Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://phys.msu.su/upload/iblock/745/2010-00-00-makarov.pdf Дата изменения: Mon Feb 15 12:38:39 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:04:40 2012 Кодировка: Windows-1251

На правах рукописи

МАКАРОВ Павел Александрович

РАЗРУШЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидита физико-математических наук

Москва - 2010 год


Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова. Научный руководитель: доктор физико-математических наук М.О. Корпусов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.М. Попов доктор физико-математических наук, профессор М.Л. Гольдман

Ведущая организация:

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится 2010 г. в часов на заседании Диссертационного Совета Д501.002.10 при Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, г. Москва, Воробь?вы горы, МГУ, физический факультет, ауд. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан

"

"

2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Ю. В. Грац

2


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертация посвящена вопросам локальной разрешимости различных смешанных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений соболевского типа в классическом и обобщенном смыслах и вопросам разрушения решений нелинейных уравнений типа Соболева за конечный промежуток времени. Большое внимание уделено нахождению достаточных и необходимых и достаточных условий разрушения решения, а также получению двусторонних оценок на время разрушения, если таковое происходит.

Актуальность темы
Исследованию уравнений псевдопараболического типа посвящено большое число работ. Следует отметить работы российских математиков Баренблатта Г.И., Желтова Ю.П., Кочиной И.Н., Демиденко Г.В., Успенского С.В., Свиридюка Г.А., Кожанова А.И., Шишмарева И.А., Габова С.А. и др., а также зарубежных математиков Лионса Ж.-Л., Showalter R.E., Ting T.W., Levine H.A., Гаевского Х., Грегера К., Захариаса К., Rosenau P. В то же время, вопросам разрушения решений нелинейных уравнений псевдопараболического типа посвящено достаточно мало научных трудов. Подобные вопросы, имеющие весьма актуальные физические приложения (такие, как теоретическое описание явления пробоя в полупроводниках в рамках различных моделей), рассматривались в работах математиков Levine H.A., Кожанова А.И., Самарского А.А., Похожаева С.И. и др. В работах Корпусова М.О. и Свешникова А.Г. достигнут значительный прогресс в исследовании вопросов разрешимости и разрушения решений для целого спектра модельных уравнений псевдопараболического типа с нелинейными операторами эллиптического типа при производной по времени. В указанных работах задачи рассмотрены в абстрактном (операторном) виде, что обеспечило общность полученных результатов. Тем не менее, класс псевдопараболических уравнений в целом изучен мало. Широкий круг вопросов требует дальнейшего развития теории. В частности, открыты вопросы о нахождении необходимых и достаточных условий разрушения решений, об исследовании задач для систем уравнений относительно векторных величин. Кроме того, малоизученными остаются задачи в ограниченной области в постановке с нелинейными граничными условиями.

Цель работы.
Развитие методов доказательства разрешимости смешанных краевых задач для линейных и нелинейных уравнений типа Соболева, проистекающих из конкретных задач физики полупроводников и гидродинамики, в классическом, сильном обобщенном, или слабом обобщенном смысле, и исследование вопросов разрушения обобщенных решений нелинейных уравнений за конечное время.

Научная новизна.
В диссертации предложена схема доказательства локальной разрешимости 3


смешанных краевых задач для нелинейных псевдопараболических уравнений в постановке с нелинейным граничным условием Неймана, основанная на применении метода Гал?ркина. Метод доказательства локальной разрешимости и разрушения решения, развитых для смешанных краевых задач относительно скалярных функций, развит и обобщен для применения к задачам относительно векторных функций. Обобщение проведено на примере задачи для одной системы нелинейных уравнений, описывающих динамику жидкости. В задаче для одного нелинейного нелокального уравнения, возникающего при рассмотрении полупроводника с нелокальной зависимостью тока проводимости от электрического поля, исчерпывающе изучен вопрос о локальной разрешимости и условиях разрушения решения. Построен оригинальный метод вывода необходимых и достаточных условий разрушения сильного обобщенного решения за конечный промежуток времени. Предложен метод доказательства существования классических решений смешанных краевых задач для линейных псевдопараболических уравнений при ненулевом начальном условии, рассмотренный для конкретного линейного уравнения, описывающего переходные процессы в полупроводнике.

