: applications for DMFT and beyond // Workshop "Progress in Computational Electronic Structure 26


Theory Bohn. 2008. 8. Rubtsov, A.N. Beyond the DMFT: Dual Fermion scheme // Ab-initio Many Body Theory summer school, San-Sebastian. 2007. 9. Rubtsov, A.N. Continuous-time QMC for fermions: state of art and per spectives // Electronic Structure Calculation of Solids and Surfaces workshop, Strasbourg. 2004.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в виде главы в мо
нографии и в 12 статьях в ведущих научных журналах (полный список статей автора насчитывает 40 наименований).

Глава в монографии (по материалам главы 2):

ћ Rubtsov, A.N. Kondo Eect in Mesoscopic System / A.N.Rubtsov, M.I.Katsnelson, E.N. Gorelov, and A.I. Lichtenstein, in book: Electron Correlations in New Materials and Nanosystems, K. Scharnberg and S.Kruchinin (eds). Amsterdam: Springer, 2007. PP. 327-341.

Статьи (результаты, представленные в главе 2, опубликованы в статьях 1-3, в главе 3 - в статьях 4-7, а в главе 4 - в статьях 8-12):
1. Рубцов, А.Н. Квантовый метод Монте-Карло для фермионов в непре рывном времени: выход за рамки схем со вспомогательными полями / А.Н. Рубцов, А.И. Лихтенштейн // письма ЖЭТФ. 2004. Т.80. C. 67-70. 2. Savkin, V.V. Correlated adatom trimer on metal surface: A continuous time quantum Monte Carlo study / V. V. Savkin, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. Lett. 2005. V.94. P.026402. 4 pages. 27


3. Rubtsov, A.N. Continuous-time quantum Monte Carlo method for fermions / A. N. Rubtsov, V. V. Savkin, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. 2005. V.72. P.035122. 9 pages. 4. Hafermann, H. Cluster Dual Fermion Approach to Nonlocal Correlations / H. Hafermann, S. Brener, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // письма ЖЭТФ. 2007. Т.86. С.769-774. 5. Poteryaev, A.I. Enhanced crystal-eld splitting and orbital-selective coherence induced by strong correlations in V2 O3 / A.I. Poteryaev, J.M. Tomczak, S. Biermann, A. Georges, A.I. Lichtenstein, A.N. Rubtsov, T. Saha-Dasgupta, and O.K. Andersen // Phys. Rev. B. 2007. V.76. P.085127. 17 pages. 6. Rubtsov, A. N. Dual fermion approach to nonlocal correlations in the Hubbard model / A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. 2008. V.77. P. 033101. 4 pages. 7. Brener, S. Dual fermion approach to susceptibility of correlated lattice fermions / S. Brener, H. Hafermann, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. 2008. V.77. PP.195105. 12 pages. 8. Rubtsov, A.N. Crossover between displacive and order-disorder phase transition / A.N. Rubtsov, J. Hlinka, T. Janssen// Phys. Rev. E. 2000. V.61. PP.126-131. 9. Савкин, В.В. Двумерные и слоистые структуры в дискретной 4 модели / В.В. Савкин, А.Н. Рубцов // ЖЭТФ. 2000. Т.118. C. 1391-1401. 10. Rubtsov, A.N. Quantum phase transitions in discrete 4 model: the crossover between two types of the transition / A.N. Rubtsov, T. Janssen 28


// Phys. Rev. B. 2001. V.63. P. 172101. 4 pages. 11. Savkin, V.V. Quantum discrete 4 model at nite temperatures / V.V. Savkin, A.N. Rubtsov, T. Janssen // Phys.Rev. B. 2002. V.65. P.214103. 12 pages. 12. Rubtsov, A.N. Quality of the mean-eld approximation: A low-order generalization yielding realistic critical indices for three-dimensional Ising class systems / A.N. Rubtsov // Phys. Rev. B. 2002. V.66. P.052107. 4 pages.

Личный вклад автора Соискатель впервые предложил идеи методов
дуальных переменных и CT-QMC. Дальнейшая разработка этих идей, ре зультаты которой приведены в статьях по теме диссертации, происходила с непосредственным участием автора, вклад которого во всех случаях являлся существенным или определяющим. В случаях, когда в диссертации приведе ны результаты, полученные не лично соискателем, этот факт явно отражен в тексте.

29