Научная и практическая значимость.
Полученные в работе результаты могут быть использованы для: а) теоретического описания явления пробоя в полупроводнике при рассмотрении последнего в рамках определенных моделей, а также вычисления оценок сверху и снизу для времени возникновения указанного явления в зависимости от геометрии области, в которой рассматривается задача, и начальных условий; б) исследования свойств течений вязкоупругих жидкостей; в) разработки численных алгоритмов построения решений задач для линейного псевдопараболического уравнения, описывающего эффект стратификации объемного заряда в полупроводнике.

Апробация

результатов

диссертации.

Основные

результаты

работы

неоднократно докладывались на семинарах ВМиК по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством И.А. Шишмарева, на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством А.Н. Боголюбова и на семинаре МИАН по нелинейному анализу для студентов и аспирантов под руководством В.А. Кондратьева и С.И. Похожаева.

Публикации. Основные результаты опубликованы в [3] работах, список которых
приведен в конце автореферата (на момент подачи всех публикаций в печать диссертант носил фамилию Чубенко).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка
обозначений, четырех глав, заключения, и списка литературы, включающего 135 4


наименование, и изложена на 86 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит обзор работ, относящихся к исследованию уравнений
соболевского типа и описания основных результатов диссертации.

Первая глава диссертации посвящена вопросам разрешимости смешанных краевых
задач для линейного уравнения типа Соболева, описывающего так называемый эффект стратификации объемного заряда в полупроводнике. Рассматривается трехмерный случай. Физическая модель, в рамках которой рассматривается полупроводниковая среда, описывается следующими уравнениями:

3 = -

4 ,

= - e(n0 - n),

n0 - n =e , t

n = n0 exp

e , k Te

(1)

где потенциал электрического поля, плотность объемного заряда в кристалле, плотность объемного заряда, связанного на примесных центрах полупроводника, n0 равновесная концентрация электронов, n концентрация свободных электронов, характерное время жизни свободных электронов, диэлектрическая проницаемость полупроводника, Te температура свободных электронов. Система уравнений (1) при определенных дополнительных условиях и принадлежности функции электрического потенциала (r, t) классу гладкости C(1) ([0, +); C(2) ()), где односвязная пространственная область, в которой рассматривается полупроводник, редуцируется к одному линейному уравнению в частных производных

(u - u) - u = 0. t
смысл потенциала электрического поля.

(2)

относительно функции u(x, t) безразмерных переменных x и t, имеющей физический В диссертации исследованы внутренняя и внешняя смешанные краевые задачи для уравнения (2) в постановке с граничным условием первого рода (т. е., когда на границе области задано распределение электрического потенциала). Данные задачи имеют вид (u - u) - u = 0, x D, t (0, T ], t

u(s, t) = g (s, t), u(x, 0) = u (x), 0

s S, x D,

t [0, T ],

где D - внутренняя или внешняя односвязная область в пространстве R3 с границей S класса Ляпунова. Основной результат первой главы формулируется в виде трех теорем.

Теорема 1. Если u0 (M ) непрерывно дифференцируема, а g (P, t) непрерывна по P ,
непрерывно дифференцируема по t и g (P, 0) = u0 (P ), то существует классическое решение внутренней смешанной краевой задачи с граничным условием Дирихле для уравнения (2).
5


Теорема

2.

Если u0 (M ) непрерывно дифференцируема и ограниченна на бесконечности, а g (P, t) непрерывна по P , непрерывно дифференцируема по t, g (P, 0) = u0 (P ), то существует классическое, ограниченное на бесконечности, решение внешней смешанной краевой задачи с граничным условием Дирихле для уравнения (2).

Теорема 3. Внутренняя (внешняя) смешанная краевая задача с граничным условием
Дирихле для уравнения (2) имеет не более одного классического (классического, ограниченного на бесконечности) решения.
Доказательство теорем существования основано на так называемом методе динамических потенциалов, позволяющем получить утверждения теорем для случая

u0 (M ) 0, а также использовании свойств фундаментального решения уравнения (2)
для обобщения результатов на случай ненулевых начальных данных. В доказательстве теоремы единственности в широкой степени использованы свойства функции Грина задачи Дирихле для безволнового уравнения Гельмгольца.

Во второй главе изложены результаты исследования вопросов локальной
разрешимости и разрушения решений смешанной краевой задачи для нелинейного псевдопараболического уравнения, описывающего процессы в полупроводнике при наличии сильной пространственной дисперсии и нелокальной зависимости тока проводимости от электрического поля, в рамках приближения нелинейной оптики. Исходная система уравнений электродинамики, описывающая свойства такого полупроводника, в квазистационарном приближении выглядит следующим образом:

div D = -4 en, e
n t

rot E = 0,

D = E + 4 P,
q

= div j ,

j = 0 E - 1


dx |E|

2

E,
p-2

(3)

P = P1 + P2 ,

P1 = - E,

P 2 = |E |

E.

В ограниченной поверхностно-связной области система уравнений (3) сводится к уравнению псевдопараболического типа в безразмерных переменных:

(-2 u + u + p u) + u - t
где p псевдолапласиан (p u div(| u|
p-2

u

2q 2

u = 0,

(4)

u)), а функция u имеет смысл

потенциала электрического поля. Смешанная краевая задача для уравнения (4), рассмотренная в диссертации, поставлена в виде
t

(-2 u + u + p u) + u -


u

2q 2

u = 0,

u|

=

u | n

= 0,

u(x, 0) = u0 (x).

(5)

Здесь x RN , ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей, p > 2, q > 0. Локальная разрешимость задачи (5) и условия разрушения е? решения за конечный промежуток времени изучены для сильных обобщенных решений. 6


Определение. Сильным обобщенным решением задачи (5) называется функция
u(x, t) класса C(1) ([0, T ); H2 ()), удовлетворяющая условиям 0 D(u), w = 0
где где через

w H2 ()), 0

t [0, T0 ),

u(0) = u0 H2 ()), 0 u
2q 2

ћ, ћ

(-2 u + u + p u) + u - t обозначены скобки двойственности D(u) () и H ().
-2

u,
гильбертовыми

между

пространствами

H2 0

Теорема 4. Пусть либо N

2 , либо N

3иp

2N/(N - 2). Тогда u0 H2 ()) 0
0

найдется такое T0 = T0 (u0 ) > 0, что существует сильное обобщенное решение задачи (5) класса C(1) ([0, T0 ); H2 ()), причем либо T 0 последнем случае выполнено предельное равенство
tT0

= +, либо T

0

< + и в

lim u

2

= + .

Доказательство данной теоремы основано на сведении исходной задачи (5) к некоторому абстрактному интегральному уравнению, для которого применим метод сжимающих отображений. Такой подход позволяет утверждать, что исходная задача имеет решение класса L ([0, T0 ); H2 ()). Дальнейшее доказательство принадлежности 0 решения классу гладкости

C(1) ([0, T0 ); H2 ()) 0

производится

с

применением

спектральных представлений линейных ограниченных операторов. Далее в диссертации рассмотрен вопрос об условиях разрушения сильного обобщенного решения за конечное время. Исследование основано на методе энергетических неравенств. Данный метод позволяет свести задачу о нахождении условий, при которых за конечное время обращается в бесконечность функция

(t)

1 u 2

2 2

+

1 2

u

2 2

+

p-1 p

u p, p

(6)

к рассмотрению обыкновенного дифференциального неравенства относительно этой функции:

- ( )2

0,

= 2(q + 1)/p.

Следует подчеркнуть, что в итоге получены необходимые и достаточные условия разрушения сильного обобщенного решения задачи (5), что является относительно редким результатом в исследованиях свойств решений псевдопараболических уравнений. Результат сформулирован в виде теоремы.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда
1. Если 2. Если

u u

0

1, то T0 = +. > 1, то 2q + 2 имеет место T0 = +,
7

0

(a) при p


(b) при p < 2q + 2 имеет место двухсторонняя оценка на время разрушения решения:

2q+1

1 q q 0

T0

(

2q +2 p

- 1)(

0 u0

2q 2

- 1)

u

2 02

,

где 0 = (0), определяемой согласно (6).
Отметим, что разрушение решения данной задачи имеет конкретный физический смысл: в момент разрушения решения происходит пробой полупроводника. Теорема 5, таким образом, имеет не только теоретическое, но и прикладное значение: с е? помощью при известном начальном распределении электрического потенциала можно предсказать, произойдет ли пробой полупроводника, а также вычислить временной интервал, в пределах которого лежит момент возникновения пробоя.

Третья глава диссертации посвящена обобщнию методики нахождения условий
разрушения решений нелинейных уравнений типа Соболева, развитой для одного уравнения относительно скалярной функции, для систем уравнений относительно векторной функции. Обобщение проведено на примере системы нелинейных псевдопараболических уравнений, проистекающей из теории жидкости КельвинаФойгта (понятие жидкости Кельвина-Фойгта является одной из моделей описания вязкоупругих неньютоновых жидкостей). А именно, исходная система представляет собой одну из -аппроксимаций уравнений жидкости Кельвина-Фойгта, при этом в физическую модель введены сильная пространственная дисперсия и источники с кубической нелинейностью. Отметим, что сами уравнения жидкости Кельвина-Фойгта выглядят следующим образом:

vt - vt - v + vk

v + xk

p = f,

div v = 0,

где v = v(x, t) вектор скорости, p = p(x, t) давление, > 0 кинетический коэффициент вязкости, > 0 время ретардации, характеризующее упругие свойства жидкости Кельвина-Фойгта, f = f (x, t) вектор объемных внешних сил. Течение жидкости Кельвина-Фойгта (в рамках указанной физической модели) рассматривается в ограниченной области с условиями прилипания на границе области. Исходная смешанная краевая задача, таким образом, имеет вид (-2 u + u + ( , u) - u)+ t

u|

+u +


( , u) + ( u,

)u + 1 u( , u) + |u|2 u = 0, 2

(7)

=

u | n

= 0,

u(x, 0) = u0 (x),

где x RN , ограниченная область с достаточно гладкой границей. Функция

u(x, t) имеет физический смысл скорости частиц жидкости.

Определение. Сильным обобщенным решением задачи (7) называется решение
класса u C(1) ([0, T ); H2 ()), удовлетворяющее условиям 0

D(u), w

2

=0

w H2 (), 0

t [0, T0 ),
8

u(0) = u0 H2 (), 0


где

D(u)

1 (-2 u + u + ( , u) - u) + u + ( , u) + (u, )u + u( , u) + |u|2 u. t 2
обозначены скобки двойственности между

Под Hp () понимается декартово произведение Hp () Ч Hp () Ч . . . Ч Hp ()

n гильбертовых пространств, а через ћ, ћ

p

гильбертовыми пространствами Hp () и H-p (). 0 Справедлива теорема о локальной разрешимости задачи (7).

Теорема 6. Пусть N = 1,

2,

3. Тогда u0 H2 () найдется такое T0 = T0 (u0 ) > 0

0, что существует сильное обобщенное решение задачи (7) класса C(1) ([0, T0 ); H2 ()), 0
причем либо T0 = +, либо T0 < + и в последнем случае выполнено предельное равенство
tT0

lim u

2

= +.

Схема доказательства сформулированной теоремы аналогична схеме доказательства теоремы существования решения из предыдущей главы диссертации. Вывод условий разрушения сильного обобщенного решения задачи (7) производится на основе метода энергетических неравенств. Однако, в данном случае задача сводится к более сложному, нежели в предыдущей главе, дифференциальному неравенству

- ( )2 + 2 + 3
относительно функции

0,

1 (t) = 2

N

u
i=1

2 i2

+
i

u

2 i2

+ div u

2 2

+u

2 2

.

(8)

Результатом исследования вопроса о разрушении решений задачи (7) является

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда, если функция u0 (x)
удовлетворяет условиям

1 u 4
и

4 04

-

1 div u 2

2 02

-

1 2

(ui )0
i

2 2

0

22 82 3 0 0 - > 0, 0 (1 - 0 ) 0 (1 - 20 ) где 0 = (0) из формулы (8), а 0 определяются по формуле (0 )2 - 0 = u
4 04

(9)

- div u

2 02

-
i

u

2 0i 2

,
3/2 2 + C2 N , C1

0 < 1/2 оптимальная константа, зависящая от 0 , = C1 C2 N

константа наилучшего вложения пространства H2 () в W1,4 (), C2 константа наилучшего вложения пространства H2 () в L4 (), то сильное обобщенное решение задачи (7) разрушается за конечное время T0 , причем имеет место двусторонняя оценка

1 0 C2

T

0

0 1-

0

(0 )2 -

22 82 3 0 0 - 0 (1 - 0 ) 0 (1 - 20 )
9

-1/2

.


Постоянная 0 выбирается оптимальным образом в том смысле, что при выбранном значении 0 класс функций u0 , удовлетворяющих (9) является максимально широким.

В четвертой главе рассмотрены вопросы локальной разрешимости и разрушения
решений задачи для нелинейного псевдопараболического уравнения 3-го порядка, в постановке с нелинейным граничным условием Неймана. Указанное уравнение проистекает из рассмотрения полупроводниковой среды с нелинейной зависимостью концентрации свободных зарядов и вектора поляризации среды от электрического потенциала. Процессы в таком полупроводнике в квазистационарном приближении описываются системой уравнений

div D = -4 en, e
n t

rot E = 0,

D = E + 4 P, J = E,

div P = 3 ||q3 + 4 , E=-

= div J + 2 ||q2 ,

(10)

Условие на границе полупроводника, приводящее к нелинейному граничному условию Неймана, имеет вид

(E, n) = 1 ||q1 ,

(11)

n вектор внешней нормали к границе области. Коэффициенты i подчинены условиям 1 > 0, 3 > 0, 3 > 0, 2 < 0, параметры qi > 0, i = 1, 2, 3. Система уравнений (10) и
условие (11), при заданном распределении электрического потенциала в некоторый начальный момент времени, редуцируются в ограниченной односвязной области к начально-краевой задаче относительно функции u(x, t), имеющей физический смысл электрического потенциала: (u - u - |u|q3 u) + u + |u|q2 u = 0, t



u n

+ |u|q1 u | = 0,

(12)

u(x, 0) = u0 (x),

где x RN , ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей. Уравнение в задаче (12) является одним из обобщений уравнения Буссинеска. Вид данного уравнения не позволяет провести доказательство локальной разрешимости в сильном обобщенном смысле методом, использованном в второй и третьей главах. Поэтому, для данной задачи в диссертации доказана теорема о локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле.

Определение. Слабым обобщенным решением задачи (12) на интервале (0, T )
называется функция u(x, t) класса H1 ((0, T ); H1 ()), удовлетворяющая условию
T N

dt dx
0

i=1

(uxi vxi + uxi vxi ) + u v + (q3 + 1)|u|q3 u v - |u|q2 uv +
T

+
0

dt ds(|u|q1 u + (q1 + 1)|u|q1 u )v = 0


v (x, t) L2 ((0, T ); H1 ()), u(x, 0) = u0 (x) H1 ().
10


Теорема 8. Пусть либо N

2, либо q

1

2/(N -2), q

2

4/(N -2), q3

4/(N -2). Тогда

найдется такое максимальное T0 = T0 (u0 , q1 , q2 , q3 ) > 0, что на любом интервале t

(0, T ), T < T0 , существует слабое обобщенное решение u(x, t) задачи (12) с начальным
условием u(x, 0) = u0 (x) H1 ().

Теорема 9. Пусть либо N
u0 (x) H1 () единственно.

2, либо q

1

2/(N - 2), q

2

1/(N - 2). Тогда слабое

обобщенное решение задачи (12) на интервале (0, T ) с начальным условием u(x, 0) =

Доказательство существования слабого обобщенного решения основано на методе Гал?ркина в сочетании с методом компактности, доказательство единственности на некоторых вспомогательных неравенствах и лемме Гронуолла. Вывод условий разрушения слабого обобщенного решения заключается в применении метода энергетических неравенств для n-го галеркинского приближения с последующим предельным переходом при n . Результат сформулирован в виде теоремы о достаточных условиях разрушения решения.

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 8 и, кроме того q2 < 4/(N - 1) при
N 3, q2 > max{q1 , q3 } и 0 > 0 = 1 2 u
2 02

/( - 1)0 , где
2 02

+

1 u 2

+

q3 + 1 u q3 + 2 1 2 1 u

q3 +2 0 q3 +2

+

q1 + 1 q1 + 2

ds|u0 |
q1 +2

q1 +2

,

0 =
где

1 u q2 + 2

q2 +2 0 q2 +2

-

2 02

-

1 q1 + 2

ds|u0 |


,

=

(1 - )(q2 + 2) , max{q1 , q3 } + 2

=

2 q1 |q1 - q2 |2 (q1 + 2) + q1 + 2 (q1 + 1)2 (q2 + 2)

,

= (q2 - max{q1 , q3 })/(2q2 + 4).
Тогда существует слабое обобщенное решение задачи (12) с начальным условием

u(x, 0) = u0 (x) H1 () на интервале t (0, T ), T < T0 < , при этом при t T0
происходит разрушение решения, и имеет место двусторонняя оценка

20 ? где C = 2 C

-q2 /2

? /q2 C

T

0

0 ( - 1)-1/2 [( - 1)(0 )2 - 2 ]- 0

1/2

,
q2 +2

(q2 +2)/2 q2 +2

, а C константа наилучшего вложения H1 () в L

().

Выводы.
В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации: 1. Доказано существование классического решения внутренней и

внешней смешанных краевых задач для одного линейного псевдопараболического уравнения в постановке с ненулевыми начальным и граничным условиями. 11


2. Доказана локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле, найдены необходимые и достаточные условия разрушения решения задачи для нелинейного нелокального уравнения типа Соболева и получена двусторонняя оценка на время разрушения. 3. Доказана локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле, получены достаточные условия разрушения решения задачи для системы нелинейных уравнений типа Соболева и двусторонняя оценка на время разрушения. 4. Доказана локальная разрешимость задачи для обобщенного уравнения

Буссинеска в постановке с нелинейным граничным условием Неймана, получены достаточные условия разрушения слабого обобщенного решения за конечный промежуток времени и двусторонняя оценка на время разрушения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: 1. А.Б. Альшин, П.А. Чубенко. Первая начально-краевая задача для уравнения
стратификации объемного заряда в полупроводнике // Вестник МГУ. Физика, 2007 г., 6, С. 8-12.

2. П.А. Чубенко. Разрушение решения одного нелинейного нелокального уравнения
соболевского типа // Дифференциальные уравнения, 2009 г., т. 45, 2, С. 211219.

3. П.А. Чубенко. Разрушение решения одной нелинейной системы уравнений
соболевского типа // Журн. выч. матем. и матем. физики., 2009 г., т. 49, 4, С. 1-9.

12